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原文出處：拓端數(shù)據(jù)部落公眾號(hào)

摘要

我們首先介紹擴(kuò)展 Rasch 模型的方法論，然后是一般程序描述和應(yīng)用主題,包括簡(jiǎn)單的 Rasch 模型、評(píng)級(jí)量表模型、部分信用模型及其線性擴(kuò)展。這種線性結(jié)構(gòu)的結(jié)合允許對(duì)協(xié)變量的影響進(jìn)行建模，并能夠分析重復(fù)的分類測(cè)量。

簡(jiǎn)介

Rost (1999) 在他的文章中聲稱，“盡管 Rasch 模型已經(jīng)存在了這么長(zhǎng)時(shí)間，但目前 95% 的心理學(xué)測(cè)試仍然是使用經(jīng)典測(cè)試?yán)碚摰姆椒?gòu)建的”?；旧希昧撕苌偈褂?Rasch 模型 (rm) 的以下原因： 原始形式的 Rasch 模型 (Rasch 1960) 僅限于二分項(xiàng)，對(duì)于實(shí)際測(cè)試目的而言，可以說(shuō)限制性太強(qiáng)。因此，研究人員應(yīng)該關(guān)注擴(kuò)展的 Rasch 模型。

除了基本的 rm，可以計(jì)算的模型有：線性邏輯檢驗(yàn)?zāi)Ｐ?(Scheiblechner 1972)、評(píng)級(jí)量表模型 (Andrich 1978)、線性評(píng)級(jí)量表模型 (Fischer and Parzer 1991)、部分信用模型（Masters 1982）和線性部分信用模型（Glas 和 Verhelst 1989；Fischer 和 Ponocny 1994）。

擴(kuò)展 Rasch 模型

一般表達(dá)

Andersen (1995) 推導(dǎo)出以下表示，這些表示基于 Rasch 對(duì)多組數(shù)據(jù)的一般表達(dá)式。數(shù)據(jù)矩陣表示為 X，行中的人 v 和列中的項(xiàng)目 i?？偣灿?v = 1, ..., n 個(gè)人和 i = 1, ..., k 項(xiàng)。數(shù)據(jù)矩陣 X 中的單個(gè)元素表示為 xvi。此外，每個(gè)項(xiàng)目 i 都有一定數(shù)量的響應(yīng)類別，用 h = 0, ..., mi 表示。對(duì)項(xiàng)目 i 的響應(yīng) h 的相應(yīng)概率可以根據(jù)以下兩個(gè)表達(dá)式導(dǎo)出（Andersen 1995）：

或者

這里，φh 是項(xiàng)目參數(shù)的評(píng)分函數(shù)，θv 是一維人參數(shù)，βi 是項(xiàng)目參數(shù)。在等式 1 中，ωh 對(duì)應(yīng)于類別參數(shù)，而在等式 2 中，βih 是項(xiàng)目類別參數(shù)。

擴(kuò)展 Rasch 模型的表示

對(duì)于二分項(xiàng)的普通 Rasch 模型，等式 1 簡(jiǎn)化為

主要假設(shè)，也適用于本文提出的概括，是：潛在特征的單維性、原始分?jǐn)?shù)的充分性、局部獨(dú)立性和平行項(xiàng)目特征曲線 (iccs)。相應(yīng)的解釋可以在 Fischer (1974) 中找到，在 Fischer (1995a) 中可以找到數(shù)學(xué)推導(dǎo)和證明。

對(duì)于二分項(xiàng)，Scheiblechner (1972) 提出了（更受限制的）線性邏輯檢驗(yàn)?zāi)Ｐ?(lltm)，后來(lái)由 Fischer (1973) 形式化，通過(guò)將項(xiàng)目參數(shù)拆分為線性組合

請(qǐng)注意，項(xiàng)目 i 和操作 j 的權(quán)重 wij 必須先驗(yàn)地固定。關(guān)于認(rèn)知操作的進(jìn)一步闡述可以在 Fischer (1974, p. 361ff.) 中找到。因此，從這個(gè)角度來(lái)看，lltm 比 Rasch 模型更簡(jiǎn)潔。

不過(guò)，還有另一種看待 lltm 的方法：基本 Rasch 模型在重復(fù)測(cè)量和組對(duì)比方面的概括。需要注意的是，兩種類型的重新參數(shù)化也適用于線性評(píng)級(jí)量表模型（lrsm）和線性部分信用模型（lpcm），相對(duì)于下面介紹的基本評(píng)級(jí)量表模型（rsm）和部分信用模型（pcm） . 關(guān)于 lltm，F(xiàn)ischer (1974) 已經(jīng)介紹了將其用作 Rasch 模型的推廣以進(jìn)行重復(fù)測(cè)量的可能性。在隨后的幾年中，這一建議得到了進(jìn)一步的闡述。

在這一點(diǎn)上，我們將專注于 Rasch 模型的簡(jiǎn)單多分類推廣，即 rsm (Andrich 1978)，其中每個(gè)項(xiàng)目 Ii 必須具有相同數(shù)量的類別。對(duì)于等式 1，可以將 φh 設(shè)置為 h，其中 h = 0, ..., m。由于在 rsm 中項(xiàng)目類別的數(shù)量是恒定的，因此使用 m 而不是 mi。因此，由此得出?

