理工樂理基礎(chǔ)（上）
反正逸民也看不懂，然而我就是當云筆記的，管你們小學(xué)生看不看得懂了
好像還不能用
算了不管了背景：受@發(fā)燙的K神大佬所托，本渣表示要做樂器白的不能再白的小白娛樂向教程：
【ak日?！啃“捉坛?沒有基礎(chǔ)也要用吉他彈曲子！(附調(diào)音扒譜方法)
之后，大佬說需要補充樂理知識，所以簡單的整理一些樂理知識，其中最后的理工科樂理個人認為行文異常舒適，非常適合我等學(xué)習(xí)
由于時間原因，對于內(nèi)容并沒有進行仔細觀看校對，因此一旦出現(xiàn)問題還請多包涵
不服你出來打我啊，我自己寫的教程反正我能保證內(nèi)容準確
關(guān)鍵字：成人學(xué)樂理 樂理基礎(chǔ) 樂理入門
技術(shù)類工作十余年，思維方式愈發(fā)趨于純理性動物：萬物有定義、有果必求因、凡事靠推理，誠然這樣的方法論太過缺乏人文情懷。不光自己，身邊的大批科學(xué)家、工程師也深受純粹理性的毒害。加之在匪幫的體制下從小到大都沒有接受過正式的音樂教育，導(dǎo)致絕大多同學(xué)根本不懂音樂，也不會欣賞音樂，實乃人生一大憾事。
我們要完成自我救贖，基本的方法就是學(xué)習(xí)一些基本的人文知識。在音樂方面我們最好能學(xué)習(xí)一門樂器，有一定經(jīng)濟基礎(chǔ)的同學(xué)最好能買一架鋼琴，這不僅可以使我們苦逼的人生變得更多滋有趣，還可以活動你僵硬的肩膀、頸椎和手腕。吉他也是很好的樂器，便于攜帶，容易上手，沒事還可以彈唱一曲來吸引妹子。就算實在沒有音樂細胞，在街上聽到古典音樂時和妹子談一談它的調(diào)式與調(diào)性，那逼格直接爆表不是？此外，立志從事計算機輔助作曲、編曲和調(diào)音行業(yè)的碼農(nóng)也未必真的懂得音樂，而基本的音樂知識卻成為了巨大的絆腳石。
音樂不可不學(xué)！
請欣賞：李斯特降A(chǔ)大調(diào)《愛之夢》
要學(xué)音樂，就得先學(xué)樂理。樂理就是音樂的理論，由很多非常精妙的物理、數(shù)學(xué)和邏輯原理構(gòu)成的。然而樂理書籍皆非理工科人所寫，在我等看來實在是定義不明，論述不清。本系列文章將嘗試使用公理化的方式來描述，盡可能對每一個概念和方法都追根溯源，相信各位理工科朋友看過后就會像喝到了媽媽做的母雞湯一般溫馨（呵呵）。
樂理的基本內(nèi)容包括：和聲、調(diào)式、節(jié)奏、結(jié)構(gòu)、曲式。這些內(nèi)容相互聯(lián)系交織，單獨研究其中任何一部分都不可能。為了給理工科人找一個突破口，本文將從音樂的基本物理原理開始，逐步展開各種概念。我們拒絕以未知解釋未知。
圖1 晦澀難懂的通用樂理教材
一、基本概念
音樂是由聲音構(gòu)成的藝術(shù)，而聲音是一個寬泛的概念，泛指人耳可以感知的聲波。聲波是一種機械波，由物體（聲源）振動，帶動空氣振動，從而形成聲波。聲波在一段時間內(nèi)波峰的個數(shù)稱為它的頻率，標準計量單位為Hz（赫茲），即一秒內(nèi)波峰的個數(shù)。聲波振幅的大小體現(xiàn)了聲音的強弱，也就是音量的大小。聲音以某種規(guī)律進行頻率和強弱的變化就形成了音樂，我們要研究的就是這“某種某律”。然而在所有樂理書上都沒有給出“音”的定義，可是圍繞“音”展開的各種概念卻是名目繁多，令人眼花繚亂。為了理性化思考得以繼續(xù)，我在這里斗膽給出音的定義，若您有高見還望不吝賜教。
音：可被人類的聽覺所感知的一段時間內(nèi)的聲波。通常我們可以用一段聲波的波形來表示一個音。
音源：能夠產(chǎn)生音的設(shè)備/裝置/器官等，比如樂器、聲帶等。
