#練習(xí)生打卡

一、上節(jié)收尾

1.密著拓?fù)湎瘛坝钪嬷肌?，離散拓?fù)湎瘛坝钪娼K點(diǎn)”“熱寂”，所以沒有什么額外的信息。

2.子空間拓?fù)?。非常重要的拓?fù)洌灾劣诳梢援?dāng)做IR?上的拓?fù)涞摹盎?。（非?yán)格定義）

二、本節(jié)課主要內(nèi)容

把鄰域、內(nèi)部、閉包等定義和性質(zhì)平移到拓?fù)淇臻g中。

1.在度量空間中，是度量→鄰域→內(nèi)部→開集；

一般的拓?fù)淇臻g中，是開集→鄰域→內(nèi)部。

2.只要在新的定義下證明：①開集?E=E°，②閉集?E=ē，就能夠把性質(zhì)平移過來。

①（?。┳C明必要性。只需證明E?E°。即證明?x∈E，x是內(nèi)點(diǎn)。這是顯然的，因?yàn)镋既包含x，還?E，且E（作為開集）是x的鄰域。（ⅱ）證明充分性：取E°里任意點(diǎn)的任意?E的鄰域的任意并定義為U，WTS E°=U，E°?U顯然，只需證明U?E，這從U的定義就能得到。

②（?。┳C明必要性。只需證明ē?E。任取x∈ē，根據(jù)閉包定義?U(x)∩E≠?，這說明?U(x)不包含于E?，說明x不是E?的內(nèi)點(diǎn)，而E?是個(gè)開集，因此x?E?，于是x∈E。從而證明了ē?E。

（ⅱ）證明充分性。要證明E是閉集，只需證明E?是開集。?x∈E?，跟證明必要性的過程相反，可以證明x是E?的內(nèi)點(diǎn)，從而E?是開集。

三、下節(jié)開頭

拓?fù)淇臻g中點(diǎn)列的收斂。不依賴度量，但沒有意義。例2.58展示了極限不唯一。