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高維微分學(xué)-教與學(xué)計劃（第01-04學(xué)周）

2021-08-09 13:52 作者:復(fù)旦力學(xué)-謝錫麟 0人讀過 | 我要投稿

本課程的一流化建設(shè)

本課程追求 一流水平：程度的一流化、成效的理想化，并且?立德樹人（三觀引導(dǎo)）。作者十年前就設(shè)計并持續(xù)性建設(shè)?微積分的一流化進程，既是 知識體系、也是 課程體系，如下圖所示。

本課程對應(yīng)的知識體系為 高維微積分，具有承上啟下的作用。高維微積分直接為 微分流形上的微積分、測度論與泛函分析 的研習(xí) 提供了基礎(chǔ)。值得指出，高維微分學(xué) 不僅?知識體系架構(gòu) 而且?分析與結(jié)論，都高度一致于 賦范線性空間上的微分學(xué)，故學(xué)習(xí)上可以溫故而知新。

程度的一流化 指 課程的廣度與深度可類別國內(nèi)外代表性教程與參考的程度。本課程面向非數(shù)學(xué)類專業(yè)，故對微積分的相關(guān)內(nèi)容有所取舍，一方面為后續(xù)數(shù)理課程鋪墊足夠的基礎(chǔ)；一方面注重 正本清源、格物致知，注重基于微積分認識世界。總體上而言，本課程對應(yīng)的高維微分學(xué)、高維積分學(xué)，在程度上可以類比 Zorich著《Mathematical Analysis》，汲取了其諸多思想與方法。本課程主要思想與方法的闡述都借鑒了Zorich的教程，受益匪淺也略有修改。當(dāng)然，本課程也參考了其它國內(nèi)外代表性教程與參考，汲取優(yōu)秀的做法。

值得指出，Zorich的教程涉略廣泛，有關(guān)內(nèi)容通過 微積分一流化進程的相關(guān)課程 進行闡述；目前，相關(guān)課程的廣度與深度已經(jīng)達到 Zorich教程的程度。

數(shù)理研習(xí)的一種理念與方法

大學(xué)學(xué)習(xí)需要注重理解與掌握知識體系的內(nèi)在思想與方法，注重將知識升華為能力。數(shù)理研習(xí)/教與學(xué) 的主要矛盾為理解與掌握難以理解與掌握的思想與方法。?就此，本質(zhì)性地需要進行知識體系自身的研究，基于多年教與學(xué)的經(jīng)驗，筆者概括有：內(nèi)容方法化、做法思想化、學(xué)習(xí)通識化，?概述如下。

內(nèi)容方法化?? 不應(yīng)該學(xué)習(xí)就是為了考試、考試就是為了考試、考完基本忘記，而是應(yīng)該將知識轉(zhuǎn)化為認識世界的能力。就此我們建議將知識/內(nèi)容轉(zhuǎn)化為方法。所謂方法，?指可以系統(tǒng)性解決一類問題的思路與做法，方法對于問題的處理具有較為清晰的程序化流程。?獲得方法的基礎(chǔ)在于對同類問題的本質(zhì)的認識，?我們將本質(zhì)?稱為結(jié)構(gòu) 。由于相同的結(jié)構(gòu)可以驅(qū)動不同的結(jié)論，所以提煉可處理一類問題的方法也在于認識由結(jié)構(gòu)驅(qū)動結(jié)論的具體方式?；诜椒?，可以將知識升華為能力，表現(xiàn)為對所需研究的事物首先抽象為微積分等知識體系的研究對象，然后利用對應(yīng)的方法研究對應(yīng)的性質(zhì)，以期獲得對所研究的事物的認識。

做法思想化? 基于知識的方法化，可以進一步提煉方法的“驅(qū)動力”——思想。簡化、近似、轉(zhuǎn)換、變換、估計、降維、建立聯(lián)系、因果分解等，我們耳熟能詳?shù)恼J知世界的思想都在微積分中有著清晰而鮮明的表現(xiàn)。值得指出，在認識過程中相關(guān)思想驅(qū)動方法的提煉與發(fā)展，而對方法的深入研究又可能催生新的思想，由此在學(xué)習(xí)過程中應(yīng)該是方法化與思想化互為促進的進程。

