前注：

（1）原題來自B站賬號“很弱的火鍋油先生”，證法與之不同。

（2）此文亦可見于微信公眾號“2025屆6班”，作者為同一個人。

零、前備知識

1.???? 三角形的外心、內(nèi)心、垂心、重心、旁心（定義略），前四者分別記作O、I、H、G。

2.???? 三角形的重心，是三角形中線上靠近邊中點的那個三等分點。中考定理。

3.???? 三角形的外心、重心、垂心三點共線，叫做三角形的歐拉線。向量OH是向量OG的三倍。用“沙漏”型相似，或構(gòu)造平行四邊形等方法可證。

4.???? 三角形三邊中點、三邊垂足、垂心分別到三個頂點的連線段的三個中點，九點共圓。九點圓的圓心記作O9，它在歐拉線上，且為線段OH的中點。對外接圓作位似變換可證。（這條很值得講，但不是這次重點，之后可能會出費爾巴哈圓的綜述，那時可詳細地講）

5.???? 三角形的內(nèi)切圓在三邊上有三個切點，分別聯(lián)結(jié)三角形的每個頂點與其對邊上的切點，得到的三條線段共點，叫做三角形的熱爾崗點，又叫切心，記作Ge。塞瓦定理可證。

6.???? 三角形的三個旁切圓在三邊上有三個切點，分別聯(lián)結(jié)三角形的每個頂點與其對邊上的切點，得到的三條線段共點，叫做三角形的奈格爾點，又叫界心，記作Ni。塞瓦定理可證。得此名稱，是因為每個切點都平分三角形的周長。（5、6可自行了解）

7.???? 三角形三邊中點所構(gòu)成的三角形，叫做三角形的中點三角形。中點三角形的內(nèi)切圓和內(nèi)心，分別叫做原三角形的斯俾克圓和斯俾克點，斯俾克點記作Sp。

8.???? 一組對邊相等的四邊形中，另一組對邊中點的連線與前兩條邊成等角。中位線定理可證。（P.S.這是四邊形考試的必備定理哦~）

9.???? 塞瓦定理、梅涅勞斯定理、位似變換。（可自行了解）

?

一、亮題

下面這道題涵蓋了非常大量的三角形五心性質(zhì)——美妙，較難，實用。我把這題的一部分出在了以往的每日一題中，下面是本題的完全體。

三角形ABC中，D和E分別是AB、AC上的點，滿足BD=CE。作出三角形ADE和三角形ABC的外心、內(nèi)心、垂心、重心、九點圓圓心、奈格爾點、斯俾克點，不帶撇的是與三角形ABC有關(guān)的點，反之則是與三角形ADE有關(guān)的點，如圖。求證：聯(lián)結(jié)七組相同類型的點，得到的七條線段互相平行——“七星連珠”！

直接硬剛是不現(xiàn)實的，因此我們將把題目拆解為幾個部分解答。

?

二、證明GG’//II’

為了用上前備知識8，我們很自然地想到取BC中點M，取DE中點M’。由內(nèi)心的定義，得到AI’I三點共線。由重心的定義，得到AG’M’；AGM兩組三點共線。

由AG’:G’M’=AG:GM=2:1，得到GG’//MM’。

由前備知識8，得到

∠BKM=∠CJM=∠JKA=(1/2)*∠BAC=∠BAI。

同位角相等，故MM’//II’，進而GG’//II’。第一步應該算是最容易的。

?

三、證明OO’//II’，進而解決HH’和O9O9’的部分

一開始我是想要用OM垂直平分BC，O’M’垂直平分DE來做的，但很快發(fā)現(xiàn)行不通。于是換成作OX垂直平分AB，O’X’垂直平分AD，OY垂直平分AC，O’Y’垂直平分AE，豁然開朗：XX’=AX-AX’=(1/2)*AB-(1/2)*AD=(1/2)*BD；同理，YY’=(1/2)*CE。故XX’=YY’。XX’是O’到OX的距離，YY’是O’到OY的距離，因此OO’與OX、OY的夾角相等。再由AB垂直于OX，AC垂直于OY，得OO’與AB、AC的夾角相等。巧了，II’也有這樣的性質(zhì)，所以OO’//II’。

到此，我們又驚喜地發(fā)現(xiàn)，由于OG:GO9:O9H=O’G’:G’O9’:O9’H’=2:1:3，故O9O9’與HH’也加入了平行的序列中。

?

