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【趣味數(shù)學(xué)題】賈憲三角

2021-10-02 09:55 作者:AoiSTZ23  | 我要投稿

鄭濤(Tao Steven Zheng)著

【問題】

算術(shù)三角(arithmetic triangle)是二項式 %7B(a%2Bb)%7D%5E%7Bn%7D展開式的系數(shù)在三角形中的一種幾何排列。宋代數(shù)學(xué)家賈憲約1050年首先使用算術(shù)三角進(jìn)行高次開方運算。二項式系數(shù)(binomial coefficients)的計算公式是

%5Cbinom%7Bn%7D%7Bk%7D%20%3D%20%5Cfrac%7Bn!%7D%7Bk!(n-k)!%7D%20

其中 nk 代表某系數(shù)的行列。 每一行兩個相鄰系數(shù)之和等于這兩個系數(shù)底下的系數(shù):

%5Cbinom%7Bn-1%7D%7Bk%7D%20%2B%20%5Cbinom%7Bn-1%7D%7Bk-1%7D%20%3D%20%5Cbinom%7Bn%7D%7Bk%7D

證明這個定理。


【題解】

%20%5Cfrac%7B(n-1)!%7D%7Bk!(n-1-k)!%7D%20%2B%20%5Cfrac%7B(n-1)!%7D%7B(k-1)!(n-k)!%7D%20%3D%20%5Cfrac%7Bn!%7D%7Bk!(n-k)!%7D%20

%5Cfrac%7B(n-1)!%7D%7Bk(k-1)!(n-1-k)!%7D%20%2B%20%5Cfrac%7B(n-1)!%7D%7B(k-1)!(n-k)(n-1-k)!%7D%20%3D%20%5Cfrac%7Bn!%7D%7Bk!(n-k)!%7D%20

%5Cfrac%7B(n-1)!%7D%7B(k-1)!(n-1-k)!%7D%20%5Cleft%5B%5Cfrac%7B1%7D%7Bk%7D%20%2B%20%5Cfrac%7B1%7D%7Bn-k%7D%5Cright%5D%20%3D%20%5Cfrac%7Bn!%7D%7Bk!(n-k)!%7D%20

%5Cfrac%7B(n-1)!%7D%7B(k-1)!(n-1-k)!%7D%20%5Cleft%5B%5Cfrac%7Bn%7D%7Bk(n-k)%7D%20%5Cright%5D%20%3D%20%5Cfrac%7Bn!%7D%7Bk!(n-k)!%7D

%20%5Cfrac%7Bn(n-1)!%7D%7Bk(k-1)!(n-k)(n-1-k)!%7D%20%3D%20%5Cfrac%7Bn!%7D%7Bk!(n-k)!%7D


%5Cfrac%7Bn!%7D%7Bk!(n-k)!%7D%20%3D%20%5Cfrac%7Bn!%7D%7Bk!(n-k)!%7D%20


因此,

%5Cbinom%7Bn-1%7D%7Bk%7D%20%2B%20%5Cbinom%7Bn-1%7D%7Bk-1%7D%20%3D%20%5Cbinom%7Bn%7D%7Bk%7D


【歷史縱橫】

算術(shù)三角在不同國家有許多名稱。在中國,它被稱為賈憲三角楊輝三角,以數(shù)學(xué)家賈憲(公元1010年 - 1070年)和楊輝(公元1238年 - 1298年)命名。在伊朗,它被稱為哈雅姆三角,以波斯天文學(xué)家和詩人奧馬·哈雅姆(Omar Khayyam,公元1048年 - 1131年)的名字命名。在歐洲,它被稱為帕斯卡三角(Pascal's Triangle),以法國數(shù)學(xué)家、發(fā)明家和哲學(xué)家布萊斯·帕斯卡(Blaise Pascal,公元1623年 - 1662年)的名字命名。


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