學(xué)習(xí)通識化? 我們將一門課程涉及的系統(tǒng)性思想與方法，稱為知識體系。對于一門知識體系，可以通過知識點分解知識體系，知識點為具有一定獨立性的知識(思想與方法) 的集合。每一知識點再由若干知識要素組成，知識要素可為特定的數(shù)學(xué)等式、不等式或者特定的處理思想與方法, 亦稱為數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。值得指出，隸屬同一知識體系甚至不同知識體系的知識點可能包含相同的知識要素，稱為數(shù)學(xué)通識。此外，知識體系之間亦可能存在相似結(jié)構(gòu)，如一元微分學(xué)、高維微分學(xué)、賦范線性空間上微分學(xué)具有高度相似的知識點構(gòu)成，均包括：?點列極限、映照極限、映照可微性、無限小增量公式、有限增量公式、逆映照定理與隱映照定理，主要結(jié)論的分析思想與方法也具有高度的統(tǒng)一性。既然，數(shù)學(xué)通識/相似結(jié)構(gòu) 為隸屬同一知識體系或不同知識體系的知識點所包含的相同的知識要素，可以基于數(shù)學(xué)通識/相似結(jié)構(gòu)實現(xiàn) 同一知識體系之內(nèi)的融會貫通、不同知識體系之間的觸類旁通，以此獲得了一種高成效的教與學(xué)的途徑。值得指出，數(shù)學(xué)通識亦可服務(wù)于不同課程之間的銜接。在我們的教學(xué)中注重突出數(shù)學(xué)通識，表現(xiàn)為由結(jié)構(gòu)?驅(qū)動結(jié)論??的知識體系發(fā)展方式，以此追求溫故而知新??的成效。

?對于本課程的學(xué)習(xí)，可以從微積分知識體系的內(nèi)容方法化、做法思想化、學(xué)習(xí)通識化這三個方面吸收知識、積累認識，最終獲得這三個方面的系統(tǒng)性的提煉。

?

對于理工科課程，可以將辯證唯物主義的基本觀點與方法融入整個教與學(xué)的過程?—— 引領(lǐng)與具體指導(dǎo)建設(shè)一流課程：程度的一流化、成效的理想化，并且 立德樹人（三觀引導(dǎo)）。作為基本觀點的?質(zhì)量互變規(guī)律（不懂到懂、不會到會的學(xué)習(xí)元素）、對立統(tǒng)一規(guī)律（抓住事物的本質(zhì)）、否定之否定規(guī)律（認識的螺旋式上升）；作為辯證思維的?歸納與演繹（學(xué)習(xí)通識化）、分析與綜合（復(fù)雜過程的要義分解、內(nèi)容的方法化）、抽象與具體（做法思想化）在整個教與學(xué)中有著鮮明與具體的指導(dǎo)與實踐，這不僅提升了教與學(xué)的質(zhì)量，而且學(xué)生通過課程也體會并實踐了辯證唯物主義的作為，將其作為世界觀的主導(dǎo)。

遞進性教與學(xué) 與教與學(xué)資源

自 2023年春季學(xué)期 開始，高維微積分（對應(yīng) 復(fù)旦大學(xué)的 數(shù)學(xué)分析BⅡ 課程）的教與學(xué)，采用 混合教學(xué) 的形式，主要分為 線上學(xué)習(xí)?與 線下研討 兩個 主要環(huán)節(jié)；輔導(dǎo)與研討、習(xí)題課?兩個 輔助環(huán)節(jié)：

（1）主要環(huán)節(jié)?線上學(xué)習(xí)??利用 復(fù)旦騰訊會議，主要基于 電子板書（知識圖示化）進行基本內(nèi)容的學(xué)習(xí)。—— 按課程表，線上學(xué)習(xí) 安排在周一晚上。

