從學(xué)以致用，用到數(shù)論上的各個(gè)里程碑的角度來學(xué)代數(shù)幾何。

第一個(gè)里程碑：給出二次不定方程的解。一次二次的不定方程最難的也就是佩爾方程了。談不上代數(shù)幾何。但是再加一個(gè)變元，例如要給出勾股數(shù)的話，開始用到了給出x^2+y^2=z^2的有理參數(shù)解。用加減換元會(huì)發(fā)現(xiàn)它是XY=z^2,在代數(shù)幾何里面說的是最簡單的一類有理奇異點(diǎn)，ADE奇點(diǎn)。一般的二次型f(x,y,z)=0求解的話有換元方法（華羅庚數(shù)論導(dǎo)引），這里最多也就一個(gè)射影簇的內(nèi)涵。需要學(xué)習(xí)射影簇代數(shù)曲線和奇異點(diǎn)解消。

第二個(gè)里程碑：三次不定方程。用到了橢圓函數(shù)來參數(shù)化---那就不再是有理參數(shù)化，因?yàn)楸旧硪话悴皇怯欣泶?。非退化的三次曲線虧格為1.十個(gè)系數(shù)的三次型f(x,y,z)=0都可以換元成為橢圓曲線，而且可以只有一個(gè)不定系數(shù)。而且這種換元是雙有理的。開始要學(xué)習(xí)雙有理變換，虧格1模空間。橢圓曲線的方程X^3+aX+b=y^2(不是只有一個(gè)不定系數(shù)的嗎，因?yàn)檫@不是最簡形，最簡形只有一個(gè)不變量j)的整點(diǎn)怎么求出來？結(jié)論是，一般存在無數(shù)多個(gè)整點(diǎn)。

數(shù)學(xué)人不能滿足于無數(shù)個(gè)這種抽象的提法，硬是建立橢圓曲線群結(jié)構(gòu)，將其分成了有限類整點(diǎn)。此處也涉及了特征p的代數(shù)幾何開始了。

此時(shí)代數(shù)幾何主分支已經(jīng)無能為力。要細(xì)分到密碼學(xué)區(qū)塊鏈等等了--其中的tate對weil對大量的內(nèi)涵。最難的地方通向了BSD。那我們就往別處卷了。

第三個(gè)里程碑：四次不定方程。可以在莫比烏斯變換下變到三次方程。沒人給你講？是因?yàn)闄E圓曲線的書看的太少。

第四個(gè)里程碑：五次方程。這個(gè)時(shí)候我們不說五次方程了。說n次方程。因?yàn)閷?yīng)代數(shù)曲線虧格不小于2的情況了，這個(gè)時(shí)候被代數(shù)幾何斷言只存在有限個(gè)整點(diǎn)解。德林列的工作。細(xì)化的工作上，有人用代數(shù)曲面的纖維化研究五次六次，因?yàn)闅w結(jié)為虧格=2的纖維化分類。仍有發(fā)表市場。但是被日本nariwa等人做出了完成的分類，有上百種。所以后續(xù)的七次八次虧格為3，再更高次，分類的情況繁多成千上萬，不會(huì)再認(rèn)為是好的數(shù)學(xué)成果。

然而仍然有牛成果存在，就是riemann-hurwitz分歧除子公式。這里涉及到了代數(shù)曲面的覆蓋了。

從而對z^n=f(x,y)型及其雙有理變種得到了一定的打擊。

結(jié)束了嗎？沒有，因?yàn)閦^n=f(x,y)變元只有3個(gè)。射影化之后也只有4個(gè)。萬一變元再增加？無窮無盡了，高斯面對怎么不去終結(jié)費(fèi)馬大定理讓其他數(shù)學(xué)家有更好的精力轉(zhuǎn)移的質(zhì)問時(shí)，他答到，這種方程我隨便都能給個(gè)幾百個(gè)，這樣卷有意義嗎？

