問題引入

直接看題，如圖1，△ABC內(nèi)接于圓O，I為△ABC的內(nèi)心，且AI⊥OI，求證AB+AC=2BC

條件中出現(xiàn)了內(nèi)心，也出現(xiàn)了外心，對于初中生來說，似乎無從下手。

再分析求證，是典型的截長補(bǔ)短型求證，但是發(fā)現(xiàn)按照截長補(bǔ)短的思路無法正確使用內(nèi)心和外心的性質(zhì)。解題一度陷入了僵局......

下面我先來講幾個非常實用的結(jié)論幫助大家分析問題。

結(jié)論1：圓中的雞爪模型

如圖2，I為△ABC的內(nèi)心，延長AI交△ABC的外接圓于點(diǎn)D，則DB=DI=DC

這是一個非常實用的結(jié)論，簡單得可以將這個結(jié)論概括為三角形任一頂點(diǎn)與其內(nèi)心交其外接圓的交點(diǎn)，到內(nèi)心和到另外兩點(diǎn)的距離相等

它的模型也是相當(dāng)好記的，看下圖紅色的線，是不是像一個雞爪？

什么？不像嗎？額......確實不是很像，但要知道，這個結(jié)論還沒完，這三條線段還等于D到BC一側(cè)的旁切圓的圓心，這個了解一下就好

下面給出證明

結(jié)論2：角平分線定理

這無疑是初中階段最好用的公式之一，其結(jié)論為

這個定理相比大家都會用相似證明了，這里我介紹一個更加簡單的方法--面積法

在介紹面積法之前，我們先介紹一個超超超超超超超超超超超超超超超超超超有用的公式--三角形的面積公式

當(dāng)然，我要說的不是S=1/2ah，而是下面這個

這個我就不再證明了，想必聰明的你一定能夠理解這個公式

下面進(jìn)行證明

化成最后那種形式便于記憶

結(jié)論3：等比性質(zhì)

等比性質(zhì)在這里就不作贅述，詳情可看https://www.zhihu.com/zvideo/1408868856446631936，或去百度一下

回歸正題

好的，這些結(jié)論你都學(xué)會了，那么再看這題，你有什么想法嗎？

△ABC內(nèi)接于圓O，I為△ABC的內(nèi)心，且AI⊥OI，求證AB+AC=2BC

思考留白（不會再繼續(xù)看）

什么？還是沒有？那么請看下圖

看到這些輔助線，是不是有點(diǎn)感覺了，下面給出證明

寫在最后

本篇文章中講的結(jié)論還是挺多的，希望各位能夠自行積累