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我們已經(jīng)很自然地認(rèn)為，不僅可以用一些協(xié)變量來解釋單個(gè)索賠的頻率，而且可以用單個(gè)成本來解釋。

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當(dāng)然，在考慮到

一些協(xié)變量的情況下，應(yīng)該考慮使用適當(dāng)?shù)淖鍖Τ杀镜姆植歼M(jìn)行建模。以下

是我們將使用的數(shù)據(jù)集，

通常用來模擬成本的族是Gamma分布或逆高斯分布或?qū)?shù)正態(tài)分布（它不在指數(shù)族中，但是可以假設(shè)成本的對數(shù)可以用高斯分布建模）。在這里僅考慮一個(gè)協(xié)變量，例如汽車的壽命，以及兩個(gè)不同的模型：一個(gè)Gamma模型和一個(gè)對數(shù)正態(tài)模型。

1. > age=0:20

2. > reggamma.sp <- glm(cout~agevehi,family=Gamma(link="log"),

3. + data=couts)

4. > Pgamma <- predict(reggamma.sp,newdata=data.frame(agevehi=age),type="response")

對于Gamma回歸，這是一個(gè)簡單的GLM，因此并不困難。對于對數(shù)正態(tài)分布，應(yīng)該記住對數(shù)正態(tài)分布的期望值不是基礎(chǔ)高斯分布的指數(shù)。應(yīng)該進(jìn)行更正，以便在這里獲得平均費(fèi)用的無偏估算，

我們可以在一張圖上繪制這兩個(gè)預(yù)測，

1. > plot(age,Pgamma,xlab="",ylab="",col="red",type="b",pch=4)

2. > lines(age,Pln,col="blue",type="b")

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也可以使用樣條曲線，因?yàn)槟挲g沒有可能以可乘的方式出現(xiàn)在這里

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在這里，兩個(gè)模型非常接近。但是，Gamma模型對大額索賠可能非常敏感。另一方面，通過對數(shù)正態(tài)模型的對數(shù)轉(zhuǎn)換，可以看出該模型對大額索賠不太敏感。實(shí)際上，如果我使用完整的數(shù)據(jù)集，則回歸如下：

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即，具有對數(shù)正態(tài)分布的平均成本隨著汽車的使用年限而降低，而隨著Gamma模型的增長而增加。

1. > couts[which.max(couts$cout),]

2. cout exposition zone puis agevehi ageconduct

3. 7842 ?4024601 ? ? ? 0.22 ? ?B ? ? ? ? 9 ? ? ? ? ?13 ? ? ? ? ? ?19

4. marque carbur densi region

5. 7842 ? ? ?2 ? ? ? ? E ? ? ?93 ? ? 24

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一名年輕司機(jī)帶著一輛13歲的汽車索賠400萬美元。這是Gamma回歸的異常值，顯然會影響估計(jì)值（如果只有第二個(gè)，則第二大）。由于大額索賠對平均成本的估算有明顯影響，因此自然的想法可能是刪除那些大額索賠。或者也許將它們視為與正常索賠不同：正常索賠可以通過一些協(xié)變量來解釋，但也許這些大索賠不僅應(yīng)在其自己的類別內(nèi)，而且應(yīng)在投資組合中的所有被保險(xiǎn)人內(nèi)共享。為了使這個(gè)想法正式化，我們可以寫

藍(lán)色部分與正常大小的聲明相關(guān)聯(lián)，而大號部分對應(yīng)于紅色部分。然后，有可能進(jìn)行三種回歸：一個(gè)針對正常大小的索賠，一個(gè)針對大的索賠，以及一項(xiàng)針對具有大索賠的指標(biāo)（假設(shè)發(fā)生索賠）。大筆索款超過10,000美元

1. > s= 10000

2. > couts$normal=(couts$cout<=s)

3. > mean(couts$normal)

4. [1] 0.9818087

在我們的數(shù)據(jù)集中占2％的索賠。我們可以進(jìn)行3組回歸，并根據(jù)汽車的壽命進(jìn)行平滑回歸。第一個(gè)模擬大額索賠個(gè)人成本的模型，

1. 


2. > ypB=predict(regB,newdata=data.frame(agevehicule=age),type="response")

3. > ypB2=mean(couts$cout[indice])

第二個(gè)模型正常索賠個(gè)人成本，

1. 


2. > ypA=predict(regA,newdata=data.frame(agevehicule=age),type="response")

3. > ypA2=mean(couts$cout[indice])

最后，考慮到發(fā)生了索賠，提出了第三種索賠的可能性

1. > ypC=predict(regC,newdata=data.frame(agevehicule=age),type="response")

2. > ypC2=predict(regC2,newdata=data.frame(agevehicule=age),type="response")

在下圖上，我們繪制了

在這里，將Gamma回歸（包括樣條曲線）作為平均成本，而邏輯回歸（也包括樣條曲線）被視為對概率進(jìn)行建模。

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應(yīng)進(jìn)行調(diào)整以獲得足夠的溢價(jià)水平。即

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更進(jìn)一步，可能還可以假設(shè)，不僅索賠的大小（假設(shè)索賠額很大）不是任何協(xié)變量的函數(shù)，而且擁有極大索賠的可能性?也不是。

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從第一部分開始，我們已經(jīng)看到了所考慮的分布對預(yù)測有影響，在第二部分中，我們已經(jīng)看到了大額索賠的定義（以及如何處理它們）也有影響。很明顯，精算師在進(jìn)行利率評估時(shí)具有一定的杠桿作用。

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