（2）主要環(huán)節(jié)?線下研討??主要基于 實體板書 進行基本思想與方法的概述；要點與難點的澄清；習(xí)題討論；答疑解惑?！?按課程表，線下研討有兩種時間選擇：一種周一下午 1-2節(jié)、周三上午3-5節(jié)；另一種周五下午 1-5節(jié)。

（3）輔助環(huán)節(jié) 輔導(dǎo)與研討，一般在周二下午在任課教師辦公室進行自由報名參加的輔導(dǎo)與研討（無任何限制、無學(xué)分）。主要為現(xiàn)場演練習(xí)題、討論?等。

（4）輔助環(huán)節(jié) 習(xí)題課，一般隔周周末晚上進行，3小時，利用復(fù)旦騰訊會議，主要基于電子板書進行講述。

—— 本課程教與學(xué)的上述兩個主要環(huán)節(jié) 與兩個輔助環(huán)節(jié)??都提供?分屏錄屏或者基于攝像機信號的直播錄屏，一般結(jié)束2小時后就可以觀看視頻。

平時練習(xí)? 課程將采用 書面習(xí)題冊 的形式，為每位修讀的同學(xué)提供書面的《高維微積分-習(xí)題冊》，A3紙活頁裝訂。每周助教與任課教師都會批閱習(xí)題冊，并作記錄。一般而言，一份作業(yè)文件的基礎(chǔ)性習(xí)題，在兩周內(nèi)完成。

考核方式 本課程采用 過程性評估，進行：（1）高維微分學(xué)、高維積分學(xué)、級數(shù)?三次?階段性考試（取二次最好的成績，平均后折合成總評的 50%）；一般在周日晚上進行。（2）每次階段性考試的前一周，進行對應(yīng)的測驗，測驗不計分，參加 2 次，就得到總分的 5%，未參加 2 次則不得分；一般在周日晚上進行。（3）作業(yè)文件，基本完成，得到總分的 5%；未基本完成不得分。（4）期末考試，占總分的40%。

教與學(xué)的計劃（周計劃）高維微分學(xué)部分

本課程按 知識體系的建立過程 安排 教與學(xué)進度，以周為單元；當(dāng)可能會由于假期或者教與學(xué)的實際情況對進度稍作調(diào)整。

注：高維積分學(xué)、級數(shù)部分的教與學(xué)計劃另有專欄文章進行說明。

第一部分高維微分學(xué)

§ 01 第01周

§ 01-online 線上學(xué)習(xí)內(nèi)容

（1）向量值映照的背景? ① 有限維Euclid空間（Cartesian空間），按等價性觀點（一一對應(yīng)）理解公理化定義（包括定義加法及數(shù)乘，使其成為線性空間）、幾何化（引入典則基，Cartesian坐標(biāo)，加法的平行四邊形法則等）。② 向量值映照的實際背景，從具體研究過程中提取。值得指出，一元函數(shù)是一元微積分的主要研究對象，而向量值映照是高維微積分的主要研究對象。③對比一元函數(shù)極限研究，引出Euclid空間中距離的概念，進而定義作為線性空間的Euclid空間的范數(shù)?；诰嚯x，可定義球形鄰域。④ 定義點列收斂，類比于數(shù)值上序列的分析性質(zhì)，研究點列極限的分析性質(zhì)。

（2）向量值映照的極限??① 基于球形鄰域，可完全類比與一元函數(shù)情形，定義向量值映照的極限，包括Cauchy敘述、Heine敘述及其等價性結(jié)論，向量值映照極限的Cauchy收斂原理。連續(xù)性作為特殊的映照極限加以研究。② 向量值映照極限的分析性質(zhì)，包括復(fù)合向量值映照極限定理，強調(diào)非接觸性條件。③ 向量值映照極限等價于其各分量的極限（本性質(zhì)由Euclid空間中距離性質(zhì)決定），籍此基于多元函數(shù)極限的四則運算以及復(fù)合向量值映照極限定理獲得多元函數(shù)極限計算的充分性方法。④ 多元函數(shù)極限的路徑分析方法，主要用于說明極限的不存在性。

