下文編譯自舊金山大學(xué)數(shù)學(xué)名譽(yù)教授?John Stillwell?為其新書(shū)?The Story of Proof: Logic and the History of Mathematics?撰寫(xiě)的導(dǎo)讀文章，他在文中通過(guò)畢達(dá)哥拉斯定理展示了“證明”的意義——“證明”是用任何人都能理解的陳述，來(lái)讓我們相信本來(lái)不相信的東西。

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The Story of Proof?講述了一個(gè)生動(dòng)的故事：數(shù)學(xué)如何發(fā)展新的概念和想法，以解決難題。對(duì)于任何對(duì)當(dāng)代數(shù)學(xué)及其發(fā)展方式感興趣的人，這本書(shū)都將非常有價(jià)值。
撰文?|?John Stillwell（舊金山大學(xué)數(shù)學(xué)名譽(yù)教授）

翻譯?|?下雪

在許多年前的在一堂數(shù)學(xué)入門(mén)課上，一個(gè)學(xué)生問(wèn)我：“為什么你要證明一切；為什么不直接告知我們呢？”從那以后，我一直在思考這個(gè)問(wèn)題。理查德·戴德金（Richard Dedekind）在其1872年的著作中給出了簡(jiǎn)短而明智的答案，該書(shū)的英譯本是?The Nature and Meaning of Numbers?。

在科學(xué)中，任何可以證明而沒(méi)有證明的事情均不應(yīng)被接受。下面這段關(guān)于17世紀(jì)哲學(xué)家托馬斯·霍布斯（Thomas Hobbes）的軼事，可以更好地解釋證明是如何起作用的，摘自約翰·奧布里（John Aubrey）有趣而古怪的故事集?Brief Lives。

他在40歲的時(shí)候才開(kāi)始研究幾何學(xué)，而這始于一次偶然。在一位紳士的圖書(shū)館，歐幾里得的《幾何原本》攤開(kāi)在桌面上，正好是命題47。他讀了這個(gè)命題。通過(guò)G……，他說(shuō)這是不可能的！（他有時(shí)會(huì)以強(qiáng)調(diào)的方式鄭重宣誓）于是他讀了證明，這促使他回到了他讀過(guò)的一個(gè)命題。而那個(gè)命題再次促使他去找另一個(gè)他讀過(guò)的命題。就這樣，他最終以證明的方式確信了那條真理。這也讓他愛(ài)上了幾何學(xué)。

Brief Lives

因此，數(shù)學(xué)上的證明就是能讓霍布斯相信最初他認(rèn)為不可能的事情，通過(guò)每個(gè)人都可以接受的陳述——現(xiàn)在被稱(chēng)為公理——達(dá)到最終的結(jié)果。這就是公理化方法，在公元前300年左右，它由歐幾里得的《幾何原本》首次給出，而現(xiàn)在所有數(shù)學(xué)家都在使用它。

現(xiàn)在，我必須告訴大家令霍布斯震撼的“命題47”就是畢達(dá)哥拉斯定理（即勾股定理），現(xiàn)在高中生都很熟悉它。事實(shí)上，早在畢達(dá)哥拉斯（和歐幾里得）之前，它就已被一些古老文明所理解了。大部分人都知道，這條定理是說(shuō)：直角三角形中，斜邊長(zhǎng)度的平方等于另外兩條邊長(zhǎng)度的平方之和。例如，在下圖中，灰色正方形的面積等于兩個(gè)黑色正方形的面積之和。

乍一看，這個(gè)等式難以置信——也難怪霍布斯不相信，但有一個(gè)非常聰明的方法來(lái)讓它看起來(lái)變得很顯然，可能在遠(yuǎn)古時(shí)代人們就已知道了這個(gè)方法。注意下面兩張圖，其中每個(gè)大正方形內(nèi)都包含四個(gè)三角形。

在左圖中，我們看到黑色正方形的面積，即三角形兩直角邊長(zhǎng)度的平方和，等于大正方形的面積減去四個(gè)三角形的面積。而右圖中，大正方形面積減去四個(gè)三角形面積等于灰色正方形的面積，也就是斜邊長(zhǎng)度的平方。

為什么歐幾里得要費(fèi)盡心思來(lái)證明它呢？我們相信，答案就在于畢達(dá)哥拉斯定理的結(jié)論，它使畢達(dá)哥拉斯的世界陷入混亂：這就是2的平方根的無(wú)理性。

