????本文由@ASHL1撰寫，由我?guī)兔Υ丁?/p>

????這是我第一次做這一類型的東西，如有錯(cuò)誤或不嚴(yán)謹(jǐn)?shù)牡胤?，還請(qǐng)指正。

前言

????求解一元三次方程是人們比較感興趣的問題，著名的方法有卡丹公式和盛金公式，而盛金公式比卡丹公式更加簡(jiǎn)潔直觀。

????卡丹公式和盛金公式已經(jīng)有很多人推導(dǎo)過(guò)了，b站上就有不少視頻和專欄，感興趣的可以自行搜索。但是盛金公式后面還有個(gè)經(jīng)常被人忽略的東西，就是盛金定理。很多人只推導(dǎo)了盛金公式，但是沒有證明盛金定理（雖然這不影響公式的使用）。這篇專欄主要為了證明盛金定理。

證明

盛金定理1:當(dāng)時(shí),若,則必定有

????證明:

????

????

????

????

????

????

盛金定理2:當(dāng)時(shí),若,則必定有

????證明:

????

????

????

????

????

盛金定理3:當(dāng)時(shí),則必定有

????證明:

????

????

????當(dāng)時(shí),

????

????當(dāng)時(shí),

????

????

盛金定理4:當(dāng)時(shí),若,則必定有

????證明:

????

????

盛金定理5:當(dāng)時(shí),則必定有

????證明:

????設(shè)

????則

????

????當(dāng)時(shí),

????則方程無(wú)實(shí)根

????此時(shí)不存在極值點(diǎn)

????結(jié)合圖像可知,方程的解為一個(gè)實(shí)根,兩個(gè)虛根

????

盛金定理6:當(dāng)時(shí),若,則必定有

????證明:

????

????

????

????

????

盛金定理7:當(dāng),若,盛金公式3一定不存在的值

????證明:

??? 若方程有三重根,則必有

????當(dāng)時(shí),方程不存在三重根

????此時(shí)方程根的情況為三個(gè)實(shí)根,其中有二重根

????設(shè)

????則

????

????此時(shí)函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)

????

????

????不存在的值

盛金定理8:當(dāng),盛金公式4一定不存在的值

????證明:

????設(shè)

??? 則

???

? ?

? ? 方程有三個(gè)不相等的實(shí)根

????結(jié)合圖像可知,此時(shí)函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)

????

????

????不存在的值

盛金定理9:時(shí),盛金公式4一定不存在或的值,即出現(xiàn)的值必定是

????證明:

????在盛金公式4中的推導(dǎo)中有

????

????

后記

????盛金定理表明：盛金公式始終保持有意義。任意實(shí)系數(shù)的一元三次方程都可以運(yùn)用盛金公式求解。

????相比于盛金公式，盛金定理的證明要容易的多，但它在驗(yàn)證盛金公式的正確性上起著重要作用。

參考

????1.