音源的整體或某個部分振動產(chǎn)生聲波并持續(xù)一段時間（哪怕很短），空氣就會將這一段聲波傳導(dǎo)至人耳。比如：大喊一聲，敲一下水管，爆炸，嬰兒哭鬧等等。的確，音的定義非常寬泛，但樂理僅研究與音樂相關(guān)的音。那么音樂又是什么呢？音樂是藝術(shù)范疇的名詞，無法給出嚴格的定義。如果非要用理工科的思維方式來理解，那只能這樣說：
音樂，就是由一個或多個音在相同或不同的時間內(nèi)被產(chǎn)生，相互疊加所形成的一段聲波。
噪音和音樂的區(qū)別是因人而異的，老奶奶認為是噪音的搖滾樂在小年青耳朵里就是興奮劑，而科學(xué)追求的是放之四海皆準的真理，因此這個定義也顯得不那么嚴謹，似乎也沒辦法做出更好的定義了?，F(xiàn)在還出現(xiàn)了一些另類音樂，比如噪聲音樂和無聲音樂，在我眼里這TM就是瞎扯淡，咱不去管它。
為了簡化研究對象，后文中提到的音都特指由傳統(tǒng)樂器作為音源發(fā)出的音。
約翰凱奇的無聲音樂《4分33秒》
二、音的復(fù)合
最普通最基本的聲波就是簡諧振動（維基百科）所產(chǎn)生的正弦波了。傳統(tǒng)樂器一般都依靠簡諧振動發(fā)聲，比如琴弦、簧片、鼓面等的振動，因此發(fā)出的也是正弦波。一個純粹的正弦波聽起來是什么樣的呢？請欣賞220hz正弦波的聲音：
http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/d/d1/220_Hz_sine_wave.ogg
可是為什么這與我們平時聽到音樂完全不同呢？這就要提到純音與復(fù)合音的概念了。
以某個固定頻率進行簡諧振動所產(chǎn)生的聲波稱為純音，比如音叉的聲音或剛才聽到的220hz正弦波。但世界上并不存在絕對的純音，就像世上沒有絕對的化學(xué)單質(zhì)一樣。只有由電聲設(shè)備發(fā)出的純音可以看作非常近似的純音，座機電話拿起聽筒聽到的聲音就是近似的純音。與純音相對的就是復(fù)合音，它由多個純音組合而成。而音樂就是由大量不同的復(fù)合音構(gòu)成的。
復(fù)合音的產(chǎn)生方式有無窮多種，但有兩種在音樂中最為常見：一種稱為諧波疊加，一種稱為拍音疊加。
三、諧波
我們將一個標準的正弦波作為基準，稱作基波。諧波就是比基波的頻率高整數(shù)倍的波（維基百科），鋼琴按下一個鍵或小提琴拉響一根弦都會在基波的基礎(chǔ)上產(chǎn)生多個諧波，音樂人往往將諧波稱為“泛音”。例如某個純音聲波的頻率是f，將此純音作為基波，其諧波的頻率可為2f、3f、4f、……，這些諧波分別稱為二次諧波、三次諧波、四次諧波等。如圖2所示。
圖2 基波與諧波的關(guān)系
圖2中最上面的是基波，從第二行往下分別是一次諧波、二次諧波等等。若一個復(fù)合音由基波與及其諧波相疊加構(gòu)成，則稱該復(fù)合音為諧波疊加，它的頻率為基波頻率。基波與諧波疊加構(gòu)成復(fù)合音的過程見圖3所示。
圖3 基波與諧波復(fù)合構(gòu)成復(fù)合音
實際上，所有傳統(tǒng)樂器所發(fā)出的音都是復(fù)合音，由振幅最大的基波和一些列振幅較小的諧波疊加構(gòu)成。那么我們就可以給出單音的定義了：單音特指單一樂器演奏獨立的一個音發(fā)出的聲波（諧波疊加），其基波的頻率稱為音高。不同樂器的單音所疊加的諧波在頻率和振幅上都不相同，因此樂器的音色千差萬別。小提琴的單音就是典型的一種諧波疊加，下載收聽，聲音對應(yīng)的波型為：
圖4 小提琴單音的波型
由純音疊加形成小提琴聲音的過程，下載收聽。由于每種樂器都有其特別的構(gòu)造，因此合成一個單音的各個諧波的振幅之比也因樂器而不同。此外，樂器本身的共振所產(chǎn)生的音也混雜于其中，因此不同樂器奏出相同的音高，音色卻具有巨大差別，可以讓我們輕易分辨。
四、拍音
拍音是另一種復(fù)合音，它是由來自同一種樂器或不同樂器的兩個單音相互疊加，形成具有規(guī)律性強弱變化的振動。與諧波不同的是，拍音一般要求這兩個音的振幅相近，但不要求頻率為倍數(shù)關(guān)系。
