有限元法基本理論

彈性力學(xué)

彈性力學(xué)中關(guān)于材料性質(zhì)的假定：物體是

• 連續(xù)的

• 完全彈性的

• 均勻的

• 各向同性的

• 變形是微小的

彈性力學(xué)基本變量 ?位移 應(yīng)力 應(yīng)變

基本方程 ? ? ? ? ? ? ? 物理方程 幾何方程 平衡方程

節(jié)點(diǎn)數(shù)據(jù) 單元數(shù)據(jù) 邊界條件數(shù)據(jù)

三種邊界條件

• 應(yīng)力邊界條件

• 位移邊界條件

• 混合邊界條件

函數(shù)滿足的邊界條件：強(qiáng)制邊界條件 導(dǎo)數(shù)滿足的邊界條件：自然邊界條件

應(yīng)變矩陣僅與單元節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)有關(guān)

有限元法基本步驟

• 數(shù)學(xué)建模

• 結(jié)構(gòu)離散：用假想的線或面將連續(xù)物體分割為由有限個(gè)單元組成的集合體，且單元之間僅在節(jié)點(diǎn)處連接，單元之間的作用僅由節(jié)點(diǎn)連接。

• 單元分析【選擇插值函數(shù)；位移函數(shù)的構(gòu)造方法；單元?jiǎng)偠染仃嚒?/p>

• 整體分析與求解：建立整體平衡方程，形成整體剛度矩陣和節(jié)點(diǎn)載荷向量，完成整體方程求解。

• 結(jié)果分析及后處理

基本思想： 幾何離散，分片近似 先將求解域離散為有限個(gè)單元,對(duì)每個(gè)單元構(gòu)造一個(gè)簡(jiǎn)單的近似函數(shù)（類似里茲法）,基于問題的基本控制方程，建立單元節(jié)點(diǎn)的平衡方程,將所有單元的剛度方程組合成整體的剛度方程進(jìn)行求解。

虛功原理：對(duì)于在力的作用下處于平衡狀態(tài)的任何物體，不用考慮它是否真正發(fā)生了位移，而假想它發(fā)生了位移，(由于是假想，故稱為虛位移)，那么，物體上所有的力在這個(gè)虛位移上的總功必定等于零。

位移函數(shù)：有限元中用于描述單元內(nèi)位移的簡(jiǎn)單函數(shù)。 ?通常以節(jié)點(diǎn)位移為未知量通過插值來表示單元內(nèi)任意一點(diǎn)的位移。 位移函數(shù)的收斂準(zhǔn)則

• 包含剛體位移

• 反映常應(yīng)變狀態(tài)

• 單元內(nèi)連續(xù)，單元邊界協(xié)調(diào)

在按位移法求解有限元法中，為什么說應(yīng)力解的精度低于位移解的精度？實(shí)際結(jié)構(gòu)本來是具有無限個(gè)自由度，當(dāng)用有限元求解時(shí)，結(jié)構(gòu)被離散為有限個(gè)單元的集合，便只有有限個(gè)自由度了，限制了結(jié)構(gòu)變形能力，從而導(dǎo)致結(jié)構(gòu)的剛度增大、計(jì)算的位移減少，所以有限元求得的位移近似解小于精確解。

單元網(wǎng)格劃分：生成單元節(jié)點(diǎn)信息

• 應(yīng)力梯度變化比較大的地方，網(wǎng)格應(yīng)密一些

• 有應(yīng)力集中的地方，網(wǎng)格應(yīng)密一些

• 單元邊界長(zhǎng)度不要相差過大

• 單元各邊夾角不要太大

• 集中載荷處要設(shè)置節(jié)點(diǎn)

• 結(jié)構(gòu)不同材料交界面處要設(shè)置節(jié)點(diǎn)并作為單元邊界

• 結(jié)構(gòu)厚度突變處要設(shè)置節(jié)點(diǎn)并作為單元邊界

• 分布載荷突變處要設(shè)置節(jié)點(diǎn)

• 施加位移約束處要設(shè)置節(jié)點(diǎn)

• 注意單元間的連接

里茲法

先構(gòu)造微分方程及定解條件的泛函，再在整體場(chǎng)函數(shù)用近似的試函數(shù)代替(近似函數(shù)常為含n個(gè)待定系數(shù)的多項(xiàng)式，且滿足定解條件)；求泛函極值確定試函數(shù)待定系數(shù)（利用極值條件建立n個(gè)代數(shù)方程），解代數(shù)方程組

