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實(shí)變函數(shù)漫談(14)可測(cè)函數(shù)的收斂2

2023-06-30 11:33 作者:南海之聲sonnet耳放 0人讀過(guò) | 我要投稿

? 剛才已經(jīng)看到，幾乎處處收斂在測(cè)度論的意義下等于就是處處。下面再介紹一個(gè)依測(cè)度收斂的概念，在概率論中就是依概率收斂，也就是 $E(f_n-f%3E%5Cvarepsilon%20)%E8%B6%8B%E8%BF%91%E4%BA%8E0$ 。這兩種收斂是完全不一樣的，幾乎處處收斂不一定依測(cè)度收斂，因?yàn)槎x域可以取無(wú)窮測(cè)度的集合；而依測(cè)度收斂也不一定幾乎處處收斂，因?yàn)椴皇諗康哪莻€(gè)點(diǎn)是可以任意跑動(dòng)的，會(huì)導(dǎo)致處處不收斂。

$F.Reisz%3A%20%E5%A6%82%E6%9E%9CE%E4%B8%8A%E5%8F%AF%E6%B5%8B%E5%87%BD%E6%95%B0%E5%88%97%E4%BE%9D%E6%B5%8B%E5%BA%A6%E6%94%B6%E6%95%9B%E4%BA%8Ef%2C%E5%BF%85%E5%AD%98%E5%9C%A8%E5%AD%90%E5%88%97%E5%9C%A8E%E4%B8%8A%E5%A4%84%E5%A4%84%E6%94%B6%E6%95%9B%E4%BA%8Ef$

證明的關(guān)鍵是構(gòu)造一個(gè)子列 $f_%7Bn_v%7D%EF%BC%8Cv%3D1%2C2%2C3....$ ,和一個(gè)集合 $E%5E%5Cprime$ ，因?yàn)?img type="latex" class="latex" src="http://api.bilibili.com/x/web-frontend/mathjax/tex?formula=f_n" alt="f_n">本身就是依測(cè)度收斂的，所以存在 $n_v%E4%BD%BF%E5%BE%97%5Cmu%20%5Clbrace%20E(f_%7Bn_v%7D-f%3E%5Cdfrac%7B1%7D%7B2%5Ev%7D)%5Crbrace%20%5Cleq%20%5Cdfrac%7B1%7D%7B2%5Ev%7D$ ，記 $E_v%3DE(f_%7Bn_v%7D-f)%5Cleq%5Cdfrac%7B1%7D%7B2%5Ev%7D$ ,取 $F_k%3D%5Cbigcap_%7Bv%3Dk%7D%5E%7B%5Cinfty%7D%20E_v$ ，再取 $F%3D%5Cbigcup_%7Bn%3D1%7D%5E%7B%5Cinfty%7D%20F_k$ ,證 $E-F%E6%98%AF%E4%B8%80%E4%B8%AA%E9%9B%B6%E6%B5%8B%E9%9B%86$

其實(shí) $F%E6%98%AFE_v%E7%9A%84%E4%B8%8B%E6%9E%81%E9%99%90%EF%BC%8C%E9%82%A3%E4%B9%88E-F%E5%85%B6%E5%AE%9E%E5%B0%B1%E6%98%AFE-E_v%E7%9A%84%E4%B8%8A%E6%9E%81%E9%99%90$ 。