預(yù)備知識(shí)：

1. 數(shù)列l(wèi)im n^（1/n）=1，lim a^（1/n）=1，a>0；

2. 收斂數(shù)列{an}極限為a，則an=a+ɑn，其中{ɑn}為一個(gè)無窮??；

3. 收斂數(shù)列必有界；

4. 有限個(gè)無窮小的和還是無窮??；

5. 有界數(shù)列乘以無窮小的積還是無窮??；

6. 設(shè)lim an=a，則lim（a1+a2+……+an）/n=a；

7. 設(shè)lim an=a，lim（a1+2a2+……+nan）/（1+2+……+n）=a；

8. 設(shè)lim（a1+a2+……+an）=A，lim（a1+2a2+……+nan）/n=0；

9. 設(shè)lim（a1+a2+……+an）=A，lim（n！a1*a2*……*an）^（1/n）=0.

10. 定比分點(diǎn)：在線段P1P2上求一點(diǎn)P，使得由P分成的兩個(gè)有向線段P1P與PP2的量的比為定數(shù)λ（λ不為-1），即P1P/PP2=λ，則P為線段P1P2以λ為定比的分點(diǎn)，且OP=（OP1+λOP2）/（1+λ）——定比分點(diǎn)公式。
    

11. 矩陣乘法運(yùn)算律——

    a.結(jié)合律：（AB）C=A（BC）

    b.左分配律：A（B+C）=AB+AC

    c.右分配律：（B+C）D=BD+CD

    d.若A是n級(jí)矩陣，單位矩陣為E，則有：AE=EA=A

    e.矩陣乘法與數(shù)量乘法滿足：k（AB）=（kA）B=A（kB）

    f.可逆方陣：設(shè)A為n階方陣，若存在n階方陣B，使AB=BA=E，則稱B為A的逆方陣，而稱A為可逆方陣。

12. 矩陣A可逆的充要條件：|A|不為0——|A|為矩陣A對(duì)應(yīng)的行列式。

13. 矩陣對(duì)應(yīng)行列式滿足：|AB|=|A||B|；

14. 設(shè)A與B都是數(shù)域K上的n級(jí)矩陣，如果AB=E，那么A與B都是可逆矩陣，并且A^（-1）=B，B^（-1）=A。

15. A的伴隨矩陣A*滿足：A*=|A|A^（-1）

16. E（i，j）為單位矩陣i，j行對(duì)調(diào)——
    

    方陣A可逆，A對(duì)調(diào)i，j行成B矩陣：B=E（i，j）A

    方陣A可逆，A對(duì)調(diào)i，j列成B矩陣：B=AE（i，j）

17. 矩陣的轉(zhuǎn)置：把n級(jí)矩陣A的行與列互換得到的矩陣稱為A的轉(zhuǎn)置，記作A'；

18. 定義：設(shè)A為方陣，若A'=A，則稱A為對(duì)稱矩陣，若A'=-A，則稱A為反對(duì)稱矩陣。

19. 矩陣轉(zhuǎn)置運(yùn)算律——

    （A+B）'=A'+B'

    （kA）'=kA'

    （AB）'=B'A'

參考資料：

1. 《數(shù)學(xué)分析習(xí)題演練》（周民強(qiáng) 編著）

2. 《空間解析幾何》（高紅鑄 王敬蹇 傅若男 編著）

3. 《高等代數(shù)——大學(xué)高等代數(shù)課程創(chuàng)新教材》（丘維聲 著）

數(shù)學(xué)分析——

例題（來自《數(shù)學(xué)分析習(xí)題演練（周民強(qiáng)?編著）》）——

試證明數(shù)列{an}不收斂：{tan n}.

證（反證法）：若tan n有極限a——

1. 已知公式：tan（m+n）=（tan m+tan n）/（1-tan?m?tan?n），令m趨向于無窮大，則有

   a=（a+tan n）/（1-a tan n）；

2. 解得上式：-a^2=1，導(dǎo)出矛盾，證畢。

????

解析幾何——

例題（來自《空間解析幾何（高紅鑄 王敬蹇 傅若男?編著）》）——

求證（axb）^2<=a^2*b^2，并求等號(hào)成立的條件，并對(duì)上述不等式作出幾何解釋。

證——

1. 由外積定義由：

   （axb）^2=|axb|^2=|a|^2*|b|^2*sin^2∠（a，b）<=|a|^2*|b|^2=a^2*b^2，

   等號(hào)成立，當(dāng)期僅當(dāng)sin∠（a，b）=1，即a垂直于b；

2. 幾何解釋：以|a|，|b|為鄰邊的平行四邊形的面積小于等于以|a|，|b|為鄰邊的矩形的面積。

高等代數(shù)——

例題（來自《高等代數(shù)——大學(xué)高等代數(shù)課程創(chuàng)新教材（丘維聲 著）》）——

證明：兩個(gè)n級(jí)斜對(duì)稱矩陣A與B的乘積是斜對(duì)稱矩陣當(dāng)且僅當(dāng)AB=-BA.

證：

必要性——

1. 已知，兩個(gè)n級(jí)斜對(duì)稱矩陣A與B的乘積是斜對(duì)稱矩陣，即A'=-A，B'=-B，（AB）'=-AB；

2. 又（AB）'=B'A'=（-B）（-A）=BA；

3. 由1,2：AB=-BA。

充分性——

1. 已知，兩個(gè)n級(jí)斜對(duì)稱矩陣A與B，即A'=-A，B'=-B，且AB=-BA；

2. 則（AB）'=B'A'=（-B）（-A）=BA=-AB，即矩陣A與B的乘積是斜對(duì)稱矩陣。

到這里！