最近有一個小游戲“羊了個羊”，突然爆火。它的游戲規(guī)則很簡單：把堆積在一起的牌從上到下點到臨時卡牌槽里，湊齊一樣的三張就能消掉，如果全部卡牌都消掉游戲就通關(guān)了。臨時卡槽一共有7個位置，如果位置都滿了，游戲就輸了。

這個游戲第一關(guān)非常簡單，就像1+1=2一樣。第二關(guān)難度飆升，直接變成考研。盡管通過分享游戲或者看廣告可以有一些輔助道具，但是還是有許多人玩了上百局都沒有通關(guān)。

有小朋友就問我說：為什么這個游戲這么難玩？它通關(guān)的概率到底有多大呢？經(jīng)過我三四天的研究，今天我就把我的研究成果向大家匯報一下。

一. 游戲的設(shè)計邏輯

在網(wǎng)上有一個大神，把游戲的源代碼找到了。

通過分析源代碼，我們可以發(fā)現(xiàn)這個游戲的設(shè)計大約可以分為三個步驟。

首先：在桌面上設(shè)計一些卡的位置。

如果卡牌一共有15種，每一種有18張，那么應(yīng)該設(shè)計15x18=270個卡位。每一卡位都有一組坐標(biāo)（x?，y?，z?），其中x?和y?表示在桌面上的位置，z?表示堆疊的層數(shù)， 角標(biāo)i從1到270。

其次：對卡牌進(jìn)行洗牌。

設(shè)計15種不同的卡牌，每種卡牌18張，調(diào)用“亂序”函數(shù)，隨機打亂270張卡的順序。

最后：按順序把每一張卡放進(jìn)對應(yīng)的卡位里。

因為“卡位”和“牌”都已經(jīng)有了順序，只要把序號相同的牌放在相應(yīng)的卡位上，就完成游戲的初始化。

在這個過程中，“設(shè)計卡位”的步驟是人工完成的，程序員人為的設(shè)定好每一個卡的位置，并且每一天更換一次。所以，你會發(fā)現(xiàn)卡的排列非常對稱，而且在每一天中固定不變，這就是“每日一關(guān)”的含義。

而“洗牌”的過程是程序隨機完成的，所以如果你在一天中打很多局，卡牌的位置不會變，但是每個位置上的卡牌種類是變化的。

通過分析程序設(shè)計邏輯，我們會發(fā)現(xiàn)：游戲設(shè)計者并沒有人為的設(shè)置障礙，讓玩家無法通關(guān)。但是因為它的“隨機洗牌“，造成許多關(guān)卡本身就是無解的。

而且，游戲能夠通關(guān)的概率有多大，和程序員人工設(shè)計卡位的方式很有關(guān)系?？梢韵胂螅喝绻绦騿T把所有的卡平鋪在桌面上，那程序100%是有解的。但是如果把所有卡摞成一列，那有解的可能性就微乎其微了。

二. 對殘局的數(shù)學(xué)分析

我們不妨來分析一個殘局，看看游戲有解的概率大約有多少。

假設(shè)在某一天的游戲中，游戲設(shè)計師設(shè)計的卡位，最底部的五層是這樣的：

最底層有一張牌：

在倒數(shù)第二層有4張牌：

在上面又壓了4張牌

在上面又壓了4張牌

最上面又壓了1張牌：

也就是：從最下方到最上方，是1-4-4-4-1的結(jié)構(gòu)，一共有14張牌。

如果這個結(jié)構(gòu)位于整個牌堆的最底部，根據(jù)解鎖的原則，只有點開最上層的1張牌，才能解鎖其他牌，所以要想通關(guān)，必須會在某個時刻面對這個殘局。那么，面對這樣的局面，通關(guān)概率大概有多大呢？

我們來計算一下這種牌局通關(guān)的必要條件：

假設(shè)在桌面上的最后14張牌，種類一共有N種。顯然，N最小是1（所有卡牌都是同一種類的），最大是14（所有卡牌都是不同的）?？梢韵胂螅喝缢械目ǘ际峭环N，一定能夠通關(guān)；如果有14種，那一定無法通關(guān)。那么，要想通關(guān)，這14張卡的種類N最多是幾呢？

“羊了個羊”是一個三消游戲，要想把N個種類的牌完全消除，牌的個數(shù)至少是3N張。也就是：如果殘局里每一種牌都是3張，一共3N張，就有可能完全消掉。

*如果某種牌有6張，那總的牌數(shù)就需要是3N+3張，才有可能完全消除。

可是，剛剛還說桌面上只有14張牌，現(xiàn)在又說有3N張，這不是矛盾嗎？別忘了：臨時卡槽還有一些位置。如果剛好能夠通關(guān)，3N張卡中有14張在桌面上，余下的3N-14張就應(yīng)該在臨時卡槽里。