那我們接下來該怎么前進(jìn)呢？-----克萊因埃爾朗根綱領(lǐng)告訴我們要研究不變量。但是這里面是非線性方程啊，都不是用矩陣變換簡化系數(shù)空間（?？臻g）呀，換元都是用有理的代數(shù)式子換元（包括麥比烏斯變換）。這種變換頂多涉及雙有理不變量，頂多也就與奇異點(diǎn)解消相關(guān)。再怎么做呢？

接下來黎曼-羅赫定理和層論的概念引入。首先，麥比烏斯變換+整式換元+各類分式換元=<倒數(shù)變換，整式變換>生成。倒數(shù)變換從何而來？難道不是全部都是整式代換嗎？人們發(fā)現(xiàn)倒數(shù)變換，再不同的開集來看，也是一個(gè)整式。層論的開集的粘貼這么來了。

黎曼羅赫認(rèn)為，換元法的極限不就是去掉一些多項(xiàng)式的系數(shù)嗎？那么可以去掉多少個(gè)呢？應(yīng)該提前可以預(yù)知，根據(jù)一些函數(shù)相關(guān)性，會(huì)發(fā)現(xiàn)無效代換，和正真有效的代換，黎曼羅赫給出了系數(shù)空間的維數(shù)。?？臻g（或者參量空間-李克正提法）。

至此，f(x,y,z,w)=0的方程結(jié)束。

更多參數(shù)呢，五個(gè)變元時(shí)呢，第一個(gè)本質(zhì)有意義的結(jié)論---米爾諾怪球出現(xiàn)。

還有f(x,y,z,w)=0如果不能有理參數(shù)化，可以被什么參數(shù)化？此時(shí)橢圓函數(shù)的推廣超幾何級(jí)數(shù)有點(diǎn)用了。黎曼符號(hào)又出來了。與常微也有聯(lián)系了。一些變態(tài)的常微，研究的方法是極限環(huán)和葉狀結(jié)構(gòu)，又有了雙有理等價(jià)的方法在里面。做雙有理分類又做動(dòng)一點(diǎn)。

多個(gè)變元的化，也應(yīng)該有覆蓋現(xiàn)象產(chǎn)生，z^n=f(x,y，...)可是變元都這么多了，如果還都是實(shí)變元的化，是不是可以整合為復(fù)變元，使變元個(gè)數(shù)縮小呢？原來有實(shí)代數(shù)幾何和復(fù)代數(shù)幾何的分別，怎么之前沒有提到？

復(fù)代數(shù)簇性質(zhì)更好。但研究起來舉步維艱，雙有理等價(jià)分類？好不容易用小平維數(shù)界定了一下，分出了一般型曲面和特殊曲面。竟然越來越不好研究了。那就推廣2-fold的結(jié)論到3-fold吧。有總比沒有強(qiáng)。

還有那就研究其中最特殊的方程吧，什么是最特殊的？calabi-yau？那就研究對稱型最強(qiáng)的對象吧！對稱型能有多強(qiáng)呢？有人來估計(jì)對稱性的上界，自同構(gòu)群的大小?？傊罄m(xù)有的是隔靴搔癢的了。

后來干脆不從這么具體的方程形式研究了。既然研究的工具是同調(diào)之類的。那就專門研究同調(diào)。

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然而返璞歸真，對具體的橢圓曲線的研究卻得到了一些成果又啟發(fā)過來了，推動(dòng)了費(fèi)馬大定理的解決。伽羅瓦表示，就是那有限類整點(diǎn)的表示，和纖維化的穩(wěn)定性方面的工作，都有豐富的成果。所以百花齊放的局面呈現(xiàn)啦。

有人覺得復(fù)代數(shù)簇限制在特征p上更好。搞不上可以用計(jì)算機(jī)程序枚舉處結(jié)果。

還有張益唐這種被莫說為不講武德，不從上面這么精細(xì)的思路慢慢走了，摒棄了雅可比猜想這種雙有理等價(jià)的技巧，用多復(fù)變里面的一些不等式技巧，直接判斷一些數(shù)論的結(jié)果的了。