數(shù)量關(guān)系學(xué)習(xí)筆記

一.數(shù)字推理（很少考，選學(xué)）

二.數(shù)字運(yùn)算

• 解題技巧
• 典型題型（高頻考點(diǎn)）70%
• 提高篇（非高頻考點(diǎn)）30%

第一節(jié)——代入排除法+數(shù)字特性

1.代入排除法

（1）固定題型

• 年齡問(wèn)題
• 余數(shù)問(wèn)題
• 多位數(shù)
• 不定方程

（2）不會(huì)做的

2.數(shù)字特性

（1）奇偶特性

奇：2N-1；偶：2N （和差同性）

奇±奇=偶；偶±偶=偶；奇±偶=奇

奇×奇=奇；偶×偶=偶；奇×偶=偶

適用題型：

• 知差求和，知和求差
• 2倍類、平均分
• 不定方程

（2）整除特性

• 一個(gè)數(shù)能被2（5）整除，末一位能被2（5）整除
• 一個(gè)數(shù)能被4（25）整除，末兩位能被4（25）整除
• 一個(gè)數(shù)能被8（125）整除，末三位能被8（125）整除
• 一個(gè)數(shù)能被3（9）整除，其各位數(shù)字之和能被3（9）整除

用途：判定余數(shù)

第二節(jié)——比例倍數(shù)特性

倍數(shù)特性

• 普通倍數(shù)
• 因子倍數(shù)
• 比例倍數(shù)

適用題型：倍數(shù)、百分?jǐn)?shù)、分?jǐn)?shù)、比例、分組

第三節(jié)——方程法

普通方程：

• 適用題型
• 和差倍比
• 雞兔同籠
• 盈虧問(wèn)題
• 經(jīng)濟(jì)利潤(rùn)
• 行程問(wèn)題

三條原則：

①優(yōu)先設(shè)所求量

②設(shè)小不設(shè)大

③設(shè)中間變量

??a/b=c/d=a-c/b-d=a+c/b+d

第四節(jié)——不定方程（組）

限制性不定方程

解法：①奇偶特性、②因子倍數(shù)、③尾數(shù)法 （5,10,15,20......）

第五節(jié)——工程問(wèn)題

工程總量=效率×?xí)r間（w=e×t）

（1）給定時(shí)間型：

• 賦值（總量為時(shí)間公倍數(shù)）
• 求效率
• 分析求解

（2）效率制約型

題型：

• 甲：乙=2：3
• 提高20% 1:1.2=5:6
• 42臺(tái)收割機(jī)...
• 某一部分工程，甲5天，乙3天（甲：乙=3:5）

解法：

• 列表（w=e×t）
• 賦值（效率的比值）
• 分析求解

第六節(jié)——行程問(wèn)題

基礎(chǔ)公式：路程=速度×?xí)r間（s=vt）

相對(duì)速度型：流水行舟；相遇追及

1.等距離平均速度：v平均=2 v1v2/(v1+v2)

應(yīng)用在：①上下坡、②往返、③前后半程

2.流水行船：

• V順=V船+V水
• V逆=V船-V水

3..相遇追及：

• 相遇：t=s相/(v1+v2)；s相=(v1+v2)t
• 追及：t追=s追/(v大-v小)；s追=(v大-v小)t

①環(huán)形跑道：反向相遇（相遇即一圈），同向追及

②兩端相遇：第N次相遇，共走(2N-1)S

第七節(jié)——排列組合

分類：加法

分步：乘法

排列：A有序，每個(gè)不一樣

組合：C無(wú)序，每個(gè)均一樣

捆綁法-相鄰問(wèn)題

插空法-不相鄰問(wèn)題（注意有無(wú)順序）

插板法：插空，相同、每人至少一個(gè)

錯(cuò)位排列：Dn，D2=1，D3=2，D4=9，D5=44

[質(zhì)數(shù)：2、3、5、7、11、13、17、19]

第八節(jié)——概率問(wèn)題

概率P=滿足條件的情況數(shù)/總的情況數(shù)

• 分步乘法型：分步概率=滿足條件的每個(gè)步驟概率之積
• 分類加法型：分類概率=滿足條件的每個(gè)步驟概率之和
• 逆向計(jì)算型：某事件的概率=1-該事件不發(fā)生的概率

