數(shù)學(xué)期望

交易中的數(shù)學(xué)期望是評(píng)估交易策略績(jī)效的指標(biāo)之一。 這種信奉數(shù)學(xué)期望（以及更多因素）的用戶在文章“交易中的數(shù)學(xué)。 如何估算交易結(jié)果”里進(jìn)行了詳細(xì)討論。

但是我們現(xiàn)在對(duì)數(shù)學(xué)期望的概率定義感興趣。 例如，我為您提供一個(gè)游戲，您有 10% 的機(jī)會(huì)贏得 100 元，有 90% 的機(jī)會(huì)輸?shù)?10 元。 那么這種博弈游戲的數(shù)學(xué)期望將如下所示：E = 0.1 * 100 + 0.9 * (-10) = 1 元。 故此，我們可以用數(shù)學(xué)期望來判斷預(yù)期回報(bào)。 舉例，如果我們玩這個(gè)游戲 100 次，我們可以假設(shè)我們的初始本金可以增加 100 元。

直覺表明，數(shù)學(xué)期望越大，參與這樣的游戲就越有趣。 例如，如果我們將游戲中的獎(jiǎng)金增加到 200 元，那么數(shù)學(xué)期望也提升到 11，而 100 場(chǎng)比賽的預(yù)期盈利能力將增加到 1100 元。 如果數(shù)學(xué)期望值是 +100，獎(jiǎng)金 500 會(huì)怎么樣。 聽起來像是一場(chǎng)夢(mèng)！ 您同意這個(gè)說法嗎？

如果是這樣，今天是您一生中最快樂的日子之一。 因?yàn)槲医ㄗh您無限地玩這個(gè)期望游戲。 試想一下，您將在一小時(shí)內(nèi)（甚至更快）成為巨無霸級(jí)別的超級(jí)億萬富豪。

但玩這個(gè)游戲有一個(gè)小小的不便。 為了參與游戲，您應(yīng)該支付少量入場(chǎng)費(fèi)，例如 100 元。 好吧，這聽起來有點(diǎn)卑鄙。 就算 50 元好了。 另一個(gè)想法，我為您提供特別折扣 — 您只需支付 25 元，我們就可立即開始這個(gè)精彩的游戲。

在您轉(zhuǎn)賬報(bào)名費(fèi)時(shí)，我來告訴您此游戲的規(guī)則。 首先，您要猜拋硬幣的結(jié)果：正面或反面。 然后我來拋一枚硬幣，如果您猜對(duì)了，我會(huì)付給您 1 元。 第二次猜測(cè)還正確，將為您帶來 2 元。 第三次猜測(cè)后，您將收到 4 元，依此類推 — 每回下一次猜測(cè)都是之前的獎(jiǎng)金翻倍。 想象一下，經(jīng)過五十次猜測(cè)，我將要付給您多少元。 一百次之后呢？ 這樣的數(shù)字還沒有被發(fā)明出來，與您贏得的獎(jiǎng)金相比，世界上所有的財(cái)富都微不足道。

如果您在某次犯了錯(cuò)誤，游戲就結(jié)束了。 您可以再次支付入場(chǎng)費(fèi)，我們將從頭開始游戲。

有些事情告訴我，沒有人愿意和我玩這樣的游戲。 為什么呢？ 一方面，我們有一個(gè)無限的數(shù)學(xué)期望：

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另一方面，內(nèi)心的聲音表明，即使入場(chǎng)費(fèi)是 25 元對(duì)于這樣的無限游戲來說也太高了。 這種矛盾被稱為 "圣彼得堡（St. Petersburg）悖論"。

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道義期望

于 1738 年，丹尼爾·伯努利（Daniel Bernoulli）出版了他的著作“風(fēng)險(xiǎn)衡量新理論的闡述”。 在這項(xiàng)工作中，他建議在任何游戲中，有必要最大化的不是預(yù)期回報(bào)，而是它對(duì)玩家的效用。

這個(gè)假設(shè)可以通過以下示例來說明。 有兩個(gè)不同的玩家。 一個(gè)有 100 元的資本，另一個(gè)有 1000 元。 他們都獲得了一款預(yù)期回報(bào)為 10 元的游戲。 顯然，對(duì)于第一個(gè)玩家來說，這樣的游戲會(huì)更有趣，因?yàn)槿绻A了，他的資本將增加 10%，而第二個(gè)玩家的資本只會(huì)增加 1%。 換言之，同樣護(hù)獲勝對(duì)第一個(gè)玩家來說比第二個(gè)玩家更有用。

基于這一假設(shè)，丹尼爾·伯努利推導(dǎo)出道義期望方程。 假設(shè)?Deposit?是玩家的可用資本，Profit?是預(yù)期收益，Loss?是可能的損失，而?p?是獲勝的概率。 在這種情況下，道義期望方程如下所示：

道義期望和數(shù)學(xué)期望的主要區(qū)別在于，道義期望取決于玩家的資本，并隱含地考慮了游戲的風(fēng)險(xiǎn)。

以我之前提議的游戲之一為例 — 有 10% 的機(jī)會(huì)您可以贏得 200 元，有 90% 的機(jī)會(huì)您可能輸?shù)?10 元。 這個(gè)游戲的數(shù)學(xué)期望對(duì)所有玩家都是相同的：0.1*200 + 0.9*(-10) = 11 元。 但是道義期望會(huì)有所不同，并且會(huì)提供更多的信息。

首先把您擁有的元放在桌子上并數(shù)數(shù)它們。 現(xiàn)在權(quán)衡利弊，并決定是否同意玩這個(gè)游戲？?