還有，臨時卡槽一共只有7個位置，而且裝滿了牌游戲就結(jié)束了，所以臨時卡槽里的儲存的牌最多只有6張。

這樣，我們就得到了一個核心不等式：

3N-14≤6

這表示：殘局中如果有N種牌，那么要想通關(guān)，牌的數(shù)量至少是3N張，其中有14張在桌面上，余下的牌在臨時卡槽里，而且最多有6張。

解上述不等式，同時注意N是一個整數(shù)，得到

? N≤6

即：如果牌局的最底層14張牌如我假設(shè)排列，那么牌局有解的必要條件是最后14張牌的種類小于等于6種。

必須注意：即使?jié)M足這個條件，牌局依然不一定有解。但是不滿足這個條件，牌局一定是無解的。

*在我講到這個問題時，很多朋友說我做錯了，因為一共270張牌一定是3個一組消去的，所以最后不可能剩余不成組的14張牌。其實，這種說法是沒有理解我的設(shè)計意圖。因為程序員的隨機亂序，最后14張牌是什么都有可能。但是，如果最后14張牌的種類數(shù)多余6種，那么就必然無法通過消去達(dá)到這個殘局，也就是無解的。如果要有解，首先要達(dá)到這個殘局，那就必須滿足N≤6的條件。

三. 蒙特卡羅方法

一共15種牌，每種18張，隨機排列在270個位置上，在最后14個位置上牌的種類數(shù)小于6種，概率有多大呢？顯然這不是一個好算的數(shù)學(xué)問題。

不過幸好，我們有了計算機，可以通過蒙特卡羅方法得到問題的估計值。即讓計算機隨機嘗試10000次，看看有多少次滿足條件，就能估算這個概率了。

具體的模擬方法是這樣的：

模擬程序代碼如下：

通過實驗，我發(fā)現(xiàn)在10000次統(tǒng)計中，底層14張牌的種類小于等于6種的次數(shù)大約在40在70次之間。我又把以上的程序循環(huán)執(zhí)行了1000次，得到了在一萬局中，“可能有解”的局?jǐn)?shù)的分布關(guān)系如下：

你會發(fā)現(xiàn)：在一萬局中，可能有解的局?jǐn)?shù)大約成正態(tài)分布，期望數(shù)53，標(biāo)準(zhǔn)差7，也就是我們得出了以下結(jié)論：

如果游戲最底部的五層如我的設(shè)計，那么游戲有解的概率上限平均值為0.5%。我們有95%的把握說：游戲有解的概率上限不超過0.7%。

也就是說，玩1000把，最多也就只有5到7局是“有可能有解”的。實際上，我還只是考慮了14張牌的一個殘局，真實的游戲牌局比我設(shè)計的更坑，有解的概率很有可能再低10到100倍，即0.1%甚至0.01%！

游戲之所以不能通關(guān)，不是我們的智商問題，而是因為程序員偷懶做了個大隨機，造成關(guān)卡本身無解。

四. 如何改進(jìn)程序

如果我設(shè)計這個游戲，肯定不會允許無解的情況發(fā)生。我會按照這樣的思路設(shè)計游戲：

第一步：設(shè)計卡位順序：

1. 人為設(shè)定270個卡位。

*在沒有放卡之前，這些卡位都是空的。

2. 按照“從上到下“的解鎖條件，隨機生成一條解鎖路徑。

*因為同一層卡牌有很多張，解鎖的路徑也非常多。我們在這非常多的路徑中，讓程序隨機尋找一條符合規(guī)定的路徑即可。

3. 把解鎖路徑倒過來，作為卡位的順序。

第二步：設(shè)計卡牌順序

15種卡牌，每種6組，每組3張，按照同組三張在一起的原則，進(jìn)行組間亂序排列。

*和原來程序的區(qū)別在于：在我們的設(shè)計中，亂序后的卡牌依然是三張一樣的牌連在一起的。

第三步：將所有卡牌按序放回桌面的對應(yīng)卡位上

反復(fù)隨機執(zhí)行下列操作之一：

1. 取出卡牌序列中一組牌，2張放在臨時卡槽中，另1張按序放在桌面卡位上。

2. 將臨時卡槽中隨機的一張牌按序放到桌面卡位上。

*其實，這兩個步驟就是把消除卡片的順序倒過來。注意，在臨時卡槽空的時候只能做第一步，臨時卡槽的牌超過4張時只能做第二個步驟，而且做第一步驟時要保證卡槽內(nèi)不能已經(jīng)有相同的牌。

這樣，我設(shè)計了一條消除路徑（第一步），又按照消除的規(guī)則把卡牌一個個倒著放回到路徑上（第二步和第三步），所以最終一定是有解的，而且，這也并不會降低游戲的可玩性。怎么樣，我這個游戲設(shè)計師還不錯吧！

據(jù)說這兩天“羊了個羊”因為鋪天蓋地的批評，已經(jīng)把游戲難度調(diào)低了。我看它采用的方法貌似是增加某幾種牌的比例，減少另外幾種牌的比例。可是這樣做就大大降低了游戲性。

我依然建議他們，用我的方法修改一下游戲。