第九節(jié)——經(jīng)濟(jì)利潤(rùn)問(wèn)題

基本經(jīng)濟(jì)利潤(rùn)：

• 列表法
• 方程法
• 賦值法（優(yōu)先賦值成本）

【成本、定價(jià)、售價(jià)、利潤(rùn)】利率=利潤(rùn)/成本；總利潤(rùn)=利潤(rùn)x銷售量；毛利率=利潤(rùn)/營(yíng)收（資料分析）

分段計(jì)費(fèi)：畫圖法、分段計(jì)算

A+B=C，A×B最大值為1/2C的平方

第十節(jié)——最值問(wèn)題

1.最不利構(gòu)造：

最不利值+1，至少n，最不利為n-1

2.數(shù)列構(gòu)造：

• 題型特征：最多（少）...... 最少（多）......；排名第......最多（少）......
• 解題策略：排序-定位-構(gòu)造-求和 （反向，最多選最少，最少選最多）

3.多集和反向構(gòu)造：

• 題型特征：多集合題目中，問(wèn)題中出現(xiàn)：至少......都......的情況下
• 解題策略：逆向思考，反向-求和-做差
  ?

  第十一節(jié)——最值問(wèn)題和容斥原理 P11 - 33:40

  ?

第十一節(jié)——容斥原理

1.兩集合容斥：公式法、畫圖法。

A+B-A∩B=總數(shù)-都不

2.三集合容斥：

①標(biāo)準(zhǔn)：A+B+C-A∩B-B∩C-A∩C+A∩B∩C=總-都不；

②非標(biāo)準(zhǔn)：A+B+C-只滿足兩條件-2×滿足三條件=總數(shù)-都不【滿足兩條件】

畫圖法：規(guī)范！每個(gè)封閉區(qū)域只標(biāo)一個(gè)數(shù)字、代表其面積【只滿足某一個(gè)條件、公式不適合的、難的】

第十二節(jié)——幾何問(wèn)題

1.周長(zhǎng)

• C正方形=4a
• C長(zhǎng)方形=2（a+b）
• C圓=2πR=πd
• C扇形=弧長(zhǎng)+2R=n/360×2πR+2R

2.面積

• S正方形=a2
• S長(zhǎng)方形=ab
• S三角形=1/2ah
• S梯形=1/2（a+b）h
• S圓=πR2
• S扇形=n/360×πR2
• S正方體表面積=6a2
• S長(zhǎng)方體表面積=2（ab+bc+ac）
• S球表面積=4πR2

3.體積

• 正方體體積=a3
• 長(zhǎng)方形體積=abc
• 球體積=4/3πR3
• 圓柱體積=Sh=πR2h
• 棱柱體積=Sh
• 圓錐體積=1/3Sh
• 棱錐體積=1/3Sh

4.勾股定理

• 3、4、5
• 5、12、13
• 6、8、10
• 7、24、25
• 8、15、17
• 9、12、15

5.角度及三角形

• 直角三角形中的30°：2、1、根號(hào)三；100、50、50根號(hào)三
• 直角三角形中的45°：1、1、根號(hào)二；1， 根號(hào)二/2；10，5根號(hào)二；
• 等邊三角形中的60°：a，S=根號(hào)三/4×a2
• 等腰三角形、正六邊形、正八邊形

相似三角形：邊長(zhǎng)成比例，面積比為邊長(zhǎng)比2

6.等比縮放

一個(gè)幾何圖形，若邊長(zhǎng)變?yōu)樵瓉?lái)的n倍，則：

• 所有對(duì)應(yīng)角度不發(fā)生變化
• 所有對(duì)應(yīng)的面積變?yōu)樵瓉?lái)n2倍
• 所有對(duì)應(yīng)的體積變?yōu)樵瓉?lái)n3倍

【1m/s=3.6km/h】

第十三節(jié)——年齡問(wèn)題

方法：

①代入排除法

②方程法（設(shè)小不設(shè)大）

核心：每年每人長(zhǎng)一歲，兩個(gè)人的年齡差不變

第十四節(jié)——溶液?jiǎn)栴}

濃度=鹽/鹽水總=酒/酒水總數(shù)=糖/糖水總量

第十五節(jié)——牛吃草

有一定存量，既勻速增加，又在損耗。

原有草量=（牛吃草速度-草的生長(zhǎng)速度）×天數(shù)