由于單音本身就由純音疊加而來，再將單音相互疊加，情況將會變得非常復(fù)雜。因此為方便描述，下文將以純音的疊加來解釋拍音的形成。圖5中黃色、紅色和藍色的波型分別為頻率200Hz，250Hz和300Hz的純音。黃色與藍色兩純音疊加形成綠色的拍音波形，黃紅藍三純音疊加形成黑色的拍音波型。
圖5 拍音的形成過程
分析可知，每當兩個單音的波峰相遇就形成拍音的波峰，波谷相遇就形成拍音的波谷，這樣的復(fù)合音從波型看起來存在周期性的振幅變化，像節(jié)拍一般，因此稱為拍音。拍音的頻率與疊加的兩個單音的周期（頻率的倒數(shù)）的比值相關(guān)，如果兩個單音的頻率都是整數(shù)，那么拍音的頻率就等于它們周期最小公倍數(shù)的倒數(shù)。
頻率相差一倍的兩個單音疊加形成的拍音，其頻率等于較低的音的頻率，這樣的拍音聽起來就像一個音。例如鋼琴上的任意兩個Do音之間的頻率都相差一倍，點擊這里有一架在線鋼琴，t鍵是中央Do，s鍵是高音Do，同時按下就形成了上述拍音。
如果兩個單音中至少有一個是無理數(shù)，那么拍音的情況就要復(fù)雜一些了。此時兩個單音的波峰永遠不會相遇，波谷亦然，只會出現(xiàn)非常接近的情況。如果兩個波的波峰以一個近似的周期s相互靠得很近，那么不太精確的人耳就會“認為”這兩個單音的疊加形成了頻率為1/s的拍音。這里面的原理確實比較復(fù)雜，我們舉例子來說明。比如單音a的頻率fa=3–√fa=3，單音b的頻率為fb=5–√fb=5，它們的周期分別為sa=1/fasa=1/fa和sb=1/fbsb=1/fb，它們的波形如圖6所示。
圖6 頻率為3–√3的波形（橙）與頻率為5–√5的波形
無論是看起來還是理論分析，這兩個波的波峰永遠不可能相遇。下面我們把這兩個波進行疊加，便得到圖7所示波形。
圖7 兩個波疊加形成的波形
兩波疊加后形成了周期近似為4×sa≈3×sb4×sa≈3×sb的拍音。這是因為3–√/5–√≈0.77463/5≈0.7746，接近于0.75，也就是3:4。因此這個拍音的“聽感頻率”大約為5–√/45/4到3–√/33/3之間。（以上圖表及其數(shù)據(jù)均在Excel中用公式生成，同學(xué)們可以自行實驗）。
五、總結(jié)
總結(jié)一下，正如諧波一節(jié)所介紹的，無論是鋼琴的中央Do還是高音Do，每個單音都是由多個諧波疊加而成，而多個單音的疊加又形成了拍音。來自不同樂器的單音和拍音相互交織形成和聲，最終一系列的和聲構(gòu)成了美妙的音樂。實際上這段話有描述不嚴謹?shù)牡胤剑捎谀壳芭笥褌兊幕A(chǔ)知識還不夠，因此可先這樣理解，相關(guān)的知識在后面的課程中會逐一介紹。
好了，這一講先到這里，下一講我們開始樂理的正題：《十二平均律和五線譜》。
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在第一講中我們已經(jīng)提到了純八度（中央do和高音do），想必朋友們已經(jīng)用耳朵有了感性的認識，并知道純八度的拍音是由頻率比為1:2的兩個單音構(gòu)成。物理和數(shù)學(xué)的原因決定了純八度的兩個單音的頻率比例，但這遠遠不足以構(gòu)成音樂的，接下來我們就要學(xué)習(xí)如何在這兩個單音之間產(chǎn)生更多的單音。在展開這些知識之前，本著理工科追本溯源的精神，我們先了解一下樂理是如何發(fā)展起來的，然后再談理論。
一、樂理發(fā)展史 · 之一
人類的三大類樂器類別：弦樂，管樂和打擊樂有其分別的來源，但音律系統(tǒng)則基本上是從音調(diào)變化最豐富的弦樂上發(fā)展起來的。弦樂就是利用琴弦的振動發(fā)出聲音，琴弦振動部分的長短、粗細、質(zhì)量、密度等因素綜合決定了它振動的頻率。一般來講兩根同質(zhì)琴弦的長度比等于它們所發(fā)出聲音頻率的反比，這成為了制定音律標準的最佳性質(zhì)。
