我們初中時學過二次函數(shù)f(x)=ax^2+bx+c(a>0),研究過二次函數(shù)的圖象和性質(zhì),當二次函數(shù)的值等于0即ax^2+bx+c=0時,求對應的自變量x的值的問題本質(zhì)上就是解二次方程ax^2+bx+c=0的問題,那么當我們考慮二次函數(shù)的值大于0或者小于0的時候,問題就成了我們今天所要討論的一元二次不等式問題.

???我們知道,二次方程ax^2+bx+c=0(a>0)解的情況有三類:如果判別式Δ>0,方程有兩個不相等的實根;如果判別式Δ=0,方程有兩個相等的實根;如果判別式Δ<0,方程無實根.結(jié)合二次函數(shù)的圖象--拋物線(我們只研究開口向上的拋物線即a>0時的情形),我們知道,所謂二次方程的解其實就是拋物線與x軸的交點的橫坐標,相應于前面的方程根的情況,對應的拋物線與x軸的交點分別有兩個,一個,零個.而我們這里的一元二次不等式問題,就是要解決當二次函數(shù)值大于0(或小于0)時相應的自變量x的范圍問題,其實質(zhì)當然與二次函數(shù)的圖象與x軸的交點情況有密不可分的關系.拋物線與x軸的交點把函數(shù)圖象分為大于0的部分(在x軸的上方)和小于0的部分(在x軸的下方),解一元二次不等式ax^2+bx+c>0(a>0),就是求二次函數(shù)圖象在x軸的上方時函數(shù)自變量x的范圍,很顯然當二次函數(shù)圖象與x軸有兩個交點也就是說二次方程ax^2+bx+c=0有兩個不相等的實根x1和x2時,不等式對應的圖象就是在x軸上兩個交點之外的部分,即此一元二次不等式的解集為｛x|x<x1或x>x2}(這里我們不妨設x1<x2),同理,解一元二次不等式ax^2+bx+c<0(a>0),就是求二次函數(shù)圖象在x軸的下方時函數(shù)自變量x的范圍,在兩根之間的部分,因此其解集為{x|x1<x<x2}.

???于是,我們就可以來總結(jié)一下解一元二次不等式ax^2+bx+c<0(a>0)和ax^2+bx+c<0(a>0)的一般步驟:(1)如果二次項系數(shù)為負,先利用不等式的性質(zhì)將其轉(zhuǎn)化為正,即變成上面研究的形式;(2)利用判別式來確定對應二次方程根的情況,并求出其根;(3)根據(jù)對應二次函數(shù)圖象寫出不等式的解集.

???如果一元二次不等式ax^2+bx+c>0(a>0)的左邊可以轉(zhuǎn)化為兩個一次因式的乘積,即不等式可以寫成(x-a)(x-b)>0的形式,那么解這個不等式就可以考慮將其轉(zhuǎn)化為解兩個一次不等式組的問題,這里利用了實數(shù)的性質(zhì).兩個一次因式乘積大于0,即兩個因式同號,同時為正,或同時為負.再借助于數(shù)軸來思考,左邊的式子當x=a或x=b時等于0,可見,a和b相當于解含有兩個絕對值的不等式中的零點,不妨設a<b,于是當x<a時,x-a與x-b同時為負,滿足兩個因式乘積大于0的要求;當a<x<b時,x-a>0,x-b<0,兩者乘積小于0,不合要求;當x>b時,x-a與x-b同時為正,滿足乘積大于0的要求,因此,這個不等式的解集就是{x|x<a或x>b}.當然,今后我們并不需要在解題過程中這么繁瑣的書寫,甚至在熟練之后我們可以直接寫出解集.只是在開始的時候,我們不能急于求成,必須走好前面的這幾步,否則會留下后患.

