A-1-2拋體運(yùn)動(dòng)(2/2)

2023-08-28 14:13 作者:夏莉家的魯魯 0人讀過 | 我要投稿

1.2.3 經(jīng)過固定點(diǎn)

斜拋物體經(jīng)過某固定點(diǎn) $A(a%2Cb)$ 時(shí)，不同拋射角對(duì)應(yīng)不同的初速度，下面我們來求解所需的最小速度。我們將起點(diǎn)和 $A$ 點(diǎn)相連，轉(zhuǎn)化為斜面上的運(yùn)動(dòng)，則可以直接引用上一節(jié)的結(jié)論，此時(shí)

$%5Ctan%5Ctheta%3D%5Cdfrac%7Bb%7D%7Ba%7D%20$

1.軌跡方程

$gx%5E2%5Ctan%5E2%5Calpha-2v_0%5E2x%5Ctan%5Calpha%2B(gx%5E2%2B2v_0%5E2x%5Ctan%5Ctheta)%3D0$

整理成 $%5Ctan%5Calpha$ 的函數(shù)后，跟上一節(jié)一樣的想法，每一個(gè)落點(diǎn)，對(duì)應(yīng)兩個(gè)不同的拋射角，且兩個(gè)拋射角相等時(shí)，拋射速度最小。由

$x%3D%5Cdfrac%7Bv_0%5E2(1-%5Csin%5Ctheta)%7D%7Bg%5Ccos%5Ctheta%7D$

得

$v_%7B0min%7D%3D%5Csqrt%7B%5Cdfrac%7Bgx%5Ccos%5Ctheta%7D%7B1-%5Csin%5Ctheta%7D%7D%3D%5Csqrt%7B%5Cdfrac%7Bga%5E2%7D%7B%5Csqrt%7Ba%5E2%2Bb%5E2%7D-b%7D%7D%3D%5Csqrt%7Bg(%5Csqrt%7Ba%5E2%2Bb%5E2%7D%2Bb)%7D$

2.沿斜面分解

得到

$x%3D%5Cdfrac%7Bv_0%5E2%5B%5Csin(2%5Calpha-%5Ctheta)-%5Csin%5Ctheta%5D%7D%7Bg%5Ccos%5E2%5Ctheta%7D$

后，結(jié)論同上。

3.包絡(luò)線

將 $(a%2Cb)$ 直接代入包絡(luò)線方程，對(duì)應(yīng)速度即為最小速度。

4.矢量圖

跟上一節(jié)類似的想法，射程一定時(shí)， $BD%5Ccdot%20AD$ 為定值，且 $%5Cangle%20ADB$ 為定值，要使得 $AB$ 最小，則 $AD%3DBD$ ，之后所得結(jié)論同上。

5.函數(shù)思想

得到

$(1%2B%5Ctan%5E2%5Calpha)%5Cdfrac%7Bg%7D%7B2v_0%5E2%7Dx%5E2%2B(%5Ctan%5Ctheta-%5Ctan%5Calpha)x%3D0$

后，表示為

$v%5E2_0%3D-%5Cdfrac%7B(1%2B%5Ctan%5E2%5Calpha)gx%7D%7B2(%5Ctan%5Ctheta-%5Ctan%5Calpha)%7D$

然后對(duì) $%5Ctan%5Calpha$ 求導(dǎo)求最值。由于求導(dǎo)是所有最值問題的通法，本篇只在此介紹一次，當(dāng)求導(dǎo)計(jì)算比較復(fù)雜的時(shí)候，可以選用其他方法。

1.2.4 其他最值問題

拋至平臺(tái)

從地面上一點(diǎn)以一定的初速度斜拋物體，落到高度為 $h$ 的平臺(tái)上，求最大射程。

平臺(tái)對(duì)應(yīng)的曲線方程為 $y%3Dh$ .軌跡方程和包絡(luò)線的方法同上，矢量圖的方法有所區(qū)別：

此時(shí)實(shí)際位移方向不再恒定，但初末高度差為定值。

由能量守恒：

$v%5E2%3Dv_0%5E2-2gh$

(也可由運(yùn)動(dòng)方程得： $v%5E2%3Dv_x%5E2%2Bv_y%5E2%3Dv_x%5E2%2Bv_%7B0y%7D%5E2-2gh%3Dv_0%5E2-2gh$ )。 $%5Ctriangle%20ABC$ 面積

$S%3D%5Cdfrac%7B1%7D%7B2%7DAE%5Ccdot%20BC%3D%5Cdfrac%7B1%7D%7B2%7Dv_0%5Ccos%5Calpha%20gt$

與水平射程 $v_0%5Ccos%5Calpha%20t$ 成正比。水平射程最大時(shí)，三角形面積最大。

則問題轉(zhuǎn)化為： $AB%2CAC$ 長(zhǎng)度不變，求 $%5Ctriangle%20ABC$ 面積的最大值。易知此時(shí) $v_0%5Cperp%20v$ ，

$x_%7Bmax%7D%3D%5Cdfrac%7B2S%7D%7Bg%7D%3D%5Cdfrac%7Bv_0v%7D%7Bg%7D%3D%5Cdfrac%7Bv_0%5Csqrt%7Bv_0%5E2-2gh%7D%7D%7Bg%7D$

