【菲赫金哥爾茨微積分學教程精讀筆記Ep31】實數(shù)世界（七）
今天按計劃解決實數(shù)論的最后一個問題——線段的度量。
平心而論，老碧之前讀的時候，一直覺得這部分有點繞，所以基本上都是直接跳過的。但是今天仔細捋了一下之后，發(fā)現(xiàn)理清楚那繞來繞去的表達還是很有意思的——
如果老碧模糊的印象沒出問題，這個定義的起點，用到了歐幾里得的敘述方式和措辭：
因為年代久遠，并且，古希臘數(shù)學是以幾何為核心的，所以對我們已經(jīng)習慣了幾何的解析化（代數(shù)化）表達的思維，會有點點不適應，但是看明白了就會很有趣。
之所以需要敘述明白這個問題是因為，我們還記得教材的起點——
我們最先發(fā)現(xiàn)“有理數(shù)的不完備性”就來自于，求“邊長為1的正方形的對角線的長度”——
所以，我們定義擴充完了數(shù)系就得把那個最原始的問題解決了：我們要，重新回到幾何的領域，去聊聊那些無法以有理數(shù)定義長度的線段。
而這一部分敘述的最后又提到了關于數(shù)軸的定義，則又回到了近代數(shù)學笛卡爾創(chuàng)立的解析幾何范疇，這樣我們就可以順承數(shù)形的統(tǒng)一性，然后進入數(shù)學的第三大分支，分析學的基礎內(nèi)容了。
書中先提出了要聊的問題——
21線段的度量
這個話題其實是在呼應本書開頭提出的問題，我們發(fā)現(xiàn)了“邊長為1的正方形的對角線的長度”不能在有理數(shù)范圍內(nèi)找到對應，于是，要求我們擴充數(shù)系，而擴充數(shù)系的目的，就是為了重新給出線段長度的定義，并且，數(shù)軸上（一維空間中）不存在不能被新數(shù)——實數(shù)表示的點，即，數(shù)軸上的點與實數(shù)能實現(xiàn)一一對應。
接著書上給出了線段度量的三條公理性的設定，簡稱“公設”——
這三條設定分別是——
給出了單位長度的概念——預先給定線段E的長度設為1，記作l（E）=1——l（X）即為線段長度的符號表示，X表示任意線段。
給出了線段相等的定義——相等的線段有同一的長，即若線段A=B，意味著，l（A）=l（B）。
給出了線段加法的定義——線段相加，和的長等于長度的和，即，l（A+B）=l（A）+l（B）。
注：
“公設”這個詞源于歐幾里得《幾何原本》，這本書最先給出了，“根號二是無理數(shù)”的的證明——書中敘述為，根號二是不可公度的，菲書采用了“公設”和“公度”這兩個概念——史濟懷老師的《數(shù)學分析教程》各版本的前兩節(jié)都簡要敘述了數(shù)軸的內(nèi)容。
關于線段加法的這個定義，如果學過同構映射，會對這個形式有一定敏感性，《高等代數(shù)》的內(nèi)容，感興趣的同學可以去看丘維聲老師的公開課。
給出線段長度加法與線段加法的關系，是為了將關于線段轉化為線段長度來驗證相關性質更方便，線段長度是數(shù)，一定要記住哦！
對于線段的度量，書上按照“與單位線段可共度的線段”和"與單位線段不可公度的線段"兩種情形來討論——
1.與單位線段可共度的線段的度量——
然后書中給出了“公共度量”的概念，簡稱“公度”，來自于《幾何原本》的另一個概念——
“公度”指的是——兩個線段的長度同時是某一條給定線段長度的倍數(shù)——這里的給定線段即為“把單位線段E等分成q份所得的線段”，我們不妨記給定線段為Y，所以，對于任意一個由給定線段相加有限次數(shù)p得到的線段A，我們有——
l（E）=q[l（Y）]；
l（A）=p[l（Y）]；
由1、2，以及數(shù)的運算性質，l（A）/l（E）=p[l（Y）]/p[l（Y）]=p/q，即l（A）=（p/q）[l（E）]。
——即A的長度可以用E的長度和有理數(shù)的乘積直接表出。
于是由3我們得到如下結論——