?小提琴琴弦的振動（慢鏡頭）
要使不同的音組合在一起形成音樂，必須定出這些音的相對音高，并將悅耳動聽的音進行組合；此外還要定出絕對音高，使同一首音樂到哪里演奏都有相同的效果。因此早期的人們以一根固定長度的琴弦為準，將其作為標準音高，然后用各種不同的比例切分這根琴弦，從而得到了多種不同的音高。這些音律的具體制定過程我們留到后文再行說明。
為了便于記錄和表達這些音高，人們發(fā)展出了表示相對音高的十二平均律系統(tǒng)和表示絕對音高的五線譜系統(tǒng)。這些音律系統(tǒng)歷經(jīng)上千年的變革與改進，并隨著數(shù)學(xué)水平的發(fā)展不斷提高而趨于穩(wěn)定，最終形成如今龐大而復(fù)雜的理論體系。后文的相關(guān)內(nèi)容也是圍繞相對音高和絕對音高兩大系統(tǒng)展開的。
目前世界上最通用的音律體系——十二平均律的歷史非常悠久，最早可以追溯到公元400年左右的中國人何承天。公元16世紀的明朝人的朱載堉（朱元璋的九世孫）將十二平均律發(fā)展為完整的理論水平，到16世紀末，由當時教皇國的傳教士利瑪竇將十二平均律法從中國帶回西方，直到17世紀才開始在歐洲大陸廣泛流傳。中國人發(fā)明了十二平均律，但中國文明自清朝開始的衰落，使得中國古典音樂的理論水平與西方音樂的差距越來越大，直到?jīng)]落于下里巴人。
圖1 明代朱載堉的《樂律全書》中對十二平均律的記載
當西方有了十二平均律這一黃金律法，新的和聲理論、自然調(diào)式（念“Diao Shi”，不念Debug）和各種相關(guān)調(diào)性也就隨之產(chǎn)生了，而這些系統(tǒng)則幾乎全是由西方發(fā)展出來的。我們目前聽到的所有古典音樂和現(xiàn)代音樂（包括流行、搖滾、歌舞?。┒际腔谖鞣降囊魳防碚摗?/p>
西方古典音樂（維基百科）可以說發(fā)源于文藝復(fù)興時期（1400年到1600年），在文藝復(fù)興時期結(jié)束時，音樂藝術(shù)已經(jīng)有了長足的發(fā)展。人們獲得了改進的和新發(fā)明的各種樂器， 比如新式的小提琴、羽管鍵琴（也叫大鍵琴，是鋼琴的前身）、雙簧管（尚未從蕭姆管中完全脫胎）等等。還得到了新的演奏和作曲技法，比如更復(fù)雜的和聲技巧，對位法技巧等等。當然，還有最重要的東西：五線譜。在文藝復(fù)興時期之后的巴洛克時期，這些新玩意幫助音樂家們進一步的挖掘音樂理論層面的東西，現(xiàn)代樂理就是在這一時期逐步發(fā)展完善的。
圖2 一臺巴洛克時期的羽管鍵琴
西方音樂長期以來都是為教會服務(wù)的，西方宗教也非常重視音樂藝術(shù)的發(fā)展。音樂課是教會學(xué)校的主要課程，很多音樂理論也都來自于教會音樂家。當時的調(diào)式系統(tǒng)稱作“古教會調(diào)式體系”，一共有12種，現(xiàn)在只有少數(shù)仍在使用，包括對應(yīng)自然大調(diào)的“伊奧尼亞”調(diào)式和對應(yīng)自然小調(diào)的“愛奧尼亞”調(diào)式。關(guān)于調(diào)式與調(diào)性的知識，會在后面的內(nèi)容中做進一步介紹。
歷史課就暫時上到這里，下面我們開始分別介紹十二平均律和五線譜。
二、十二平均律
十二平均律（維基百科）是音樂中最底層的系統(tǒng)，規(guī)定了兩個單音的相對音高，就像計算機中的二進制系統(tǒng)規(guī)定了各種運算方式一樣。簡單來講，十二平均律體系將一個“純八度”（暫不理會為什么叫做“純八度”）分成12份，每份稱為1個半音，兩份為1個全音，以此定出所有中間的單音?，F(xiàn)在我們有了好幾個需要定義的名詞，下面將是一大堆嚴謹?shù)臄?shù)學(xué)定義，但是作為理工科人的我們還怕這些嗎？