§?如果您同意玩，并且您有超過 73.74 元，那么一切都井井有條 — 您已經(jīng)正確計(jì)算了風(fēng)險(xiǎn)和機(jī)會(huì)。

§?如果您正好只有 73.74 元，那么您就像在薄冰上行走。 且是在非常薄的冰上。

§?如果您手里少于 73.74 元，那么......也許您應(yīng)該尋找其它方法來處理腎上腺素成癮。 例如，您可以嘗試在公海上喂食饑餓的食人鯊。

§?如果您擁有超過 73.74 元，然而放棄了這款游戲，那么您很可能錯(cuò)過了生活中最有趣的時(shí)刻。

您可能會(huì)問，這個(gè)神秘的 73.74 元是從哪里來的。 它來自對(duì)這款游戲的道義期望：

對(duì)于一個(gè)理性的玩家來說，道義期望應(yīng)該是嚴(yán)格正面的：

很容易能從不平等中找到解?Deposit > 73.74。 下圖顯示了道義期望如何根據(jù)玩家的資本而變化。

交易中的道義期望

一些交易策略包括設(shè)置止損和止盈。 在這樣的交易策略中，就可以運(yùn)用道義期望。 在這種情況下，能夠應(yīng)用道義期望的幾種選擇。

開倉時(shí)，交易者知道交易賬戶的確切余額。 此外，他們還可以估算勝率（我們將在下面討論）。 所有其它建倉參數(shù)都以變量表示：

§?SL?– 開倉價(jià)與其止損點(diǎn)數(shù)之間的差額（正整數(shù)）；

§?TP?– 開倉價(jià)與其止盈點(diǎn)數(shù)之間的差額（正整數(shù)）；

§?PV?– 入金貨幣中一個(gè)點(diǎn)的成本。

§?Lot?– 開倉交易量。

那么建倉的道義期望將是：

只有當(dāng)預(yù)設(shè)三個(gè)變量中的任兩個(gè)值時(shí)，才有可能應(yīng)用道義期望的第一種方式 —?SL，TP?和?Lot。

例如，在開倉時(shí)，我們?cè)O(shè)置交易量及其止盈。 然后我們可以估算這筆交易的止損價(jià)位。 其數(shù)值應(yīng)該是這樣的，即道義期望變?yōu)檎妗?換言之，我們找到可能的最大止損值。?

我們來看看如何以象征性的方式做到這一點(diǎn)。 首先，我們需要找到輔助變量的值：

那么止損將受到不等式的限制：

一旦我們指定了手?jǐn)?shù)和止損，那么我們就可以估算止盈價(jià)位。

那么此交易的止盈將如下所示：

這是一個(gè)理論。 現(xiàn)在我們看看在實(shí)踐中能做什么。 為此，編寫一個(gè)模擬交易執(zhí)行的腳本。 我們將同時(shí)檢查三個(gè)選項(xiàng) — 固定止損和止盈，浮動(dòng)止損和浮動(dòng)止盈。

乍一看，具有固定止損和止盈（藍(lán)線）的選項(xiàng)獲勝。

但是，應(yīng)該記住，我們用的是可能的最大止損和最小止盈。 如果我們稍微減少止損點(diǎn)數(shù)和增加止盈點(diǎn)數(shù)來遠(yuǎn)離這些界限會(huì)發(fā)生什么？ 那么情況也許會(huì)改變。

紅線顯示浮動(dòng)止損交易的結(jié)果，橙色線顯示浮動(dòng)止盈交易的結(jié)果。 正如我們所看到的，浮動(dòng)止盈可以對(duì)交易結(jié)果產(chǎn)生積極影響。

道義期望和資金管理

我們把道義期望等式分成兩部分。 我們有條件地稱第一部分有利可圖：

第二部分稱為無利可圖：

如果我們仔細(xì)觀察盈利部分，我們就能看到是手?jǐn)?shù)的增加導(dǎo)致其增長。 然而，手?jǐn)?shù)的相同增加導(dǎo)致無盈利部分的減少。 結(jié)果救國，無盈利的部分可能會(huì)有零值（甚至負(fù)值）。 在這種情況下，對(duì)于這種交易的道義期望變成負(fù)面。 正如我們所記得的，這不是最佳選擇，理性的交易者不贊成它。