我們?nèi)〉?span id="s0sssss00s" class="color-purple-02">公共度量（給定的線段）大小不會影響我們要取得的結果，所以我們解決了所有“與單位線段可公度的線段”的度量——
顯然這些線段的長度對應有理數(shù)p/q，即這些線段對應有理數(shù)p/q；
反之，任給一個有理數(shù)p/q，我們可以按照上述操作得到一個對應長度的線段；
故而，“與單位線段可公度的線段”與有理數(shù)實現(xiàn)“一一對應”。
接著我們考慮情形二——
2.與單位線段不可公度的線段的度量
先借助線段加法的定義，給出了不同的長度的線段的關系——
我們知道：
如果線段A大于線段B，則，那么我們由幾何直觀，在線段B上加上某一段線段C，則可得到A，即——A=B+C，則l（A）=l（B+C）；
由線段加法的定義，l（B+C）=l（B）+l（C）；
由1、2，得l（A）=l（B）+l（C）；
因為l（C）>0，則l（A）>l（B）。
由此我們得出了不同長度線段的關系——
不相等的線段由不等的長度，較長的線段對應較大的長度，即線段到長度的映射是單值的。
在我們考慮情形二的時候，會用到線段和它們長度的關系——
我們已經(jīng)驗證過有理數(shù)和“與單位線段不可公度的線段”是一一對應的關系。
那么，依照“排中律 ”，另一種線段——與單位線段不可公度的線段則無法對應到任何有理數(shù)，即其長度無法由有理數(shù)表示。
我們采取無限逼近的思想——
對與單位線段不可公度的線段Z的長度，我們可以用兩組與單位線段可公度的線段S與S'的長度無限逼近它，即l（S）<l（Z）<l（S'），對任意小正數(shù)e>0，存在S，S'，使l（S'）-l（S）<e——
我們記l（S）為s，記l（S'）為s'；
我們把所有負有理數(shù)，0，和s放入下組，把所有s'放入上組；
顯然下組任意數(shù)小于上組任意數(shù)，上下組覆蓋了所有有理數(shù)，我們得到了一個有理數(shù)的分劃，于是我們得到界數(shù)z；
顯然我們之前驗證了無數(shù)遍了，z是s與s‘之間的唯一數(shù)，且z肯定不是有理數(shù)，因為我們在一開始定義的時候，明顯s和s'都取不到邊界值l（Z），于是l（Z）=z。
由此我們得到了，與單位線段不可公度的線段Z的度量——與無理數(shù)的定義很顯然是對應的。
接著由這種方式，定義任意線段的加法——
對任意兩個線段P和Z，長度即為p=l（P），z=l（Z），我們用逼近的方式定義它們的和——T=P+Z的長度t=l（T）——
我們分別用兩組有理數(shù)r，r'，s，s'無限逼近p和z，r<p<r'，s<z<s'，所以r+s<p+z<r'+s'——對任意小正數(shù)e，存在r，r'，s，s'，使得r'-r<e/2，s'-s<e/2；
我們?nèi)￠L度為r的線段記作R，長度為r'的線段記作R'，長度為s的線段記作S，長度為s'的線段記作S'；
因為，線段R+S的小于T，線段R'+S'的大于T，所以由線段和它們長度的關系，較大的線段對應較長的長度，我們得到，r+s<t<r'+s'，；
又因為對于任意小正數(shù)e，（r'+s'）-（r+s）=（r'-r）+（s'-s）<e，所以r+s與r'+s'之間的數(shù)是唯一的，所以t=p+z。
由此我們證明了任意線段的可加性，顯然滿足公設3的條件。
最后給出了數(shù)軸的定義——即解析幾何的方法將幾何的方法向數(shù)轉化——
約定——
原點——對應恒元0；
單位長度——對應單位元1；
正方向：長度為正——對應正實數(shù)；
則得出相反的方向對應的線段：長度為負——對應負實數(shù)。
由此我們使得實數(shù)與數(shù)軸實現(xiàn)了”一一對應“——
有了解析幾何的思想，我們只要研究清楚表達式的性質，就可以對應得出相應的幾何性質。
下一周，正式進入微積分運算的基石——”極限論“——而后，我們現(xiàn)在的許多表達法，都可以得到更加嚴謹深刻的認知！
不見不散！
