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??????? 在打籃球時，如果我們在籃筐附近出手的話，許多時候我們會選擇借助籃板將球打進，通常我們稱之為“擦板”。這種技術在籃球場上再普通不過了。不過我發(fā)現(xiàn)，在“擦板”時，水平方向上籃球是滿足“出射角等于入射角”這一規(guī)律，就算不嚴格遵循這一規(guī)律，看起來也不會有什么大的偏差，大家想一想自己上籃時的身位，擦板的點，還有籃筐的位置，就能明白這一點；但是，豎直方向上，我們會發(fā)現(xiàn)，本來球是向上運動的，擦板之后球變成向下運動，也就是說，豎直方向上“出射角等于入射角”這一規(guī)律就失效了。這是為什么呢？本文通過建立簡單的模型，來對這一現(xiàn)象進行粗淺的分析。

??????? 通過思考，筆者初步猜想這是摩擦力的緣故，因為重力似乎不能引起如此大的變化。這個猜想可由以下現(xiàn)象初步驗證：將一個籃球向前拋出，同時使它向后旋轉，這個球會自己彈回來。

??????? 我們分析一下與地面碰撞的時候，球的受力。假設碰撞前球一瞬間的速度是豎直向下的，球的旋轉方向如圖所示。誠然，球會受到很多力，但是我們可以忽略掉那些影響很小的力，而只分析在這個過程中占主導地位的三個力：地面的作用力N，豎直向上；重力G，豎直向下，以及摩擦力f，水平向右。在重力以及支持力的共同作用下，球會彈起來，而在水平方向上，由于受到向右的摩擦力，球會具有向右的速度。也就是說，球反彈的原因是受到了水平方向的摩擦力，這個摩擦力改變了球的運動狀態(tài)。

??????? 同樣的，當我們擦板的時候，由于籃板對球有豎直方向上的摩擦力的緣故，所以我們會觀察到速度方向改變的現(xiàn)象。

??????? 定性的分析，就到此為止了。但是，這個分析又引出了另一個的問題，那就是：為什么水平的方向上摩擦力的影響會“這么小”？為了解釋這個問題，就不得不建立一個模型，列幾條公式，去描述這個現(xiàn)象了。

??????? 不過，在建立模型之前，有必要介紹幾個概念以及公式，以便于模型的理解：

1、向量的外積

??????? 對于兩個向量?A，B，定義運算A×B，則結果為一個新的向量C，這個向量C垂直于向量A、B所在的平面，向量C方向由右手螺旋定則確定：伸出右手，將四只指向A的方向，當右手的四指從B以不超過180度的轉角轉向B時，豎起的大拇指指向是A×B的方向，大小為|A||B|sinθ，其中θ為兩個向量的夾角，取值是0到180°。如圖。

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2、轉動慣量

??????? 這是一個描述物體“轉動慣性”的物理量，轉動慣量越大，說明這個物體越難改變其轉動的狀態(tài)。應當注意的是，轉動慣量是對于某一條轉軸而言的，因此使用時要說明是對哪一條轉軸的轉動慣量。對于一個距離轉軸為R，質量為m的質點，其轉動慣量

對于一個連續(xù)的剛體，則要通過微積分來計算其轉動慣量。

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3、力矩

??????? 設一個力F作用在與O點相距r處的一個質點上，則力矩M定義為

其中r為從O點到力所作用的那一點的位置向量（矢量）。初中時候學的杠桿平衡實際上就是杠桿所受合力矩為0的結果，即兩邊的力產(chǎn)生的力矩相互抵消了。

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4、角速度矢量

??????? 角速度（也叫角頻率，圓頻率）是描述物體繞某一定軸旋轉快慢的物理量，有時為了研究的方便將它定義為一個矢量ω，同樣滿足右手螺旋定則：伸出右手，四指順著旋轉的方向環(huán)抱轉軸，則大拇指所指的方向就是角速度矢量的方向。對于一個在空間中旋轉的剛體，可以將它的角速度矢量分解為沿坐標軸的分量以便于研究，即把剛體的實際旋轉看成是分別繞x軸，y軸，z軸旋轉的疊加效果。比如說，當我們考慮xOy平面離剛體的運動時，我們可以只考慮沿z軸的角速度的分量[1]。

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5、角動量

??????? 角動量也是矢量，是反映物體轉動的劇烈程度的物理量，其定義為

6、角動量定理

??????? 角動量的變化率等于（合）力矩，即

7、轉動動能

??????? 轉動動能也是反映物體轉動的劇烈程度的物理量。這個為一個標量。表達式為

??????? 以上就是一些概念公式定理的介紹。至于初等教育中會提到知識點，這里不再贅述。下面就是這個模型的介紹。設想有一堵墻，有摩擦，然后地面是光滑的。有一個球，以一定的速度滑向墻，同時，從上往下看，球在轉動，并且轉軸垂直于地面（平行于墻面）。

??????