優(yōu)缺點(diǎn)：

• 適合簡(jiǎn)單問題，復(fù)雜問題很難解決

• 某些問題的泛函不可構(gòu)造，只適用某些問題。

• 試函數(shù)的定義為全局參數(shù)，不便計(jì)算機(jī)化。

伽遼金法和李茲法的關(guān)系

• 都是積分方程式；

• 伽遼金法是用控制微分方程的誤差的積分，李茲法是本身泛函的積分，前者含有更高階導(dǎo)數(shù)；

• 是同一物理現(xiàn)象的不同表現(xiàn)。

有限元法與經(jīng)典的差分法、里茲法有何區(qū)別？區(qū)別：差分法：均勻離散求解域，差分代替微分，要求規(guī)則邊界，幾何形狀復(fù)雜精度較低；里茲法：根據(jù)描述問題的微分方程和相應(yīng)的定解構(gòu)造等價(jià)的泛函表達(dá)式，求得近似解；有限元：基于變分法，采用分片近似進(jìn)而逼近總體的求解微分方程的數(shù)值計(jì)算方法。

形函數(shù)的物理意義：當(dāng)節(jié)點(diǎn)i在某坐標(biāo)方向發(fā)生單位位移而其他節(jié)點(diǎn)的位移為零時(shí)，單元內(nèi)的位移分布規(guī)律特點(diǎn)：

• 形函數(shù)Ni在i節(jié)點(diǎn)的值為1，而在其他節(jié)點(diǎn)上的值為0；

• 單元內(nèi)任一點(diǎn)的形函數(shù)之和恒等于1

• 形函數(shù)的值在0~1間變化。

• 形函數(shù)與節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)有關(guān)，與節(jié)點(diǎn)位移無關(guān)

位移函數(shù)的收斂性分析：

• 必須包含能反映單元常應(yīng)變的一次項(xiàng)

• 必須包含能反映單元?jiǎng)傮w位移的常數(shù)項(xiàng)

• 盡量保證位移的連續(xù)性和協(xié)調(diào)性 選取其他條件：

• 位移函數(shù)個(gè)數(shù)等于單元中任意一點(diǎn)的位移分量個(gè)數(shù)

• 位移函數(shù)是坐標(biāo)的函數(shù)

• 位移函數(shù)中待定常數(shù)個(gè)數(shù)等于單元節(jié)點(diǎn)自由度總數(shù)

選擇位移函數(shù)的一般原則：

• 位移函數(shù)在單元節(jié)點(diǎn)的值應(yīng)等于節(jié)點(diǎn)位移

• 所選位移函數(shù)必須保證有限元的解收斂于真實(shí)解

剛性位移：物體的形狀不發(fā)生變化產(chǎn)生的位移

單元?jiǎng)偠染仃?/h1>

• 對(duì)稱陣

• 主對(duì)角元素恒為正值

• 奇異矩陣，|K|=0?

• 單元?jiǎng)偠确匠滩豢赡艿玫轿灰平?，只能得到位移?jié)點(diǎn)力解

• 奇數(shù)行對(duì)應(yīng)元素之和為0，偶數(shù)行對(duì)應(yīng)元素之和為0。各行元素之和為0.(對(duì)稱性)

• 單元?jiǎng)偠染仃嚨牡谝涣性厥钱?dāng)?shù)谝粋€(gè)節(jié)點(diǎn)產(chǎn)生單位位移，其他節(jié)點(diǎn)位移分量為0時(shí)作用于各節(jié)點(diǎn)位移分量上的節(jié)點(diǎn)力。

單元?jiǎng)偠染仃囋乇硎驹搯卧母鞴?jié)點(diǎn)沿坐標(biāo)方向發(fā)生單位位移時(shí)引起的節(jié)點(diǎn)力，它決定于該單元的形狀、大小、方位和彈性常數(shù)，而與單元的位置無關(guān)，即不隨單元或坐標(biāo)軸的平行移動(dòng)而改變。

• 應(yīng)變矩陣是xy的函數(shù)，矩陣中的應(yīng)變是隨x或y線性變化的，同應(yīng)力。

• 形函數(shù)只與單元節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)有關(guān)

• K_{ij} 表示在j 節(jié)點(diǎn)上產(chǎn)生單位位移且其他節(jié)點(diǎn)位移 為零時(shí)，在i號(hào)節(jié)點(diǎn)上所需要施加的力的大小

• M_{ij} 表示在第j 節(jié)點(diǎn)上產(chǎn)生單位加速度且其他節(jié)點(diǎn)加速度 為零時(shí)，在i號(hào)節(jié)點(diǎn)上所需要施加的力的大小