§ 01-offline線下講授與討論內(nèi)容

（1）向量值映照/多元函數(shù)極限的計算方法? ① 向量值映照的極限定義。 ② 正向說明多元函數(shù)極限存在的估計方法，主要聯(lián)系于基本不等式。③ 基于路徑分析方法說明極限不存在。

§ 01-教學(xué)視頻

線上學(xué)習(xí)：高維微分學(xué) 向量值映照的極限

線下研討：高維微分學(xué) 向量值映照的極限-概述與討論

§ 01-習(xí)題文件

§ 01-知識圖示化

§02 第02周

§ 02-online線上學(xué)習(xí)內(nèi)容

（1）向量值映照的可微性?① 向量值映照的可微性定義?？晌⑿詾橛痴盏木植啃袨?，其實質(zhì)為基于線性映照來“逼近”因自變量變化而引起的因變量的變化，誤差為因變量變化的一階無窮小量。由此，首先需要澄清不同維數(shù)Euclid空間之間線性映照的定義及其表示形式（引入線性映照矩陣）；然后分析的可微性定義的表示，引入作為線性映照矩陣的Jacobi矩陣，該矩陣的分量則為向量值映照各分量相對于自變量各分量的偏導(dǎo)數(shù)；上述整個過程對于理解可微性定義至關(guān)重要。② 向量值映照的方向?qū)?shù)，通過極限定義；當(dāng)可微時，則對所有的方向?qū)?shù)存在；沿Cartesian坐標(biāo)軸的方向?qū)?shù)定義為向量值映照對自變量各分量的偏導(dǎo)數(shù)，由此Jacobi陣的每一列可理解為向量值映照的各個偏導(dǎo)數(shù)，此概念直接服務(wù)于今后引入曲線坐標(biāo)系（微分同胚）所誘導(dǎo)的局部基。③多元函數(shù)的高階偏導(dǎo)數(shù)。多元函數(shù)高階偏導(dǎo)數(shù)的定義基于低一階多元偏導(dǎo)函數(shù)之有關(guān)坐標(biāo)軸的方向?qū)?shù)。本課程不擬引入向量值映照的“高階導(dǎo)數(shù)”，因為這需要引入抽象空間之間的線性映照。

（2）導(dǎo)數(shù)計算的充分性方法?① 復(fù)合向量值映照的可微性定理。分析過程基于復(fù)合向量值映照的極限定理，注意有關(guān)非接觸性條件的處理。② 復(fù)合向量值映照可微性定理直接提供了復(fù)合映照導(dǎo)數(shù)的鏈式求導(dǎo)法則，要求掌握向量值映照復(fù)合向量值映照的一般情形，基于分塊矩陣運算，亦即矩陣形式的鏈式求導(dǎo)法則。這種形式對于今后處理由隱映照定理決定的隱映照之導(dǎo)數(shù)運算十分重要。③向量值映照導(dǎo)數(shù)的幾何應(yīng)用。（?。┪覀儗維Euclid空間中的曲線認識為單參數(shù)向量值映照，其Jacobi陣為列向量，即為曲線在當(dāng)?shù)氐那邢蛄浚话纯晌⑿远x認識曲線當(dāng)?shù)厍芯€的意義。（ⅱ）曲面認識為參數(shù)為m-1維的向量值映照，其Jacobi陣如為列滿秩，則其各個列向量（值域空間中各坐標(biāo)曲線切向量）構(gòu)成當(dāng)?shù)豰-1維切空間；說明曲面上曲線的切向量一定位于切空間之中；按線性代數(shù)中齊次線性方程組有關(guān)結(jié)論獲得法向量的確定方法。

（3）?導(dǎo)數(shù)計算的極限方法?對于平面上分片定義的多元函數(shù)，在分片的邊界上連續(xù)性、可微性、二階及高階導(dǎo)數(shù)的計算一般需要按極限定義進行極限分析獲得。

