1 爭論

概率論需要回答的第一個問題就是，什么是概率？

剛接觸這門學科的同學可能覺得難以置信，這個問題仍然存在著廣泛的爭論：

而且這個問題更像是一個哲學問題，而不是數(shù)學問題，確實也有不少哲學家參與討論。

對于概率的定義有幾個主流的派別：

• 頻率派

• 古典派

• 主觀派

了解這些派別對于理解概率論很有幫助，下面來簡單介紹一下。

2 頻率派

首先來了解下頻率派，頻率派的理論基礎是對過去事實的歸納總結。

2.1 什么是頻率？

學概率從拋硬幣開始才是正確姿勢。我們知道硬幣是有正反兩面：

硬幣拋出之后：

得到的結果是隨機的，那么得到正面的概率是多少呢？這里的“概率”又指的是什么？

我們扔100次硬幣試試：

可以看到，得到48次正面，52次反面，用正面次數(shù)除以總的次數(shù)：

"P100(正面)"稱為扔100次硬幣時，正面出現(xiàn)的頻率。

2.2 頻率與概率

2.2.1 頻率穩(wěn)定性

同樣的，扔n次硬幣時如果出現(xiàn)了nH次正面，那么：

"P100(正面)"為此時正面出現(xiàn)的頻率。歷史上很多數(shù)學家都做過扔n次硬幣的實驗：

從試驗結果可見，隨著n的增大，頻率越來越趨近于0.5。可見，雖然單次扔硬幣的結果是隨機的，但多次重復后頻率趨于穩(wěn)定，這種穩(wěn)定性也稱為頻率穩(wěn)定性，反應了扔硬幣存在某種必然性。

2.2.2 定義

頻率派認為如果頻率存在穩(wěn)定性，即當 n ->?∞?時下面極限存在，就得到了概率（用Probability的首字母P來表示）：

可以自己嘗試扔一下，點一下按鈕就會模擬扔100次硬幣，看看是不是扔的次數(shù)越多，越趨于0.5（計算機模擬的，內部使用的是偽隨機，難免會有一些偏差）：

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3 頻率派的缺點

通過頻率來定義概率的方法比較符合直覺，但缺陷也很明顯：

• 首先，需要?n?足夠大，但是“足夠大”這個詞很含糊

• 其次，需要在相同條件下反復扔硬幣，但是“相同條件”這個詞也很含糊，也很難保證，比如扔了10000次后，硬幣上沾滿汗水，那又怎么辦？

• 再次，永遠也不可能扔無限次硬幣，所以得到的概率始終是一個近似值

• 最后，有些時候根本不具備反復實驗的條件，比如火山噴發(fā)的概率應該怎么計算？

4 古典派

接下來介紹古典派，古典派的理論基礎是不充分理由原則。

4.1 不充分理由原則

在概率論草創(chuàng)階段，雅各布·伯努利（1654－1705）：

就提出，如果因為無知，使得我們沒有辦法判斷哪一個結果會比另外一個結果更容易出現(xiàn)，那么應該給予它們相同的概率。比如：

• 硬幣：不清楚硬幣哪一面更容易出現(xiàn)，那么應該給予正面、反面相同的概率，即為1/2

• 骰子：不清楚骰子哪一面更容易出現(xiàn)，那么應該給予每一面相同的概率，即為1/6

此稱為不充分理由原則（Insufficient Reason Principle）。

4.2 古典概率

以不充分理由原則為基礎，經由拉普拉斯（皮埃爾-西蒙·拉普拉斯侯爵，1749－1827）：

之后，確立了古典概率的定義，即：未知的概率都為等概率

在這之后，古典概率在整個19世紀也被人們廣泛接受，我們高中學習的概率，基本都是古典概率。

比如，有一家原木加工廠，它會把木頭切成不同的木方，木方的截面都是正方形，邊長會在1~3尺之間隨機浮動：

那么根據(jù)古典概率，正方形邊長在1~2尺之間的概率為多少？

根據(jù)古典概率的不充分理由原則，我們沒有辦法判斷哪一種邊長更容易出現(xiàn)，那么就應該給予它們相同的概率，也就是說1~ 3之間每一種長度都是等可能的。

1~2包含了一半的可能長度：

所以，正方形邊長在1~?2尺之間的概率為1/2。

5 古典派的缺點

古典派的缺陷也是非常明顯的：

（1）古典派的概率定義，“未知的概率都是等概率”，有循環(huán)定義的嫌疑。

（2）不充分理由原則沒辦法處理非等概率的情況，假如被告知硬幣兩面是非等概率的，但是不知道是哪一面，那么應該怎么辦？（拉普拉斯提出還是應該按照等概率來處理）

（3）還容易產生矛盾，比如剛才練習題中提到的原木加工廠，它會把木頭切成不同的木方，木方的截面都是正方形，邊長會在1~3尺之間隨機浮動：

那么根據(jù)不充分理由原則，正方形邊長在1~ 2尺之間的概率為1/2。

剛才的問題還可以轉為面積來解答，1~3尺邊長的正方形面積為1~9平方尺，1~ 2尺邊長的正方形面積為1~4平方尺：

同樣，根據(jù)不充分理由原則，1~9平方尺之間的正方面面積是等可能的，那么正方形面積在1~4平方尺之間的概率為3/8 ：

選擇對“長度”還是對“面積”運用不充分理由原則，同一個問題會得到了不同的概率：

上述問題是伯特利悖論（Bertrand's paradox）簡化版，由伯特蘭在1899年出版的《概率論》中提出：

伯特蘭悖論先說在這里，之后會有專門介紹古典派概率的章節(jié)，到時再來解決這個悖論。

6 主觀派

最后介紹下主觀派，主觀派認為概率是信念強度（degree of belief）。

比如說，我個人相信20年后人類從網(wǎng)絡時代進入人工智能時代的概率為70%：

上面說的概率也就是主觀概率，是個人對這個命題的信念強度，換句話說我覺得還是很有可能實現(xiàn)的。

雖說是主觀概率，其實也有客觀的部分，比如剛才對人工智能的判斷，就是基于AI的基礎設置發(fā)展、計算速度的提高等事實。

主觀概率更貼近人的思考方式，比如我們在作科學研究時，會先給出一個猜想，這就是給出了一個主觀概率。

所以在人工智能時代，因為要模仿人的行為，主觀概率越來越受到重視：

當然主觀派缺陷也很明顯，這也是被大家接受困難的原因：

• 說到科學，大家都認為應該是客觀的，但是偏偏主觀概率不客觀，充滿了個人偏見

• 因為主觀，大家很難對某個主觀概率達成共識

7 小結

三個流派大概有以下的區(qū)別：

這三個流派并非涇渭分明、互不相容，反而在發(fā)展中犬牙交錯。比如要判斷火山的噴發(fā)概率，就需要總結過往數(shù)據(jù)（頻率派），再加入主觀知識（主觀派）。

為什么概率的定義不明確？可能因為概率本身研究的就是“不明確”。

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