接下來,我們還可以用同樣的思考方法來分析分式不等式(x-a)/(x-b)>0,很快我們會發(fā)現(xiàn),這個不等式的解集與上面的不等式(x-a)(x-b)>0的解集相同,這樣的兩個不等式我們稱之為同解不等式,既然是同解不等式,今后我們就完全可以將分式不等式轉(zhuǎn)化為與之同解的不等式來解決,當然,轉(zhuǎn)化必須是等價的,例如,分式不等式(x-1)/(x-2)≥0,轉(zhuǎn)化為不等式(x-1)(x-2)≥0是不正確的,因為前者x-2≠0,而后者x-2=0,因而轉(zhuǎn)化為(x-1)(x-2)≥0且x-2≠0才是等價的.這樣的細節(jié)往往會導致解題的失誤.

?????如果遇到不等式(x-1)(x-2)(x-3)>0,我們該怎樣解決?同學們肯定會想到課本上處理形如(x-a)(x-b)>0的不等式的辦法,根據(jù)實數(shù)的符號法則轉(zhuǎn)化為一次不等式組來求解,想想看,兩個一次因式的乘積轉(zhuǎn)化為兩個一次不等式組,那么三個一次因式的乘積又會轉(zhuǎn)化為幾個一次不等式組呢?從理論上講,三個因式乘積大于0,可能情形有:三個均為正;兩個為負一個為正,后者得考慮究竟哪一個為正,這就有三種情形,這樣總共就有四種情形,解答起來會很繁瑣.我們繼續(xù)應用前面類似于零點分段討論的辦法來思考,三個一次因式共有三個"零點",將數(shù)軸分為四段,在每一段上三個因式的乘積的符號是確定的,從最右邊開始,符號依次是+,-,+,-.如果畫出示意圖的話,應該是從最右邊開始,一,三段圖象在上方,二,四段圖象在下方,這樣,要(x-1)(x-2)(x-3)>0成立,只要選擇圖象在上方時對應的x的取值范圍即為所求的解集{x|1<x<2或x>3}.這種方法我們稱為"序軸標根法",也叫"根軸法".是根據(jù)二次不等式的解決思路推廣而來的.這里還要注意一點,如果不等式的左邊有偶次重因式的話,畫圖時要遵循的原則是"偶次重根,穿而不過",如(x-1)^2(x-2)(x-3)>0,從右向左在數(shù)軸上畫示意圖時,+,3,-,2,+,1,+,即在1這里要折回去,因為1是偶次重根.于是這個不等式的解集就是{x|x<1或1<x<2或x>3}.其實這一點類似于(x-1)^2>0的解集.

???如果遇到的不等式為[(x-1)(x-2)]/(x-3)>0形式,我們可以跟上面不等式(x-a)(x-b)>0一樣,將其轉(zhuǎn)化為(x-1)(x-2)(x-3)>0來解決,不過也要注意要是后面是大于等于時,得考慮x-3≠0,否則就不能保證等價轉(zhuǎn)化.

??但是這里要特別注意:上面的每個式子中的一次因式中x的系數(shù)都是1,如果式子沒有變形到這樣的程度,是不能隨便套用這種方法的.例如有這樣一道題:1/x≤1,粗心的同學會直接把x乘到右邊去,這當然是不等價的變形.為什么?因為沒有考慮x的符號,所以可以根據(jù)x>0和x<0分類討論,轉(zhuǎn)化為兩個不等式組來解決;我們也可以避免討論,就是移項通分整理,但這樣做之后還是有出錯的可能,式子變成了(1-x)/x≤0,有人一看很高興,這解集不就是{x|0≤x≤1}嗎?但出錯了!因為分子上的因式中x的系數(shù)是-1,沒有達到我們要求的形式,需要變形為(x-1)/x≥0,解集就成了{x|x≤0或x≥1}.在1996年的全國高考數(shù)學(文科)題中曾經(jīng)出現(xiàn)過這樣一道題,當時的得分率并不是很高,因為這道題無論用上面的那種思路,都沒有看上去那么簡單,而是"處處暗藏殺機",需要考生有良好的心理素質(zhì).

??我們平時在課堂上強調(diào)各種式子的一般形式,標準形式,其實就是要大家準確掌握,靈活運用,絕對不能粗心大意,似是而非.

(2006-09-26 14:25:33)