建立空間直角坐標系（以便于將矢量運算轉為代數(shù)運算），如圖。其中z軸設垂直于紙面向外，即逆時針旋轉時角速度ω指向z軸正方向，小球平行于墻的速度分量為vx，垂直于墻的速度分量為vy，接觸過程持續(xù)Δt。假設接觸過程中摩擦力恒為f。小球質量為m，半徑R，對于過球心的轉軸的轉動慣量為I。由動量定理跟角動量定理，我們有方程

(1)

消去fΔt這一項，有

(2)

式（2）里面有兩個未知數(shù)Δω，以及Δvx，因此要求解（2），還要另一個條件來列方程。這一個條件是什么呢？我們再一次考慮摩擦力的性質。摩擦力阻礙相對運動，如果沒有相對運動（的趨勢），摩擦力就會消失。因此摩擦力的最終效果是相對運動消失。對于一個旋轉的球來講，在碰撞的過程中的摩擦取決于球離墻最近那一點的速度。因此，我們可以假設，在碰撞后，球離墻最近的那一點對于墻的速度為0，即

(3)

其中

(4)

聯(lián)立（2）（3）（4），解得

(5)

有興趣的讀者可以自己檢驗一下這個結果是否違反能量守恒定律。

??????? 接下來將這個模型代入到球場中去檢驗。首先就是要計算出籃球對于其過中心的轉軸的轉動慣量?；@球由其內(nèi)部的空氣以及外面一層“球殼”組成，假設“球殼”的厚度可以忽略不計，且這一層球殼質量分布均勻。標準7號籃球的質量在600至650克之間，直徑為24.6厘米，內(nèi)部氣壓為1.6×10^5帕斯卡，通過理想氣體狀態(tài)方程[2]，可以計算出在27℃下內(nèi)部氣體的質量為14.5克，可見籃球絕大部分質量都分布在“球殼”上，因此把籃球當成一個厚度為0卻具有質量的理想薄球殼近似處理，不僅簡化了計算，而且誤差不大。對于理想的薄球殼，其對于過球心的轉軸的轉動慣量

(6)

??????? 接下來就是建立一個坐標系，以便我們描述球的運動。建立空間直角坐標系，x軸垂直于籃板，y軸平行于籃板且水平，z軸垂直于地面，如圖。忽略空氣對球的一切作用力，同時，在打板的過程中，我們可以不計重力。聯(lián)立（5）（6），可以得出下列結論：

(7)

從這里我們可以看出，對于z方向，教練所要求的球“向后轉動”，意味著一個正的ωy，所以在這個方向上的速度會減小乃至反向。至于水平方向“反射角等于入射角”，其實亦為我們的錯覺——根據(jù)“向后旋轉”的要求，球的轉軸應該是水平的，這意味著ωz為0，在這種情況下，沿y方向的速度將是其初速度的0.6倍，不過考慮上x方向上的速度在碰撞后會減小，所以在大多數(shù)時候我們觀察不到角度的顯著變化——當然，有時候還是能看到比較明顯的變化的，據(jù)我的觀察，一般是在拉桿上籃的時候容易觀察到“入射角”跟“反射角”的明顯差異，這種情況下球的轉軸不是水平的。

??????? 實際上，這個模型忽略了許多因素，比如說球的形變，比如說籃架的振動，等等。我們的分析是經(jīng)過簡化的，但抓住了要點——球與籃板間的摩擦了。通過一步一步消除那些不重要的細節(jié)，我們就得到了一個簡單的、不需要深奧的數(shù)學就可以分析的模型。

??????? 下面就是通過一些實驗來驗證我們的模型[3]。設碰撞前球沿y軸方向的速度為vy，令ωz為0[4]，得碰撞后沿y軸的速度

(8)

我們可以選取一段上籃的視頻來驗證我們的結論。

?

通過動態(tài)圖可以看出球在打板前的轉軸是基本上水平的，滿足（8）的條件。

?

除了與籃板碰撞的一小段時間內(nèi)之外，籃球的“橫向移動”可以視作勻速的，因為空氣阻力可以忽略。間隔相同的時間畫一條豎直的紅線，紅線與該時刻球的最左邊相切，一共有10條紅線，9段時間。球是從右到左的?？梢钥闯鲋虚g有一段的間隔特別不同，所以我們測量前四段跟后四段的比值。通過畫圖軟件可以測得，前四段在圖片上占據(jù)162個像素，后四段占據(jù)95個像素。

前后沿y軸的速度的比值為

95/162=0.59

這與（6）的理論值0.6十分接近。我們不妨再找一個視頻來驗證我們模型的正確性。

?

這也是一個在打板前轉軸接近水平的這么一個狀態(tài)。

這里一共有9條線，8段相同的時間。中間的兩段看起來比較詭異，可能是攝像機的原因。所以我們選取看起來比較均勻的前三段跟最后三段。同樣通過畫圖軟件，得出前三段的長度為176個像素，后三段則為101個像素。因此，在碰撞前后二者的速度之比為

101/176=0.57

同樣與理論值0.6非常接近。

??????? 通過以上兩個案例，可以看出這個模型還是稱得上合格的。限于條件，筆者沒有能力去做更好的實驗來驗證這個模型，如果有哪位讀者能夠幫忙做更加精密的實驗來驗證這個模型的話的正確性，或者是幫我找出相關的文獻的話，我將不勝感激。

注釋及參考資料

[1]關于角速度矢量能否分解的問題，參見https://www.zhihu.com/question/355529994

[2]理想氣體狀態(tài)方程PV=nRT，感興趣的讀者可以自己查資料搞明白這條公式各個字母的都代表什么物理量，自己推導公式，自己計算一下。由于這計算內(nèi)部氣體質量所需的知識在高中必修的課本里都有提到，這里就不展開講了。

[3]這些實驗都不是筆者自己做的。用于實驗驗證的素材全部來源于AV85576717。

[4]為什么要令ωz為0？因為筆者沒有能力通過一段視頻來判斷一個球轉軸的方向——或者說，只能判斷轉軸是否（接近）水平——以及角速度的大小，所以只能驗證這個模型在特殊情況下的正確性。

[5]圖2，圖4來源于《大學物理（第一冊）》（第二版）（華南理工大學出版社）