注：如果是從屋頂往下斜拋，將 $h$ 改成 $-h$ 即可。

經(jīng)過兩固定點(diǎn)

如果起點(diǎn)固定，加上另外兩固定點(diǎn) $A%2CB$ ，斜拋軌跡就唯一確定。所以這類問題，起點(diǎn)是不固定的，我們只討論起點(diǎn)在水平面上的情況。

地面與 $A$ 點(diǎn)高度差一定，由于能量守恒，當(dāng)物體初速度最小時(shí)，對(duì)應(yīng) $A$ 點(diǎn)的速度一定也最小，問題就轉(zhuǎn)化為：從 $A$ 點(diǎn)拋出物體經(jīng)過 $B$ 點(diǎn)，求 $A$ 點(diǎn)最小速度，求出 $A$ 點(diǎn)速度和拋射角之后，再反推回 $A$ 點(diǎn)的速度即可。

如圖所示，一倉庫髙25m ，寬40m.今在倉庫前l(fā) 、高5m 的 $A%20$ 處拋一石塊，使石塊拋過屋頂，問距離 $l%20$ 為多大時(shí)（單位：m ），初速度 $v_0$ 之值最小？ $(g%3D10m%2Fs%5E2)$

假設(shè)屋頂左端為 $A$ ，右端為 $B$ ，初速度最小時(shí)，石塊剛好經(jīng)過 $A$ 和 $B$ .由能量守恒， $v_0$ 最小時(shí)，經(jīng)過 $A$ 點(diǎn)速度也最小，問題轉(zhuǎn)化為從 $A$ 點(diǎn)斜拋到 $B$ 點(diǎn)的最小速度，豎直運(yùn)動(dòng)時(shí)間

$t%3D%5Cdfrac%7Bv_A%5Csin%5Calpha%7D%7Bg%7D$

水平射程

$s%3D2v_A%5Ccos%5Calpha%20t%3D%5Cdfrac%7Bv_A%5E2%5Csin2%5Calpha%7D%7Bg%7D.v_%7BAmin%7D%3D%5Csqrt%7Bgs%7D%3D20m%2Fs$

對(duì)應(yīng)拋射角 $%5Calpha%3D45%C2%B0$ ，將過程反演，看成石塊從 $A$ 點(diǎn)往左下方斜拋，水平和豎直速度均為 $10%5Csqrt%7B2%7Dm%2Fs$ ，代入豎直位移方程

$20%3D10%5Csqrt%7B2%7Dt%2B5t%5E2$

得

$t%3D(%5Csqrt%7B6%7D-%5Csqrt%7B2%7D)s$

$l%3Dv_xt%3D20(%5Csqrt%7B3%7D-1)m.$

經(jīng)過曲面

軌跡方程

斜拋剛好經(jīng)過曲面時(shí)，對(duì)應(yīng)軌跡剛好與曲面相切，聯(lián)立軌跡方程和曲線方程，“相切”=“重根”。得到根的判別式方程，之后分析過程同上。

包絡(luò)線

如果物體是從固定點(diǎn)斜拋，當(dāng)軌跡剛好與曲面相切時(shí)，包絡(luò)線也剛好與曲面相切，聯(lián)立包絡(luò)線和曲線方程，也可以求解。

一物體從半徑為 $R$ 的球面頂端斜拋，求不與球面相碰的最小速度。

以拋出點(diǎn)為原點(diǎn)，聯(lián)立圓的方程和包絡(luò)線方程

$%5Cbegin%7Bcases%7D%20x%5E2%2B(y%2BR)%5E2%3DR%5E2%5C%5C%20y%3D%5Cdfrac%7Bv_0%5E2%7D%7B2g%7D-%5Cdfrac%7Bgx%5E2%7D%7B2v_0%5E2%7D%20%5Cend%7Bcases%7D$

得

$%5Cdfrac%7Bg%5E2%7D%7B4v_0%5E4%7Dx%5E4%2B(%5Cdfrac%7B1%7D%7B2%7D-%5Cdfrac%7BgR%7D%7Bv_0%5E2%7D)x%5E2%2B(%5Cdfrac%7Bv_0%5E4%7D%7B4g%5E2%7D%2B%5Cdfrac%7BRv_0%5E2%7D%7Bg%7D)%3D0$

令 $%5CDelta%3D0$ ，得

$v_%7B0min%7D%3D%5Csqrt%7B%5Cdfrac%7BgR%7D%7B2%7D%7D$

1.2.5 練習(xí)

如圖所示，一人做射靶游戲，為使每次槍彈都擊中在靶面的同一條水平線上，每次射擊的瞄準(zhǔn)點(diǎn)必須在靶面同一圓周上（已知水平線離地面高度為 $h$ ，槍與靶相距為 $d$ ，子彈發(fā)射速率為 $v_0$ ，且 $%20v_0%3E%5Csqrt%7Bg(h%2B%5Csqrt%7Bh%5E2%2Bd%5E2%7D)%7D$ . 求圓心高度 $y$ 和圓的半徑 $r$ .