具有 k 個(gè)項(xiàng)目參數(shù) β1, ..., βk 和 m + 1 個(gè)類別參數(shù) ω0, ..., ωm。此參數(shù)化導(dǎo)致對(duì)單個(gè)項(xiàng)目的響應(yīng)類別 Ch 進(jìn)行評(píng)分。項(xiàng)目參數(shù)可以像方程 4 中那樣以線性組合進(jìn)行拆分。

最后，介紹了 Masters (1982) 開(kāi)發(fā)的 pcm 及其線性擴(kuò)展 lpcm (Fischer and Ponocny 1994)。pcm 為 h = 0, ..., mi 的每個(gè) Ii ×Ch 組合分配一個(gè)參數(shù) βih。因此，恒定評(píng)分屬性不能保留項(xiàng)目，此外，項(xiàng)目可以具有不同數(shù)量的響應(yīng)類別，由 mi 表示。因此，pcm 可以被視為 rsm 的推廣，并且人 v 對(duì)類別 h（項(xiàng)目 i）的響應(yīng)的概率定義為

很明顯，(6) 是 (2) 在 φh = h 方面的簡(jiǎn)化。至于lltm和lrsm，lpcm是通過(guò)重新參數(shù)化基本模型的item參數(shù)來(lái)定義的，即

應(yīng)用示例

在以下小節(jié)中，提供了與不同模型和設(shè)計(jì)矩陣場(chǎng)景相關(guān)的各種示例。由于可理解性問(wèn)題，數(shù)據(jù)集保持相當(dāng)小。

示例 1：Rasch 模型

我們從一個(gè)基于 100×30 數(shù)據(jù)矩陣的簡(jiǎn)單 Rasch 模型開(kāi)始示例部分。首先，我們估計(jì)項(xiàng)目參數(shù)，然后估計(jì)人員參數(shù)。

然后我們使用 Andersen 的 LR 檢驗(yàn)與平均分割標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行擬合優(yōu)度：

> lrre

我們看到模型擬合，并且該結(jié)果的圖形表示（僅項(xiàng)目子集）在圖 ?中通過(guò)帶有置信橢圓的擬合優(yōu)度圖給出。

1. > plotGOF(lrres.rasch, beta.subset = c(14, 5, 18, 7, 1), tlab = "item",

2. + conf = list(ia = FALSE, col = "blue", lty = "dotted"))

為了能夠繪制置信橢圓，需要在計(jì)算 LR 測(cè)試時(shí)設(shè)置 se = TRUE。

示例 2：lltm 作為受限 Rasch 模型

對(duì)項(xiàng)目參數(shù)進(jìn)行線性擴(kuò)展的模型也可以看作是其底層基本模型的特例。事實(shí)上，下面提出的 lltm 并遵循 Scheiblechner (1972) 的原始想法，是一個(gè)受限的 rm，即與 Rasch 模型相比，估計(jì)參數(shù)的數(shù)量更小。數(shù)據(jù)矩陣 X 由 n = 15 個(gè)人和 k = 5 個(gè)項(xiàng)目組成。此外，我們指定具有特定權(quán)重元素 wij 的設(shè)計(jì)矩陣 W。

1. > retm <- LLTM(lt2, W)

2. > summary(resm)

summary方法為基本參數(shù)和結(jié)果項(xiàng)目參數(shù)提供點(diǎn)估計(jì)和標(biāo)準(zhǔn)誤差。請(qǐng)注意，項(xiàng)目參數(shù)始終根據(jù)等式 1 和 2 而不是 3 估計(jì)為容易度參數(shù)。

示例 3：rsm 和 pcm

同樣，我們現(xiàn)在提供一個(gè)人工數(shù)據(jù)集，其中 n = 300 人，k = 4 個(gè)項(xiàng)目；他們每個(gè)人都有 m + 1 = 3 個(gè)類別。我們從 rsm 的估計(jì)開(kāi)始，隨后，我們計(jì)算相應(yīng)的類別交叉參數(shù)。

1. 