單元載荷移置

能量等效 靜力等效法 虛功移置法 普遍公式法

整體剛度矩陣

對(duì)稱性；奇異性；主對(duì)角元素恒為正；稀疏性； 帶狀性 ：是指總剛矩陣中非零子塊集中在主對(duì)角線兩側(cè)，呈帶狀分布

半帶寬：在半個(gè)帶形區(qū)域中 包括對(duì)角線元素在內(nèi)，每行具有的元素個(gè)數(shù)

整體分析的步驟

• 建立整體剛度矩陣；

• 根據(jù)支承條件修改整體剛度矩陣；

• 解方程組，求節(jié)點(diǎn)位移；

• 根據(jù)節(jié)點(diǎn)位移求出應(yīng)力

桿梁?jiǎn)栴}

桿梁?jiǎn)卧挠邢拊馐蔷_解 單元?jiǎng)澐郑?/p>

• 載荷突變點(diǎn)必須設(shè)置節(jié)點(diǎn)

• 截面變化點(diǎn)必須設(shè)置節(jié)點(diǎn)

板

平面應(yīng)力問題：作用于很薄的板上的載荷平行于板平面且沿厚度方向均勻分布，而在兩板面上無外力作用平面應(yīng)變問題：長(zhǎng)柱體的橫截面沿長(zhǎng)度方向不變，作用于長(zhǎng)柱體結(jié)構(gòu)上的載荷平行于橫截面且沿縱向方向均勻分布，兩端面不受力。

軸對(duì)稱問題：幾何形狀、約束情況及所受的外力都對(duì)稱于空間的某一跟軸，則通過該軸的任何平面都是物體的對(duì)稱面，物體內(nèi)的所有應(yīng)力、應(yīng)變和位移都關(guān)于該軸對(duì)稱。

等參單元

若變換函數(shù)中的插值基函數(shù)（即形函數(shù)）以及插值節(jié)點(diǎn)數(shù)和描述單元位移函數(shù)的完全相同，則這種變換稱為等參數(shù)變換，這種單元就稱為等參單元

若變換函數(shù)的插值基函數(shù)次數(shù)高于位移函數(shù)插值基函數(shù)的次數(shù)，則稱為超參元； 反之，變換函數(shù)的插值基函數(shù)低于位移函數(shù)的次數(shù)，則稱為亞參元。

等參數(shù)變換存在條件：Jacobi行列式不等于零

等參單元的收斂性： 單元公共邊界具有相同節(jié)點(diǎn) 等參單元位移函數(shù)取決于單元插值基函數(shù)(形函數(shù))，它反映單元位移形狀和幾何形狀。

采用減縮積分以保證完全多項(xiàng)式的積分精度來選擇積分點(diǎn) 的積分方案稱為優(yōu)化積分方案。

等參單元的特點(diǎn)：

• 對(duì)任意幾何形狀的工程問題方便地進(jìn)行有限元離散

• 相關(guān)運(yùn)算大大簡(jiǎn)化

• 可采用標(biāo)準(zhǔn)化的數(shù)值積分方法計(jì)算

• 計(jì)算格式規(guī)范

為什么要進(jìn)行坐標(biāo)變換？數(shù)學(xué)和物理意義？ 實(shí)際結(jié)構(gòu)中，由于構(gòu)件的軸線都是縱橫交錯(cuò)的，因此，為了便于整體分析，必須將局部坐標(biāo)系下的節(jié)點(diǎn)位移、節(jié)點(diǎn)力和剛度矩陣變換到統(tǒng)一的整體坐標(biāo)，然后才能實(shí)施組裝集成，進(jìn)行整體分析。

協(xié)調(diào)：?jiǎn)卧灰坪瘮?shù)在單元內(nèi)連續(xù)，在單元邊界協(xié)調(diào) 完備：位移插值函數(shù)具有描述剛體位移和常應(yīng)變狀態(tài)的能力(具有常數(shù)項(xiàng)和一次項(xiàng))

常應(yīng)變單元：?jiǎn)卧膽?yīng)變分量均為常量。位移函數(shù)在單元內(nèi)部線性函數(shù)，內(nèi)部連續(xù)。公共邊界處位移協(xié)調(diào)。單元的應(yīng)力應(yīng)變?yōu)槌Ａ浚谙噜弳卧吔缣?，?yīng)變應(yīng)力不連續(xù)，有突變。

最小勢(shì)能原理

提高有限元計(jì)算精度方法：

• 計(jì)算結(jié)果整理：應(yīng)力結(jié)果整理通常采用兩單元平均值

• 網(wǎng)格細(xì)分

• 網(wǎng)格合理布局

• 采用高階單元

協(xié)調(diào)非協(xié)調(diào)單元區(qū)別 振型正交的意義與特點(diǎn) 什么是非線性問題