當(dāng)直角三角形的兩條直角邊長(zhǎng)度都為1時(shí)，2的平方根就出現(xiàn)了。在這種條件下，鄰接兩條直角邊的每個(gè)正方形面積都是1。根據(jù)畢達(dá)哥拉斯定理，斜邊的平方是1+1=2，因此斜邊的長(zhǎng)度就是2的平方根，即√2。那么，√2到底是多少呢？畢達(dá)哥拉斯學(xué)派被這一發(fā)現(xiàn)震驚了，盡管他們可以用3/2、7/15、41/29、99/70等非常接近√2的分?jǐn)?shù)近似表示它，但是沒(méi)有一個(gè)分?jǐn)?shù)恰好等于√2。這就是為什么我們說(shuō)√2是無(wú)理數(shù)，意思是“不能用整數(shù)之比表示”，也暗示這是“不合理”的。似乎幾何的世界——長(zhǎng)度、角度和面積所生活的世界不能與1、2、3、4、5……所生活的的數(shù)字世界相協(xié)調(diào)。這一發(fā)現(xiàn)粉碎了畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的世界，他們信奉“萬(wàn)物皆數(shù)”。傳說(shuō)這一不受歡迎事實(shí)的發(fā)現(xiàn)者遭到了懲罰，或者說(shuō)受到了“神的制裁”——他被扔進(jìn)了海里。

無(wú)論如何，數(shù)字和幾何之間明顯的不可調(diào)和，似乎是導(dǎo)致希臘人用不言而喻的公理而非數(shù)字推導(dǎo)出幾何的原因。這確實(shí)很難做到。舉個(gè)例子，人們必須重新思考正方形（面積）的“和”的意義，以及這個(gè)“（面積）和”“等于”另一個(gè)正方形的意義。還必須用清晰的語(yǔ)言來(lái)表述這一切，以免發(fā)生誤解。而歐幾里得為了克服這些困難而發(fā)展的公理化方法一直持續(xù)到今天。誠(chéng)然，《幾何原本》中存在一些小漏洞，但公理化方法舉世無(wú)雙，是當(dāng)今數(shù)學(xué)研究的典范?，F(xiàn)在也有更綜合的公理系統(tǒng)，它們成功地統(tǒng)一了幾何世界和數(shù)的世界。

雖然公理化方法在原則上無(wú)懈可擊，但實(shí)際撰寫(xiě)證明時(shí)很容易出現(xiàn)人為的錯(cuò)誤。像其他人一樣，數(shù)學(xué)家也會(huì)犯錯(cuò)，而在很長(zhǎng)的證明中（這在20世紀(jì)變得很普遍），錯(cuò)誤可能很難被發(fā)現(xiàn)。它們往往隱藏在作者跳過(guò)的一些冗長(zhǎng)或重復(fù)的細(xì)節(jié)中，往往有諸如此類(lèi)的評(píng)注，"這很容易檢查"或"這個(gè)證明與以前的情況類(lèi)似"。不過(guò)，避免錯(cuò)誤是可能的，就像人們避免計(jì)算中的錯(cuò)誤一樣：通過(guò)機(jī)械化的過(guò)程。這可以實(shí)現(xiàn)是因?yàn)橐粋€(gè)完整的證明必須是每個(gè)合格的專(zhuān)業(yè)讀者都能理解的，相當(dāng)于不用思考就能檢查，因此證明可以通過(guò)機(jī)器檢驗(yàn)。證明過(guò)程的機(jī)械化與計(jì)算的機(jī)械化基本相同。

遺憾的是，編寫(xiě)機(jī)器可檢查的證明需要大量的人力，并且他們要對(duì)相關(guān)數(shù)學(xué)有深入了解。到目前為止，只有少數(shù)真正很長(zhǎng)的證明被重寫(xiě)成機(jī)器可檢查的形式（而由人們撰寫(xiě)的原始證明確實(shí)是基本正確的）。在那些等待被改寫(xiě)為可機(jī)器檢驗(yàn)的形式——甚至是只有數(shù)學(xué)專(zhuān)家才可以理解的形式而重寫(xiě)的證明中，最著名的例子就是所謂的abc猜想。這個(gè)猜想有一些技術(shù)性，它與一個(gè)簡(jiǎn)單等式a+b=c中的a、b、c的質(zhì)因數(shù)有關(guān)。但該猜想對(duì)數(shù)論學(xué)家來(lái)說(shuō)很有意義，因?yàn)樗鼤?huì)產(chǎn)出許多引人注目的結(jié)果。