為了表示相對音高，首先要給出音程的概念：音程就是兩個音之間的頻率差距，用音數(shù)來衡量。頻率不同則音不同，而從數(shù)學(xué)上講頻率是連續(xù)的，因此音也是連續(xù)不可數(shù)的。但是十二平均律系統(tǒng)規(guī)定了離散的音的產(chǎn)生方法，這樣我們就可以“數(shù)出”音程了。
上節(jié)課我們已經(jīng)學(xué)到頻率比為1:2的兩個單音之間的音程被定義為“純八度”，例如某個單音的頻率為f，那么它與頻率為2f的另一個單音之間就構(gòu)成了一個“純八度”音程。按照十二平均律系統(tǒng)，我們可以以f為基準音，在區(qū)間[f,2f]內(nèi)得到13個不同的單音，它們的頻率分別為：f×2112f×2112，f×2212f×2212，…，f×21112f×21112，f可以視為f×2012f×2012，2f可以視為f×21212f×21212。如果將f設(shè)定為440Hz，從f到2f這13個單音的頻率就可以用前述公式算出，把它們畫在坐標系中如圖3所示。
圖3 440Hz到880Hz的“純八度”音程中的13個單音
注意每兩個相鄰的單音之間是等比關(guān)系，比例是2–√12212，因此它們所構(gòu)成的是一條指數(shù)曲線。根據(jù)上述方法，給定任意基準頻率f，我們都可以在區(qū)間[f,2f]中構(gòu)造出13個單音。十二平均律系統(tǒng)規(guī)定任兩個相鄰的音之間的音數(shù)為0.5，那么給定兩個音的音程為t（即兩音之間相隔的音的數(shù)量*0.5）和較低的一個音的頻率為fafa，我們就可以算得較高那個音的頻率fbfb：fb=fa×22t/12=fa×2t/6fb=fa×22t/12=fa×2t/6。13個單音之間不同的音程一共只有12種，人們給它們都起了名字：
相差音數(shù)0.511.522.533.544.555.56
音程名稱小二度大二度小三度大三度純四度三全音純五度小六度大六度小七度大七度純八度
我把這些音程名稱都標記為紅色，就是為了提醒大家：整個樂理中有半數(shù)以上的內(nèi)容都和音程相關(guān)，因此必須記住這些音程名稱和對應(yīng)的相差音數(shù)，否則后面的內(nèi)容無法開展。
為了方便描述，我們將音數(shù)為1的音程稱為全音，將音數(shù)為0.5的音程稱為半音。由此可知：小二度到大二度是1個半音，小三度到純四度是1個全音，純五度到純八度是2個全音加1個半音，等等。實際上，每一個音程還有其它的名稱，這叫做“異名同音”。例如小三度又稱為增二度，大六度又稱為減七度等等，有興趣可參見維基百科：音程。音數(shù)更多的音程也是存在的，但一般很少用到。
上面所述的相關(guān)概念都是關(guān)于相對音高系統(tǒng)的，也就是說十二平均率規(guī)定了音與音之間的頻率比例。接下來要講解內(nèi)容就和絕對音高相關(guān)了，我們將使用一種新的語言來描述，那就是五線譜。
三、五線譜入門
五線譜是一種音樂語言，可以用來記錄幾乎任何形式的音樂。五線譜中記錄的最主要的東西就是音符，一個音符表達一個單音，每一個音符都具有絕對的音高。也就是說五線譜上的同一個音符在不同樂器上演奏出來的音高是相同的（忽略調(diào)校的差異）。
圖4 《北京歡迎你》（部分）
圖4所示為一個簡單五線譜，五根線從低到高分別稱作第一線、第二線、第三線、第四線和第五線。五根線中間的四個區(qū)間分別稱為第一間、第二間、第三間和第四間。這些“線”和“間”都對應(yīng)不同的音高。從理工科觀點來看，一條五線譜是一個二維直角坐標系，從下到上是頻率軸，從左到右是時間軸。
圖4最左邊的符號是高音譜號，現(xiàn)在常用的譜號只有四種：高音譜號、中音譜號、次中音譜號和低音譜號，這里先介紹最常用的高音譜號。高音譜號代表該五線譜是一個高音譜，即確定了標記在線和間上的音符的音高。高音譜號中間的那個圈的圓心表示一個稱作G的音的位置，而高音譜號本身也是由大寫字母G演化而來的。歷史上還出現(xiàn)過位置更靠下的高音譜號，不過現(xiàn)在已經(jīng)不再使用了。
