【數(shù)學(xué)基礎(chǔ)46】每天三道題（數(shù)學(xué)分析+解析幾何+線性代數(shù)）
預(yù)備知識(shí)：
數(shù)列l(wèi)im （1+1/n）^n=e，（1+1/n）^n<e.
公式：（axb）^2+（ab）^2=a^2b^2；
雙重向量積：給定空間三向量，先作其中兩個(gè)向量的向量積，再作所得向量與第三個(gè)向量的向量積，那么最后的結(jié)果仍然是一向量，叫做所給三向量的雙重向量積。例如（axb）xc就是三向量a，b，c的一個(gè)雙重向量積；
性質(zhì)：（axb）xc是和a，b共面且垂直于c的向量；
（axb）xc=（ac）b-（bc）a；
拉格朗日恒等式：（axb）（a'xb'）=（aa'）（bb'）-（ab'）（ba'）；
（axb）x（a'xb'）=（a，b，b'）a'-（a，b，a'）b'=（a，a'，b'）b-（b，a'，b'）a.
矩陣乘法運(yùn)算律——
a.結(jié)合律：（AB）C=A（BC）
b.左分配律：A（B+C）=AB+AC
c.右分配律：（B+C）D=BD+CD
d.若A是n級(jí)矩陣，單位矩陣為E，則有：AE=EA=A
e.矩陣乘法與數(shù)量乘法滿足：k（AB）=（kA）B=A（kB）
f.可逆方陣：設(shè)A為n階方陣，若存在n階方陣B，使AB=BA=E，則稱B為A的逆方陣，而稱A為可逆方陣。
矩陣A可逆的充要條件：|A|不為0——|A|為矩陣A對(duì)應(yīng)的行列式。
矩陣對(duì)應(yīng)行列式滿足：|AB|=|A||B|；
設(shè)A與B都是數(shù)域K上的n級(jí)矩陣，如果AB=E，那么A與B都是可逆矩陣，并且A^（-1）=B，B^（-1）=A。
A的伴隨矩陣A*滿足：A*=|A|A^（-1）
E（i，j）為單位矩陣i，j行對(duì)調(diào)——
方陣A可逆，A對(duì)調(diào)i，j行成B矩陣：B=E（i，j）A
方陣A可逆，A對(duì)調(diào)i，j列成B矩陣：B=AE（i，j）
矩陣的轉(zhuǎn)置：把n級(jí)矩陣A的行與列互換得到的矩陣稱為A的轉(zhuǎn)置，記作A'，|A'|=|A|。
定義：設(shè)A為方陣，若A'=A，則稱A為對(duì)稱矩陣，若A'=-A，則稱A為反對(duì)稱矩陣。
定義：如果AB=BA，則稱A與B可交換。
矩陣轉(zhuǎn)置運(yùn)算律——
（A+B）'=A'+B'
（kA）'=kA'
（AB）'=B'A'
參考資料：
《數(shù)學(xué)分析習(xí)題演練》（周民強(qiáng)?編著）
《空間解析幾何》（高紅鑄 王敬蹇 傅若男 編著）
《高等代數(shù)——大學(xué)高等代數(shù)課程創(chuàng)新教材》（丘維聲 著）
數(shù)學(xué)分析——
例題（來(lái)自《數(shù)學(xué)分析習(xí)題演練（周民強(qiáng)?編著）》）——
試求下列數(shù)列{an}的極限lim an：an=n^（p/n^k），（p，k都是自然數(shù)）.
證：
由阿基米德原理，存在自然數(shù)m，使得mk>p；
lim p/n^k=0，且p/n^k>0；
n^k>=n>0，1=n^0<n^（1/n^k）<=n^（1/n），lim?n^（1/n）=1，lim?n^（1/n^k）=1；
由1，2：1=n^0<n^（p/n^k）<n^（mk/n^k）=[n^（1/n^k）]^mk，
lim?[n^（1/n^k）]^mk=1，則lim?an=1.
解析幾何——
例題（來(lái)自《空間解析幾何（高紅鑄 王敬蹇 傅若男 編著）》）——
設(shè)有非零向量a，b，c，如果a，axb，（axb）xc共面， 問(wèn)a，b，c有什么關(guān)系？
解：
a，axb，（axb）xc共面，即（a，axb，（axb）xc）=0；
由1：
（a，axb，（axb）xc）
=（ax（axb））（（axb）xc）
=（（ba）a-（aa）b）（（ac）b-（bc）a）
=（ab）（ab）（ac）-（aa）（bb）（ac）-（ab）（aa）（bc）+（aa）（ab）（bc）
=（ab）（ab）（ac）-（aa）（bb）（ac）
=0；
由2：（ab）（ab）（ac）=（aa）（bb）（ac），
即ac=0或（ab）（ab）=（aa）（bb）；
若ac=0，則a垂直于c；
若（ab）（ab）=（aa）（bb），
則|a|^2|b|^2[cos∠（a，b）]2=|a|^2|b|^2，即[cos∠（a，b）]^2=1，即a//b；
所以a，b，c滿足關(guān)系a垂直于c或a//b。
高等代數(shù)——
例題（來(lái)自《高等代數(shù)——大學(xué)高等代數(shù)課程創(chuàng)新教材（丘維聲 著）》）——
證明：如果n級(jí)可逆矩陣A的每一行元素的和都等于a，那么a不為0，且A^（-1）的每一行元素的和都等于a^（-1）.
證：
用1n表示元素全為1的n維列向量，則A 1n=a 1n；
上式左乘A^（-1）：1n=aA^（-1）?1n；
上式乘以a^（-1）：a^（-1）1n=A^（-1）?1n；
于是a不為0，且A^（-1）的每一行元素的和都等于a^（-1）。
到這里！
