對于一維時間序列，現(xiàn)實世界中的數(shù)據(jù)或者信號，經(jīng)常表現(xiàn)緩慢變化或者振蕩的趨勢，并伴隨著瞬變。

對于二維圖像，圖像中有很多平滑的區(qū)域，這些平滑的區(qū)域存在銳化，或者對比度突變。

而這些恰恰是我們所關(guān)注的區(qū)域。

但是傅里葉分析無法有效地反映突變，因為這個方法是將時間序列劃分為正弦波的疊加，而正弦波在時域和頻域均沒有定位信息。這個時候小波分析就被提出來了。

小波是一種快速衰減，零均值的振蕩。

小波包含不同的種類，如：

小波分析包含兩個重要概念：

scaling

shifting

scaling代表時間尺度上的拉伸或者壓縮。假設(shè)有一個關(guān)于t的函數(shù)，其數(shù)學(xué)表達式可以轉(zhuǎn)換為：

其中s代表尺度系數(shù)，它是一個正數(shù)，代表信號在時間上的縮放程度。s與頻率呈常系數(shù)的倒數(shù)關(guān)系，例如，假定s為2，則時間序列的頻率變?yōu)?strong>常系數(shù)/2。常系數(shù)稱為小波的“中心頻率”，中心頻率的產(chǎn)生主要是因為小波在頻域內(nèi)具有帶通特性。在數(shù)學(xué)上，小波的頻率等價于：

等式右邊的分子就是中心頻率。

較大的尺度系數(shù)可以拉伸小波，對應(yīng)地等效頻率比較低頻，而較小的尺度系數(shù)則會壓縮小波，顯得高頻。

拉伸的小波可以有效地捕抓時間序列中的慢變成分，而壓縮的小波可以有效地捕抓突變。

shifting即在信號長度上延長或者推遲小波的位置，其數(shù)學(xué)表達式為：

shifting可以使得小波對齊我們要在信號中捕抓的特征的位置。

小波分析的類型主要有兩種:

即：

連續(xù)小波變換和離散小波變換。

這兩類的差別主要在于：scaling或者shifting的方式不同。