著名的三次方程求根公式
大家好，今天跟大家談?wù)撓氯畏匠痰膯栴}，二次方程很容易搞定，到了三次，解法是什么呢？
1.三次方程求根公式誕生
??? 歷史上有個文藝復興時期，一元三次方程解法就在那時候誕生的，當時學術(shù)界喜歡浪漫，掌握真正解法后并不發(fā)表而是互相競賽，比試下誰求解更厲害。意大利一位數(shù)學家塔塔利亞，在一次挑戰(zhàn)中完勝，其內(nèi)容就是關(guān)于三次方程求解的問題，從此名聲大噪，他將成為歷史上掌握三次方程求根方法第一人，但當時卻沒發(fā)表他的解法，而是繼續(xù)挑戰(zhàn)，來證明自己的實力。
??? 那時，一位有心人叫卡爾達諾（Cardano，有譯為卡丹），覬覦其解法，就書信請教塔塔利亞，再三哀求下，終于知曉求根的真諦，并且向塔塔利亞承諾任何時候都不發(fā)表塔塔利亞的解法，但沒多久卡爾達諾發(fā)表《大術(shù)》一書，完完整整地記載了三次方程的求根公式，并稱為卡爾達諾公式，三次方程求根公式從此誕生。
??? 有人為塔塔利亞忿不平，辛辛苦苦的成果被人篡奪，但卡爾達諾說那不是塔塔利亞的解法，真相到底是什么，就無人知曉了。不過我們清楚，再好的成果不去分享也是自私的，古人孰對孰錯留給大家評說吧……
2.求根方法
??? 卡爾達諾公式的算法還是很清晰的，對于缺少二次方項的三次方程，型如x^3+px+q=0，由于對稱樣式，可以設(shè)x=m^(1/3)+n^(1/3)，三次項展開之后可提出公因式m^(1/3)n^(1/3)化簡，然后分別使兩部分等于0，就相當于解一個二次方程了，最后能得出一個根，即
三次根式里面寫出二次根式的形式在當時首次出現(xiàn)，是一種進步，進步來了但問題也隨之而至……
3.后續(xù)問題
??? 利用卡爾達諾公式，有些很簡單的問題被復雜化，比如
x^3+6x=20，按照公式解出來是這樣的
但仔細觀察會發(fā)現(xiàn)上式可因式分解，即
x^3-8+6x-12=0
(x-2)(x^2+2x+4)+6(x-2)=0
(x-2)(x^2+2x+10)=0
易知，2是其中的實根，當然那個時候沒有虛數(shù)概念，而且只認為正數(shù)才是根，很難把上面的根與2聯(lián)系在一起，這還不是最郁悶的，有些情況用卡爾達諾公式根本得不出解，
如x^3-39x+70=0，通過卡爾達諾公式算得
根式下出現(xiàn)負數(shù)了，無法求解，仔細觀察會發(fā)現(xiàn)原方程依然可因式分解，即
x^3-8-39x+78=0
(x-2)(x^2?+2x+4)-39(x-2)=0
(x-2)(x^2?+2x-35)=0
(x-2)(x+7)(x-5)=0
可知方程存在3個根，2，-7，5，那么，用卡爾達諾公式出現(xiàn)的根到底是怎么回事兒呢？
4.解決方法
??? 問題出現(xiàn)在化簡上，三次根式里面放二次根式是空前的創(chuàng)意，很難找到化簡方法，再有就是當時沒有復數(shù)概念，遇到三次根式里面還有虛數(shù)就更無法入手了。
????三方程求根公式的出現(xiàn)，引起人們對數(shù)域的反思，后來發(fā)展出今天的虛數(shù)單位i，現(xiàn)在認為數(shù)的全部域我們都觸及到了，真的是這樣么？不一定哦……
??? 我們根據(jù)前面的過程能確定m，n的值，但根x1并不是m+n，而是立方根的和m^(1/3)+n^(1/3)，立方根其實是多值的，平方根都有正負兩個值，立方根當然不能遜色了，把所有情況都討論出來才會得到正確答案。
??? 引入復數(shù)之后，根據(jù)前面提到的塔塔利亞或者說是卡爾達諾的方法，對求三方程根的過程加以探討，凝聚出今天的結(jié)果，
如果x^3+px+q=0，那么，原方程的三個根分別為：
其中
??? 最后，對于三次方程的完全形式，
ax^3+bx^2?+cx+d=0，可以設(shè)x=y-(b/3/a)，就可以消去平方項了，這就是著名的三次方程求根公式……
卡爾達諾公式對數(shù)學界的影響頗大，激怒了塔塔利亞，后來卡爾達諾的學生為老師辯解，提出競賽挑戰(zhàn)，哪知這名學生叫費拉里，早已想出四次方程的解法了，完虐塔塔利亞！現(xiàn)實就是這樣，敝帚自珍，不知不覺地被后人超越，逆水行舟不進則退，分享互利才是發(fā)展的階梯……
??? 求根公式也促進了數(shù)域的發(fā)展，后來高斯根據(jù)復數(shù)的理論和前人的貢獻證明了任何n次方程在復數(shù)范圍都有n個根……涉及復數(shù)就出現(xiàn)很多東西，三言兩語說不清楚，有興趣的朋友關(guān)注近期投稿吧！
??? 最后告訴大家一個秘密，對于三次方程根的結(jié)構(gòu)，可以證明如果求根公式中二次根式里面是負數(shù)，那么它將存在三個實數(shù)根，驚不驚喜，意不意外？
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ax^3+bx^2?+cx+d=0