第十六節(jié)——循環(huán)周期問(wèn)題

核心點(diǎn)：若一串事物以T為周期，且A÷T=N余a，那么第A項(xiàng)等同于第a項(xiàng)。

如果可以整除，那么第A項(xiàng)就相當(dāng)于周期當(dāng)中的最后一項(xiàng)，即第T項(xiàng)。

第十七節(jié)——星期日期問(wèn)題

平年與閏年：

口訣：四年一閏，百年不閏，四百年再閏。

大月與小月：

大月31天（1、3、5、7、8、10、12月）

小月30天（2、4、9、11月）

2月：閏年29天，平年28天（每過(guò)一平年365星期+1，每過(guò)一閏年366星期+2）

星期日期推斷：

連續(xù)7天是完整的一個(gè)星期；連續(xù)14天是完整的兩個(gè)星期；連續(xù)28天是完整的四個(gè)星期。

第十八節(jié)——比賽問(wèn)題

淘汰賽：每場(chǎng)比賽淘汰一隊(duì)，每輪比賽淘汰一半的隊(duì)伍

循環(huán)賽：

單循環(huán)賽，每支隊(duì)伍都要和其他隊(duì)伍進(jìn)行一次比賽，N支隊(duì)伍的總場(chǎng)次是 C2N=N（N-1）/2

雙循環(huán)賽，每支隊(duì)伍都要和其他隊(duì)伍進(jìn)行兩場(chǎng)比賽（分主場(chǎng)和客場(chǎng)），N支隊(duì)伍的總場(chǎng)次是A2N=N（N-1）

第十九節(jié)——統(tǒng)籌優(yōu)化問(wèn)題

統(tǒng)籌安排：枚舉法、邏輯推斷

第二十節(jié)——鐘表問(wèn)題

追及問(wèn)題

• 分針?biāo)俣葹?60°/60min=6°/min，
• 時(shí)針?biāo)俣葹?0°/60min=0.5°/min

一天分針走過(guò)24圈、時(shí)針走過(guò)2圈，時(shí)針追上分針22次，時(shí)針和分針重合22次、垂直44次（每次重合前后都會(huì)呈現(xiàn)兩次垂直）

夾角-（6-0.5）×?xí)r間，追上為后者減夾角

第二十一節(jié)——植樹(shù)問(wèn)題

單邊線性植樹(shù)：棵樹(shù)=總長(zhǎng)÷間隔+1，總數(shù)=（棵樹(shù)-1）×間隔；

單邊環(huán)形植樹(shù)：棵樹(shù)=總長(zhǎng)÷間隔，總長(zhǎng)=棵樹(shù)×間隔。注意單邊、雙邊

剪繩問(wèn)題：在繩子中間剪N刀得到N+1段

第二十二節(jié)——函數(shù)問(wèn)題

y=kx+b；y=ax2+bx+c，x=-b/2a（a>0拋物線開(kāi)口向上；a<0拋物線開(kāi)口向下）

第二十三節(jié)——數(shù)列問(wèn)題

平均數(shù)：a1+…+an/n

等差數(shù)列

• 通項(xiàng)公式：an=a1+(n-1)d
• 求和公式：和=1/2×（首項(xiàng)+末項(xiàng)）×項(xiàng)數(shù)=平均數(shù)×項(xiàng)數(shù)=中位數(shù)（奇數(shù)項(xiàng)）×項(xiàng)數(shù)

第二十四節(jié)——天平問(wèn)題

選最小答案，N次稱量可從3N個(gè)物品中，選出具有差異的瑕疵品。

第二十五節(jié)——空瓶換酒

M瓶空瓶換1瓶酒，即（M-1）個(gè)空瓶換1個(gè)（無(wú)瓶）酒。默認(rèn)“借瓶再還瓶”

第二十六節(jié)——方陣問(wèn)題

若正方形方陣一邊人數(shù)為N，長(zhǎng)方形方陣兩邊人數(shù)分別為M、N，則：

• 正方形實(shí)心方陣的總?cè)藬?shù)為N2，長(zhǎng)方形實(shí)心方陣的總?cè)藬?shù)為MN
• 正方形方陣最外層人數(shù)為4N-4，長(zhǎng)方形方陣最外層人數(shù)為2(M+N)-4
• 方陣相鄰兩層人數(shù)相差8人

第二十七節(jié)——拿牌問(wèn)題

第一次拿完牌后，恰好湊成最大最小數(shù)之和的倍數(shù)