圖5 常用的四種譜號
再看圖4所示的樂譜，高音譜號的右邊有一個b，這叫做降號，它畫在第三線上表示該譜的調(diào)性是F大調(diào)。降號的右側(cè)有兩個數(shù)字：2和4，它們表示節(jié)拍，即以四分音符為1拍，每小節(jié)2拍。樂譜的中間和末尾處有兩條切斷五條線的豎線，這是小節(jié)標記，兩條豎線之間是一個小節(jié)（高音譜號視為第一個小節(jié)的開始）。小節(jié)和節(jié)拍都是和節(jié)奏相關(guān)的東西，先混個眼熟即可。
線上和線間的音符標記是由一個黑豆、一條短豎線和連在短豎線一端的波浪線構(gòu)成，見圖6所示。
圖6 音符的畫法
黑豆稱為符頭，短豎線稱為符桿，波浪線稱為符尾，符頭和符尾分別畫在符桿的上下兩端?？梢苑^在上符尾在下，也可以反過來，這是由符頭在五線譜中的高低位置決定的。如果符頭位置較高，就應(yīng)畫在符桿下方。應(yīng)當注意的是還有一種音符沒有符尾；還有一種音符連符桿都沒有，用圓圈表示符頭；一些音符的符尾還可能連在一起，形成一條粗橫線，這些都和音符的時長有關(guān)，我們現(xiàn)在只關(guān)心符頭的高低位置，也就是音符的音高。
五線譜中的每個音符都有一個名稱，即音名。音名一共有7個，每個音名又對應(yīng)一個唱名，它們分別是：
音名ABCDEFG
唱名LaSiDoReMiFaSo
唱名是由一位意大利音樂理論家桂多·達萊佐從一首拉丁語圣歌的歌詞中抽取出來的。而音名則是由后來的英國人嫌拉丁唱名太麻煩，就用英語字母代替了。但過去無論是過去還是今天，A都是基準音（與主音概念不同，注意區(qū)別），ABCDEFG這樣7個音連在一起形成的音階稱為“小調(diào)音階”，不過后來大調(diào)比小調(diào)更為普及，便趨向于使用“大調(diào)音階”（CDEFGAB）的主音C作為一個純八度音程的開始。顯然，人們使用的全部音符數(shù)遠多于7個，因此唱名及其音名是循環(huán)使用的。五線譜中的所有音符的音名如圖7所示。
圖7 五線譜表達的所有音符
如果音符過高或過低，在五條線中畫不下了，還可以在五根線的上面或著下面加線，這些線叫做“下加X線”和“上加X線”，X可以是“一”、“二”、“三”……。比如圖7最低的音B就畫在“下加五線”上。
圖8 五線譜的表示范圍
注意相鄰的同名音符之間的音程是八度……等等，八度？難不成是第一節(jié)課講的……？嗯，說對了，第三間的C比下加一線的C的頻率的確高了一倍！再高一倍我們還可以得到上加二線的C。從圖7的譜號可知這是一個高音譜，人們規(guī)定高音譜中第二間的La，也就是圖中上面一排倒數(shù)第三個音符A，頻率是440Hz。以A為基準，其它音符的頻率就可以用十二平均律系統(tǒng)從中音A推算出來了，這就是基準音A的概念。然而此時我們還沒有學(xué)習(xí)五線譜中各音符之間的相對音高，這一部分內(nèi)容留到下一講。
格里格《培爾金特》選段
上面這個五線譜就要復(fù)雜得多了。高音譜號的后面有4個#，這是升調(diào)號，對應(yīng)的調(diào)性是E大調(diào)。節(jié)拍是6/8拍，即以八分音符為1拍，每小節(jié)6拍。下面的P為強弱標記，表示演奏的力度（音量大小），而音符上面的弧線則是延音記號，與演奏技法相關(guān)。最后有一個特殊符號，稱為休止符。五線譜里的名詞還有很多，就像我們計算機語言中的語法是非常豐富的。更進一步的內(nèi)容下一講再說。
四、總結(jié)