自2012年以來(lái)，一小群數(shù)學(xué)家發(fā)表了他們所確信的abc猜想的證明。這個(gè)“證明”未能說(shuō)服其他大多數(shù)數(shù)論專(zhuān)家，他們指出“證明”中似乎有一個(gè)漏洞。這兩個(gè)群體之間的爭(zhēng)論已經(jīng)持續(xù)了10年之久，我稱(chēng)之為（為了避免提及名字）abc-信徒和abc-懷疑者。原則上，他們的爭(zhēng)議可以通過(guò)將“證明”轉(zhuǎn)換為機(jī)器可檢查的形式來(lái)解決。但是abc-信徒聲稱(chēng)這是不必要的，唯一的問(wèn)題是abc-懷疑者的“無(wú)知”。

最近幾個(gè)月，當(dāng)abc信徒轉(zhuǎn)向數(shù)學(xué)史時(shí)，這個(gè)本已奇怪的爭(zhēng)論變得更加奇怪了。他們把自己比作不幸的、被迫害的畢達(dá)哥拉斯主義者，因?yàn)樗麄儼l(fā)現(xiàn)了無(wú)理數(shù)√2。他們警告說(shuō)，如果abc-懷疑者占了上風(fēng)，將會(huì)有“可怕的后果”。

好吧，我們拭目以待。但歷史告訴我們，如果abc信徒想模仿歐幾里得，重建數(shù)學(xué)以適應(yīng)他們的思想，他們必須首先用一種人人都能理解的語(yǔ)言來(lái)寫(xiě)作。

希望不會(huì)出現(xiàn)如下場(chǎng)景（Sdiney Harris 的漫畫(huà)）：

John Stillwell

本書(shū)作者 John Stillwell 是舊金山大學(xué)數(shù)學(xué)名譽(yù)教授。他的著作包括?Elements of Mathematics（《數(shù)學(xué)要素》）和?Reverse Mathematics（《逆向數(shù)學(xué)》），均由普林斯頓大學(xué)出版社出版。?>>>
書(shū)籍介紹

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通過(guò)數(shù)學(xué)史上的關(guān)鍵事件，本書(shū)研究了“證明”（proof）概念的演變。從畢達(dá)哥拉斯定理一直到現(xiàn)代，舊金山大學(xué)教授?John Stillwell?認(rèn)為，“證明”思維激發(fā)了數(shù)學(xué)創(chuàng)新活力，并在知識(shí)生產(chǎn)方面發(fā)揮了關(guān)鍵作用。

作者從歐幾里德和他對(duì)幾何學(xué)發(fā)展及證明方法的影響開(kāi)始，談?wù)摰胶髞?lái)的代數(shù)與幾何學(xué)。Stillwell 著手研究數(shù)論、非歐幾里得幾何學(xué)、拓?fù)鋵W(xué)和邏輯學(xué)等領(lǐng)域，并探究自然數(shù)算術(shù)和實(shí)數(shù)之間的深層鴻溝。其中，康托爾、哥德?tīng)枴D靈等人發(fā)現(xiàn)，證明的概念最終構(gòu)成了算術(shù)的一部分。這一驚人的事實(shí)對(duì)哪些定理可以被證明、哪些問(wèn)題可以被解決施加了根本限制。

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名家推薦

"這本書(shū)完全可以作為一部數(shù)學(xué)史。......[Stillwell] 在收集和歸類(lèi)這一領(lǐng)域的許多最重要的思想方面做得很好。"——Jim Stein, 《數(shù)學(xué)新書(shū)》（New Books in Mathematics）

"我非常欣賞?Stillwell?的寫(xiě)作，這本書(shū)也沒(méi)有讓我失望。他在數(shù)學(xué)史上具有廣泛而權(quán)威的影響，能把讀者帶入那些具有創(chuàng)新性，并發(fā)揮關(guān)鍵作用的地方。"——David M. Bressoud，Calculus Reordered: A History of the Big Ideas??的作者"這是一個(gè)生動(dòng)的故事，講述了數(shù)學(xué)如何發(fā)展新的概念和思想，以解決棘手的問(wèn)題。對(duì)于任何感興趣當(dāng)代數(shù)學(xué)及其形成的人來(lái)說(shuō)，這本書(shū)都是非常有價(jià)值的。"——Jeremy Avigad，卡內(nèi)基梅隆大學(xué)"The Story of Proof——一本關(guān)于作為證明的數(shù)學(xué)，和作為數(shù)學(xué)的證明的書(shū)，歷久彌新，令人賞心悅目。"——Anil Nerode，康奈爾大學(xué)

本文由“返樸”翻譯，首發(fā)“普林斯頓讀書(shū)匯”