我們的下一個(gè)想法是找到某個(gè)?lot?值，以便等式的盈利和無盈利部分同時(shí)具有最大可能值。 那么對(duì)于給定的?SL?和?TP，道義期望將是最大的。 在圖中，您可以看到道義期望如何隨著 lot 的增加而變化。

數(shù)值實(shí)驗(yàn)給出了積極的結(jié)果。 現(xiàn)在我們來推導(dǎo)出最佳倉位大小的方程。 為此，我們需要找到道義期望相對(duì)于?lot?變量的導(dǎo)數(shù)，將其等同于零，并求解生成的方程。 結(jié)果就是，我們得到以下表達(dá)式：

我們注意括在表達(dá)式里方括號(hào)中的部分。 在此，我們看到數(shù)學(xué)期望由止損和止盈分開。 請(qǐng)注意，為了正確計(jì)算 lot 值，交易的數(shù)學(xué)期望應(yīng)嚴(yán)格為正數(shù)值。 換言之，應(yīng)始終滿足以下條件：

順便說一下，如果我們?cè)诜嚼ㄌ?hào)中擴(kuò)展分?jǐn)?shù)，我們得到凱利（Kelly）準(zhǔn)則：

現(xiàn)在，我們嘗試模擬一系列交易，其中 lot 值是在道義期望的幫助下進(jìn)行管理。 在此，我們回看到各種結(jié)果。 例如，初始本金可以增加 160 倍以上。

不過，連續(xù)幾筆虧損交易可能會(huì)影響結(jié)果的最佳方式。 在下圖中，我們可以看到初始本金增加了大約五十倍。 這是相當(dāng)不錯(cuò)的。 如果您不考慮在第 90 步附近的事實(shí)，那初始本金增加了約三百倍。

風(fēng)險(xiǎn)管理

正如我們所見，依據(jù)道義期望來管理資金既可以帶來可觀的收益，也可能帶來非常明顯的損失。 這就提出了風(fēng)險(xiǎn)管理的問題。

這里有兩種方式。 第一個(gè)（最明顯的一個(gè)）是在計(jì)算中不占用全部可用資金，而只取用其中的一部分。 例如，您可以設(shè)置一些固定額度。 此外，您可以設(shè)置當(dāng)前余額的百分比。 無論如何，它將幫助您降低交易時(shí)的風(fēng)險(xiǎn)。

第二個(gè)風(fēng)險(xiǎn)管理選項(xiàng)是改變盈利交易概率的計(jì)算。 我們來更詳細(xì)地看一下此選項(xiàng)。

假設(shè)?n?是交易總數(shù)，而?m?是獲勝交易的數(shù)量。 然后我們可以將獲勝的概率估算為：

但是，這種方式并不完全正確。 因?yàn)榘凑者@種方式，我們可以估算已發(fā)生事件的頻率。 取而代之，我們需要獲得在未來交易中獲勝的概率。

假如說您已經(jīng)進(jìn)行了 15 筆交易，其中 10 筆獲勝。 您即將開立下一筆持倉。 然后交易總數(shù)將加 1，但獲勝交易的數(shù)量可以增加、或保持不變。

我們?nèi)∵@些選項(xiàng)的平均值，然后開倉獲勝的概率將是：

通過這種方式，我們得到?Krichevsky-Trofimov 估算器，其符號(hào)形式如下所示：

加入偏移可以稍微降低獲勝概率，從而降低風(fēng)險(xiǎn)。

我們將概率估算推廣如下：引入任意偏移?s?>= 1。 那么獲勝的概率將是：

通過設(shè)置?s，我們可以在相當(dāng)寬的范圍內(nèi)調(diào)節(jié)風(fēng)險(xiǎn) —?s?值越大，風(fēng)險(xiǎn)越低。

不幸的是，風(fēng)險(xiǎn)降低也會(huì)影響所獲利潤金額。 因此，任何交易者都會(huì)面臨一個(gè)選擇：高風(fēng)險(xiǎn)可以讓您獲得豐厚的盈利，但損失也可能非常大。 低風(fēng)險(xiǎn)可以令您減低損失，但這樣利潤亦會(huì)縮小。

我們來看看風(fēng)險(xiǎn)如何影響交易。 我采用最簡(jiǎn)單的智能系統(tǒng)，在兩條移動(dòng)平均線的交點(diǎn)處進(jìn)行交易。 EA 采用以下參數(shù)進(jìn)行測(cè)試：

貨幣對(duì): EURUSD，

時(shí)間幀: H1，

測(cè)試區(qū)間: 2021.01.01 – 2022.12.31

所有其它參數(shù)均為默認(rèn)值。

測(cè)試期間產(chǎn)生 419 筆交易。 余額圖如下所示：

對(duì)于不同的風(fēng)險(xiǎn)值，獲得以下結(jié)果。

正如我們所見，降低風(fēng)險(xiǎn)會(huì)減少利潤，但可以改善交易策略的其它參數(shù)。

結(jié)束語

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