§ 02-offline線下講授與討論內(nèi)容

（1）向量值映照/多元函數(shù)導(dǎo)數(shù)的計算方法??① 向量值映照的可微性定義，獲得Jacobi矩陣包括充分性方法與極限分析方法。② 導(dǎo)數(shù)計算的充分性方法，包括多元函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)計算的四則運算；復(fù)合向量值映照的可微性定理，矩陣形式的鏈式求導(dǎo)。③導(dǎo)數(shù)計算的極限分析方法。

§ 02-教學(xué)視頻

線上學(xué)習(xí)??高維微分學(xué) 向量值映照的可微性

高維微分學(xué) 向量值映照導(dǎo)數(shù)的計算方法

§?02-習(xí)題文件

§ 02-知識圖示化

?

§03 第03周

§03-online 線上學(xué)習(xí)內(nèi)容

（1）基于直線單參數(shù)化的有限增量公式或估計?① 直線單參數(shù)化的基本思想。② 多元函數(shù)在直線段上的Lagrange中值定理；向量值映照在直線段上的有限增量估計。2. ??基于直線單參數(shù)化的相關(guān)分析結(jié)論?① 多元函數(shù)可微性的一個充分性條件。② 多元函數(shù)混合偏導(dǎo)數(shù)可交換次序的兩個充分性條件。

§03-offline線下講授與討論內(nèi)容

（2）基于直線段上多元函數(shù)的Lagrange中值定理的相關(guān)分析結(jié)論??① 基于直線單參數(shù)化獲得直線段上多元函數(shù)的Lagrange中值定理。② 獲得多元函數(shù)可微性的一個充分性條件。③ 獲得多元函數(shù)混合偏導(dǎo)數(shù)可交換次序的兩個充分性條件。

§03-教學(xué)視頻

線上學(xué)習(xí)? 高維微分學(xué) 直線單參數(shù)化與其應(yīng)用?

§?03-習(xí)題文件

無

§ 03-知識圖示化

?

?§04 第04周

§04-online 線上學(xué)習(xí)內(nèi)容?

（1）隱映照定理的分析?① 基于直線單參數(shù)化獲得直線段上向量值映照的有限增量估計，回顧直線段上多元函數(shù)的Lagrange中值定理。② 有限維Euclid空間中有界閉集上的壓縮映照定理（不動點定理）。③基于壓縮映照定理，構(gòu)造性地證明隱映照定理

（2）隱映照定理的應(yīng)用——曲線與曲面的隱式表示?① m維Euclid空間中1維曲面的隱式表示，并曲線的切向量、切線。② m+1維Euclid空間中m維曲面的隱式表示，并確定曲面的坐標(biāo)線的切向量、切空間、法向量。③ m維Euclid空間中k維曲面的隱式表示，實際給出了k維曲面的局部Monge型表示的存在性，亦即m維Euclid空間中一個點的m個Cartesian坐標(biāo)中的k個決定其它m-k個，并確定k維曲面相對于自變量各分量的變化率，亦即確定曲面向量值映照的Jacobi矩陣。

§04-offline 線下講授與討論內(nèi)容

（1）證明隱映照定理

（2）隱式表示的曲線與曲面的分析方法?① 隱映照定理，分析要義包括：（?。┲本€段上向量值映照的有限增量估計；（ⅱ）壓縮映照定理。② 隱映照定理的幾何解釋，即為m維Euclid空間中k維曲面的局部Monge型表示。③ 基于矩陣形式鏈式求導(dǎo)，可以獲得Monge曲面關(guān)于自變量各個分量的變化率，亦即確定曲面映照額Jacobi矩陣。④ m維Euclid空間中k維曲面的兩個特殊事例：（ⅰ）m維Euclid空間中1維曲面，亦即曲線；（ⅱ）m+1維Euclid空間中m維曲面。

§04-教學(xué)視頻

線上學(xué)習(xí)? 高維微分學(xué) 隱映照定理的分析