第一節(jié) 導(dǎo)論

一、可分離變量的微分方程

假設(shè)有方程

這個(gè)含有微分量dy和dx的方程叫做微分方程

為了解它，我們得分離變量（分離變量就是將與y相關(guān)的量放在一邊，把與x相關(guān)的量放在另外一邊），即

然后同時(shí)積分

得到

分別取指數(shù)，得到

因?yàn)閑^(kC)是一個(gè)常數(shù)，因此我們可以用任意字母表示它，在這里我們用A表示，即

二、例題

1.解

按照慣例，先分離變量：

同時(shí)積分

得到

分別取指數(shù)，得到

由于e^(-2C)是個(gè)常數(shù)，我們需要確定它的值

好在題目給了一個(gè)條件

把x=0，y=5代入，得到

因此

2.解

先分離變量

然后積分(注意我把1/cos^2 y變成了sec^2 y)

解得

即

第二節(jié) 標(biāo)準(zhǔn)一階線性微分方程

一、標(biāo)準(zhǔn)式

標(biāo)準(zhǔn)一階線性微分方程為：

二、如何解題（引入積分因子）

由于這種微分方程無法分離變量，所以我們要用稍微不正常的方法

比如求

看起來很復(fù)雜，但是我們可以在等號(hào)兩邊同時(shí)乘以e^(2x^3)，也就是（這里的e^(2x^3)叫做這個(gè)微分方程的積分因子）

然后我們注意等號(hào)左邊的式子，是不是很像乘積求導(dǎo)法則？

我們證明一下：

考慮左邊式子

令

則

再令

根據(jù)隱函數(shù)求導(dǎo)，得到

即

我們證明了e^(2x^3)的導(dǎo)數(shù)為e^(2x^3)*6x^2

即可以得出左邊的式子實(shí)質(zhì)為乘積求導(dǎo)法則?。▂的導(dǎo)數(shù)為dy/dx）

由此我們得到

即

同時(shí)積分，得到

即

解得

三、重要結(jié)論以及通式

1.積分因子

（1）積分因子的表達(dá)式

    設(shè)積分因子為v(x)，則

（2）積分因子的證明（這里是將目光轉(zhuǎn)到了標(biāo)準(zhǔn)式的左邊式子）

設(shè)函數(shù)v，p和y，以及等式（這里的v表示v(x)，p表示p(x)）

將左邊的式子利用乘積求導(dǎo)法則，得到

化簡(jiǎn)，得到

分離變量，得到

同時(shí)積分

得到

即

（3）如何利用積分因子

比如上一個(gè)例題，我們先要確定p(x)，這樣就確定了積分因子

上一個(gè)例題中：

那么

即積分因子

所以我們要做的是將標(biāo)準(zhǔn)的一階線性微分方程的兩邊同時(shí)乘以微分因子，既可求解。

2. 通式

如果有一階線性微分方程

那么它的解為

其中

這個(gè)公式是怎么證明出來的？交給你們了！（提示：在標(biāo)準(zhǔn)式的兩邊乘以積分因子，然后利用乘積求導(dǎo)法則化簡(jiǎn)，積分，最后就可以得到通式了）

注意：遇到一個(gè)微分方程，如果可以化成標(biāo)準(zhǔn)式，那就一定要化成標(biāo)準(zhǔn)式！然后就可以利用上述方法解題