2. > thresholds(resm)

位置參數(shù)基本上是項(xiàng)目難度，閾值是圖 4 中給出的 icc 圖中類別曲線相交的點(diǎn)：

> plotICC(res.rsm, mplot = TRUE, legpos = FALSE, ask = FALSE)

rsm 將所有項(xiàng)目的閾值距離限制為相同。使用 pcm 可以放寬這個(gè)強(qiáng)假設(shè)。結(jié)果以人員-項(xiàng)目地圖表示（參見(jiàn)圖 5）。

1. > res.pcm <- PCM(pcmdat2)

2. > plotPImap(res.pcm, sorted = TRUE)

在估計(jì)人員參數(shù)后，我們可以檢查項(xiàng)目擬合統(tǒng)計(jì)信息。

1. itemfit(pcm)

2. 


?比較 rsm 和 pcm 的似然比檢驗(yàn)表明 pcm 提供了更好的擬合。

1. 


2. > pvalue <- 1 - pchisq(lr, df)

3. 


用于在不同組中重復(fù)測(cè)量的 lpcm

最復(fù)雜的示例是指具有兩個(gè)測(cè)量點(diǎn)的 lpcm。此外，對(duì)于治療是否有效的假設(shè)也很有趣。相應(yīng)的對(duì)比是下面 W 中的最后一列。首先，指定數(shù)據(jù)矩陣 X。我們假設(shè)一個(gè)由 k = 3 個(gè)項(xiàng)目組成的人工測(cè)試，該測(cè)試向受試者展示了兩次。X 中的前 3 列對(duì)應(yīng)于第一個(gè)測(cè)試場(chǎng)合，而后 3 列對(duì)應(yīng)于第二個(gè)場(chǎng)合。通常，前 k 列對(duì)應(yīng)于第一個(gè)測(cè)試場(chǎng)合，接下來(lái)的 k 列對(duì)應(yīng)于第二個(gè)測(cè)試場(chǎng)合，依此類推?？偣灿?n = 20 個(gè)科目。其中，前10人屬于第一組（如對(duì)照組），后10人屬于第二組（如實(shí)驗(yàn)組）。這由組向量指定：

> grouplpcm <- rep(1:2, each = 10)

同樣，W 是自動(dòng)生成的。通常，對(duì)于此類設(shè)計(jì)，W 的生成首先包括項(xiàng)目對(duì)比，然后是時(shí)間對(duì)比，最后是除第一個(gè)測(cè)量點(diǎn)之外的組主效應(yīng)（由于可識(shí)別性問(wèn)題，如前所述）。

1. > rm <- LPCM

2. > model.matrix

參數(shù)估計(jì)如下：

> coef

?

檢驗(yàn) η 參數(shù)是否等于 0 與那些涉及項(xiàng)目的參數(shù)（在本例中為 η1，...，η8）幾乎無(wú)關(guān)。但是對(duì)于其余的對(duì)比，H0 : η9 = 0（意味著沒(méi)有一般時(shí)間效應(yīng)）不能被拒絕（p = .44），而假設(shè) H0 : η10 = 0 在應(yīng)用 z 時(shí)必須被拒絕（p = .004） -檢驗(yàn)。這表明在測(cè)量點(diǎn)上存在顯著的實(shí)驗(yàn)效果。如果用戶想要執(zhí)行額外的檢驗(yàn)，例如兩個(gè) η 參數(shù)的等價(jià)性的 Wald 檢驗(yàn)，可以應(yīng)用 vcov 方法來(lái)獲得方差-協(xié)方差矩陣。

討論與展望

cml 估計(jì)方法與 em 算法相結(jié)合，也可用于估計(jì)混合 Rasch 模型 (MIRA)。這種模型背后的基本思想是擴(kuò)展的 Rasch 模型適用于個(gè)體的亞群，但每個(gè)亞群具有不同的參數(shù)值。

在 Rasch 模型中，項(xiàng)目辨別參數(shù) αi 始終固定為 1，因此它不會(huì)出現(xiàn)在基本方程中。2-pl 模型可以通過(guò) ltm 包進(jìn)行估計(jì)（Rizopoulos 2006）。然而，Verhelst 和 Glas (1995) 制定了單參數(shù)邏輯模型 (oplm)，其中 αi 不會(huì)因項(xiàng)目而異，但不等于 1。估計(jì) oplm 的基本策略是一個(gè)三步法：首先，計(jì)算 Rasch 模型的項(xiàng)目參數(shù)。然后，在一定的限制條件下計(jì)算判別參數(shù)。最后，使用這些判別權(quán)重，oplm 的項(xiàng)目參數(shù)是使用 cml 估計(jì)的。這是 Rasch 模型在不同斜率方面更靈活的版本。

對(duì)不同數(shù)量的項(xiàng)目類別的概括、允許引入項(xiàng)目協(xié)變量和/或趨勢(shì)的線性擴(kuò)展以及可選的組對(duì)比是在測(cè)試中檢查項(xiàng)目行為和個(gè)人表現(xiàn)時(shí)的重要問(wèn)題。這提高了 irt 模型在各種應(yīng)用領(lǐng)域的可行性。

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