這一講我們學(xué)習(xí)了兩種音律系統(tǒng)，一種是定義單音之間相對音高的十二平均律，另一種則是定義了單音的絕對音高的五線譜系統(tǒng)。這里面確實有很多數(shù)理邏輯的東西，具有一定的難度，要想理解透徹還需要仔細閱讀和思考。感到困難了嗎？請堅持下去
關(guān)鍵字：成人學(xué)樂理 樂理基礎(chǔ) 樂理入門
上一講我們學(xué)習(xí)了表示音符相對音高的十二平均律系統(tǒng)和表示絕對音高的五線譜系統(tǒng)，這一講將對我們已經(jīng)學(xué)到的這些知識做進一步展開，并對和聲理論做簡單的介紹。和上一講一樣，我們先從歷史開始講起。
一、樂理發(fā)展史 · 之二
人們很早就發(fā)現(xiàn)長度比為1:2的兩根弦同時撥響可以發(fā)出非常協(xié)調(diào)的聲音，但僅僅使用2倍關(guān)系的弦長所構(gòu)造出來的音過于單調(diào)了，可以說根本不足以形成音樂，因此人們就嘗試用其它的弦長比來發(fā)聲。一根固定在平面上的弦如果從中間任意位置按在平面上，就形成了左右兩段成不同長度比且可以分開振動的弦，人們就是用這種方法嘗試不同的弦長比的。
圖1 弦長的分割（左手按下，右手撥動）
我們把原弦長所發(fā)出的頻率記為f。用手指按在弦的正中間，即1/2處，形成的兩段弦長是相等的，它們發(fā)出的聲音頻率都為2f，這樣純八度音程就形成了。接下來人們嘗試在純八度音程的中間找到其它的音，首先按在弦長的1/3處，在較長的那一段人們聽到了一個新的音，它的頻率是3f/2，聽起來與f非常協(xié)調(diào)。信心滿滿的人們接下來又嘗試按在弦長的1/4處，但較長那一段的音聽起來雖沒有前一個音程那么協(xié)調(diào)，但也挺不錯，它的頻率是4f/3。用同樣的方法人們又得到5f/4、6f/5、7f/6……然而，人們很快就遇到了麻煩：首先，新得到的音的頻率與f的疊加變得越來越不協(xié)調(diào)（其原因?qū)⒃谙挛摹昂吐暋辈糠衷敿氄f明）；其次，新產(chǎn)生的音與前一個產(chǎn)生的音之間也不存在任何協(xié)調(diào)關(guān)系，這樣下去是不可能產(chǎn)生悅耳動聽的音樂的。人們只能另辟蹊徑。
圖2 三種最簡單的分割
不過這時人們已經(jīng)獲得了3種最簡單也最重要的弦長比，分別是1:2、2:3和3:4，它們來自于3個不同的分割點。為了獲得新的頻率，又要與f或之前已產(chǎn)生的頻率保持協(xié)調(diào)，那么能否以這3種分割點為基礎(chǔ)，從較長的那一段再以同樣的比例繼續(xù)細分呢？當然是可行的，因為協(xié)調(diào)性可以傳遞！1/2即是原弦長的一半，再將其細分為1/2就得到原弦長的1/4，協(xié)調(diào)性沒問題，但這仍然是純八度音程，沒有出現(xiàn)新的音程。而從2/3處再細分情況就大不相同了，2/3再細分2/3，就得到了與原弦長比為4:9的長度。9f/4是一個全新的頻率，顯然它與3f/2的協(xié)調(diào)程度和3f/2與f的協(xié)調(diào)程度是相同的。再從4/9中分割出2/3，得到頻率27f/8……一直用(2/3)n(2/3)n切分下去就得到了如下的頻率序列：
n頻率倍率
13f/21.5
29f/42.25
327/83.375
481f/165.0625
5243f/327.59375
上表中的“倍率”是指其頻率除以f的值。然而這樣找音存在一個問題，那就是后面產(chǎn)生的音已經(jīng)超過以f開始的一個純八度音程了。我們把這5個音和4f/3一并標記在數(shù)軸上，如圖3所示。
?圖3 7個音所隸屬的八度音程
看以看出，這6個音（黑x表示）分別隸屬于3個不同的純八度音程（紅x表示）。4f/3和3f/2隸屬于[f, 2f]，9f/4和27f/8隸屬于[2f, 4f]，81f/16和243f/32隸屬于[4f, 8f]。既然我們要確定的只是一個純八度音程中的相對位置，那最簡單的辦法就將這6個音的頻率都除以所在純八度的最低頻率。這樣得到的新的6個倍率，從小到大排列<1.125 1.265625 1.333 1.5 1.6875 1.8984375>。f自身的倍率為1，2f為2，把這8個倍率一起畫在二維坐標系中，見圖4所示。