-------------------------------休息區(qū)-------------------------------

到這里，我們先緩一緩，總結(jié)一些經(jīng)驗。我們發(fā)現(xiàn)，我們在兩道小題中多次運用了“證明點共線→證明線段成比例→用平行線分線段成比例的逆定理得出平行”。對于我們不熟悉的奈格爾點和斯俾克點，我們能否也嘗試這條道路呢？答案是，二者均可。

-------------------------------休息區(qū)-------------------------------

?

四、用引理解決NiNi’的部分

我們的目標是證明NiGI三點共線并且滿足一個比例關(guān)系。事實上，向量INi是向量IG的三倍。并且應當明確，對于三個幾何心中的任何一個點，聯(lián)結(jié)它與三角形某一頂點的線段，與該頂點對邊交于一點，我們都能用關(guān)于三角形三邊的有理式表達出這個點在這條邊上的分比，于是梅涅勞斯定理就能大顯身手。若覺得抽象，請對照以下的計算證法進行理解。

不妨AB>AC，此時E更靠近B（因為E平分三角形ABC周長），D更靠近C（由角平分線定理可得），M是BC的中點。設BC=a，AC=b，AB=c，周長的一半為p。

先導邊。

CD=ab/(b+c)，DM=CM-CD=a(c-b)/2(b+c)

BE=p-AB=(a+b-c)/2，EM=BM-BE=(c-b)/2

由角平分線定理，

AB/BD=AC/CD=k

再通過合比性質(zhì)得到

k=(AB+AC)/(BD+CD)=(b+c)/a=AC/CD=AI/ID

注意到

AI/ID=EM/DM=(b+c)/a，

得到

AE//IM

再定比。AE//IM推出

IM/AE=ID/AD=a/(a+b+c)（1）

在三角形ABE中，以線段FNiC為截線應用梅涅勞斯定理，得(AF/FB)(BC/CE)(ENi/NiA)=1

E、F均平分三角形ABC周長，故

BF=p-BC=(b+c-a)/2，CE=p-AC=(a+c-b)/2=AF

(AF/FB)(BC/CE)=BC/FB=2a/(b+c-a)

故ENi/NiA=(b+c-a)/2a，即

NiA/AE=2a/(a+b+c)（2）

（1）（2）相除，得

NiA/IM=2

由相似，AM與INi的交點G是AM上靠近M的三等分點，即三角形ABC的重心，并且NiG=2GI，得證。進而原題中NiNi’的部分顯然得證。

【這個證法是不是很像歐拉線的“沙漏“型相似的證法？】

?

五、用引理解決SpSp’的部分

事實上，對于任意三角形，斯俾克點也在內(nèi)心、重心、奈格爾點的連線上，且為內(nèi)心與奈格爾點連線段的中點。下提供位似證法。

中點三角形，是原三角形以重心為位似中心作位似比為-1/2的位似變換得到的（在位似變換中把位似比帶上正負號會看得直觀一些。帶負號，指先繞位似中心旋轉(zhuǎn)180度，再以絕對值為位似比作位似變換），我覺得這是真正使這個三角形物盡其用的觀點。那么，中點三角形的內(nèi)心Sp和原三角形的內(nèi)心I的關(guān)系也就一目了然：向量GSp=(-1/2)*向量GI。（再結(jié)合奈格爾點那里得到的結(jié)論，Sp即為INi的中點。）那么原題中SpSp’的部分就顯然得證。

單是介紹這個有點無聊。為了體現(xiàn)一點點斯俾克點的特殊性，我在習題中留了一個探究題。當然，這不是斯俾克點的全部性質(zhì)。

?

六、總結(jié)與習題

我們把題目分為了四部分解答，每一部分都不能算難，但組合起來就……難度上去不少。這個題目的七條線段里，只有兩條線段是用到BD=CE條件的，剩下五條都是由“放之四海而皆準“的三角形性質(zhì)得到的，因此思路可謂非常清晰。最后，是4道思考題。其中3道與位似相關(guān)，因為我覺得這題給我最大的啟發(fā)就是對位似理解的再深入。

1.???? 在原題中，分別作ABC和ADE的外接圓，它們交于點N，則N有何性質(zhì)？你能在這個性質(zhì)的基礎上證明OO’//GG’嗎？來自B站賬號“很弱的火鍋油先生”。

2.???? 斯俾克圓除了是中點三角形的內(nèi)切圓外，還是哪個三角形的內(nèi)切圓？

3.???? 你能用中點三角形的位似觀點證明歐拉線定理嗎？

4.???? 奈格爾點、斯俾克點、內(nèi)心的本質(zhì)聯(lián)系是？

它們的解答我之后沒準會發(fā)。