奧地利數(shù)學(xué)家哥德爾在1931年發(fā)表了題為《論<數(shù)學(xué)原理> 及有關(guān)系統(tǒng)的形式不可判定命題》的論文，其中提出這樣一個(gè)觀點(diǎn)，在任何數(shù)學(xué)系統(tǒng)中，只要其能包含整數(shù)的算術(shù)，這個(gè)系統(tǒng)的相容性就不可能通過幾個(gè)基礎(chǔ)學(xué)派所采用的邏輯原理建立。簡(jiǎn)單地說(shuō)，就是在任何系統(tǒng)中，總有些真理是游離于邏輯之外的，這些真理就叫做歌德爾命題。比如說(shuō)大家知道歐幾里得的《幾何原理》中的第五公設(shè)就是平行線公設(shè)：兩平行線永遠(yuǎn)不能交于一點(diǎn)。但是打破第五公設(shè)，人們?nèi)匀豢梢越⑼暾牧_巴切夫斯基幾何和黎曼幾何等等非歐幾何，并且在現(xiàn)代物理中都有重要的應(yīng)用。一本《幾何原理》可以由五個(gè)公設(shè)推出所有的定理，環(huán)環(huán)相扣，邏輯嚴(yán)密。沒有任何“人為”的痕跡，盡管最后發(fā)現(xiàn)“第五公設(shè)”基礎(chǔ)是不堅(jiān)實(shí)的，但中間的邏輯是清楚地，推演是嚴(yán)密的。 后來(lái)，數(shù)學(xué)家對(duì)個(gè)別命題的演繹證明逐漸轉(zhuǎn)向了對(duì)整個(gè)數(shù)學(xué)的研究。此后很長(zhǎng)一段時(shí)間，大家在努力構(gòu)造一個(gè)完備的數(shù)學(xué)體系，包容所有的真理命題，使得所有存在命題可以通過此體系彼此證明出來(lái)。但歌德爾這位天才邏輯學(xué)家 數(shù)學(xué)家 理論物理學(xué)家在一個(gè)形式化的算術(shù)體系中構(gòu)造出了命題G：“G是不可證明的?！边@是一個(gè)不可判定的命題。（假設(shè)G是不可證明的，則G為真，由命題真與命題可證明等價(jià)，則G可證明；假設(shè)G可證明，則G為真，則G不可證明。）從而也就證明了不完備性定理 Ⅰ）歌德爾第一定理對(duì)于包含自然數(shù)系的任何相容（彼此矛盾的陳述不同時(shí)為公設(shè)集所包含）的形式體系F，存在F中的不可判定命題，即存在F中的命題S，使得 S和非S都不是在F中可證明的。 Ⅱ）歌德爾第二定理對(duì)包含自然數(shù)系的任何相容的形式體系F，F(xiàn)的相容性不能在F中被證明。這樣歌德爾就說(shuō)明了“人類智慧沒有能力公式化它的所有數(shù)學(xué)直覺，它只能用公式表達(dá)出它們中的一些” ，而非全部。數(shù)學(xué)上總是存在著無(wú)法用理性證明的直覺，數(shù)學(xué)遠(yuǎn)非一大堆毫無(wú)生氣可言的枯燥的邏輯堆砌，人類理性根本上也是不可能建立這種程式化的邏輯的。同時(shí)人類在處理包含思維的抽象體系時(shí)有極大的局限性，因?yàn)槿说睦硇阅耸歉灿谶@個(gè)體系中的，人無(wú)法超越這個(gè)體系來(lái)理性地審視思維本身。歌德爾定理認(rèn)識(shí)到了理性的局限性，人永遠(yuǎn)不能超越理性來(lái)認(rèn)識(shí)理性。