圖4 7音階折線（藍色）與理想指數(shù)曲線（橙色）對比
挺奇妙的不是嗎？與理想的指數(shù)曲線相比誤差并不大。這不僅意味著音和音之間存在協(xié)調(diào)關(guān)系，而且按這樣的倍率關(guān)系，從任意置開始的連續(xù)7個音都能形成一條聽起來相當不錯的音階。這就是7音階的來歷。這種方法由f產(chǎn)生的第1個音是3f/2，除4f/3之外的其它因都是由3f/2產(chǎn)生，而f到3f/2是純五度關(guān)系，因此這個方法被人們稱為“五度相生律”，世界歷史上多個民族都獨立發(fā)明出五度相生律，但一般認為最早是由古希臘哲學(xué)家畢達哥拉斯提出的。
然而，隨著音樂水平的不斷發(fā)展，這7個音慢慢變得不夠用了，而且相鄰兩個音之間的頻率比并不統(tǒng)一，跟不上樂器音準的提高速度。因此后來人們又發(fā)明出了十二平均律系統(tǒng)，直到現(xiàn)在7音與12音并存的局面。篇幅關(guān)系，12音階的來歷我們放在下一次歷史課上講解。下面的內(nèi)容我們會學(xué)到關(guān)于五線譜的新知識，并以此為基礎(chǔ)了解到為什么有的音程聽起來協(xié)調(diào)，而有的不協(xié)調(diào)，這些都是和聲理論要研究的內(nèi)容。
二、五線譜進階
1. 五線譜中的相對音程
上一講我們已經(jīng)知道了高音五線譜中，第二間的A的音高定為440Hz，那么我們?nèi)绾蝸泶_定其它音的音高呢？下面將會按照十二平均律的法則在五線譜中建立相對音高系統(tǒng)，請看圖5。
圖5 放大的沒有任何升降標記的高音譜
上圖是一個放大的最簡單的高音譜，可以看到第一線上的音名是E，第一間的音名是F，其它以此類推。右側(cè)的“全”和“半”表示相鄰兩個音符之間的音程是全音還是半音。至于為什么是這樣規(guī)定的，我們會在下一講《調(diào)式與調(diào)性理論》中進一步展開。確定了音符之間的相對音程，并確定了一個基準音高A，我們就可以開始推算所有其它單音的頻率了。
首先為了方便的表示眾多音符，下文將使用科學(xué)記音法（見維基百科）來表示所有的音符，即兩個字符表示一個音：XN。其中X為音名，可以是{C, D, E, F, G, A, B}中的任意一個；N為該音的序號，從0開始由低到高編號。N每增加1，音的頻率就翻倍，并規(guī)定第C4位于高音五線譜的下加一線。根據(jù)科學(xué)音調(diào)記號法，高音譜下加一線上的C記作C4，往高依次是D4，E4，F(xiàn)4……往低依次是B3，A3，G3……。所有的C音在五線譜上標記如圖6所示。
?圖6 五線譜上所有C音的音符
比A4低純八度的音符是A3，其頻率為A4頻率的一半，即220Hz，比A4高純八度的音符是A5，頻率為A4頻率的二倍，即880。A0到A7間所有A音的頻率見下表：
基準音名A0A1A2A3A4A5A6A7
頻率(Hz)27.55511022044088017603520
要計算其它音符XN的頻率fXfX，則應(yīng)以XN下方的第一個A音AN'的頻率fAfA作為基準，然后算出XN與AN'之間的音數(shù)t，那么XN的頻率為：fX=fA×22t12=fA×2t6fX=fA×22t12=fA×2t6。例如，由于第三間的C音（即C5）與其下方第一個A音，即A4之間的音程是小三度，音數(shù)t=1.5，因此C5的頻率為：440×21.56≈523.25113Hz440×21.56≈523.25113Hz。當然，也可通過純八度音程的倍率關(guān)系計算，比如C4的頻率為C5的1/2，約為261.62557Hz。
