（新版編輯器依托答辯，用起來(lái)真不順手） 余弦定理，歐氏平面幾何學(xué)基本定理。余弦定理是描述三角形中三邊長(zhǎng)度與一個(gè)角的余弦值關(guān)系的數(shù)學(xué)定理，是勾股定理在一般三角形情形下的推廣，勾股定理是余弦定理的特例。余弦定理是揭示三角形邊角關(guān)系的重要定理，直接運(yùn)用它可解決一類(lèi)已知三角形兩邊及夾角求第三邊或者是已知三個(gè)邊求三角的問(wèn)題，若對(duì)余弦定理加以變形并適當(dāng)移于其它知識(shí)，則使用起來(lái)更為方便、靈活。 摘自百度百科 https://baike.baidu.com/item/%E4%BD%99%E5%BC%A6%E5%AE%9A%E7%90%86/957460?fr=ge_ala 對(duì)于任意三角形，任何一邊的平方等于其他兩邊平方的和減去這兩邊與它們夾角的余弦的積的兩倍

如圖，對(duì)于任意三角形，都有 AB2+ BC2 - 2·cosα·AB·BC = AC2 兩千五百年前的古希臘還沒(méi)有三角函數(shù)，不過(guò)已經(jīng)有了類(lèi)似的形式 歐幾里得將他的證明方法記錄在了《幾何原本》的命題II.12 先來(lái)看看原文

（《幾何原本》通篇沒(méi)有一個(gè)現(xiàn)代數(shù)學(xué)語(yǔ)言，我拍的這么糊你們估計(jì)也不會(huì)細(xì)看，所以本文用現(xiàn)代數(shù)學(xué)語(yǔ)言來(lái)證明） 幾何原本嘛，當(dāng)然全是幾何咯（其實(shí)也有數(shù)論部分）所以“平方”這個(gè)說(shuō)法在幾何原本中是“一邊上的正方形” 這個(gè)證明又用到了兩個(gè)命題:命題II.4和命題I.47 命題I.47是我們熟知的勾股定理，至于命題II.4，如下文： 命題II.4如果任意兩分一個(gè)線(xiàn)段，則在整個(gè)線(xiàn)段上的正方形等于各個(gè)小線(xiàn)段上的正方形的和加上由兩小線(xiàn)段構(gòu)成的矩形的二倍

如圖，線(xiàn)段AB被C兩分 正方形ABCD的面積 等于 (正方形HIDF的面積 和 正方形CIJB的面積 和矩形IJFE的面積的兩倍) 的和 其實(shí)就是初中學(xué)的完全平方公式的幾何證法 可能扯的有點(diǎn)遠(yuǎn)了，接下來(lái)就是標(biāo)題所說(shuō)的，歐幾里得是怎么證明余弦定理的

如圖，BC2 = AB2 + AC2 + 2(AD + BC) 證明： 設(shè)△ABC為鈍角三角形∠ABC為鈍角 延長(zhǎng)CB，過(guò)A作CB延長(zhǎng)線(xiàn)的垂線(xiàn)交于D 那么就有AD2 + DC2 = AC2 （命題I.47） 注意到DC被B兩分，因此 DC2 = DB2 + BC2 + 2 · DB · BC（命題II.4） 整理得 AD2 + DB2 + BC2 + 2 · DB · BC = AC 由于△ADB 是直角三角形，于是又有 AB2 + BC2 + 2 · DB · BC = AC2 證畢 幾何原本沒(méi)有什么三角函數(shù)，不過(guò)只要再把余弦代進(jìn)已經(jīng)證明的式子就行了，如下： 設(shè)∠ABD = θ ∠ABC為α 那么，DB = cosθ · AB 由余弦的性質(zhì) cosα = -cosθ 再把DB的余弦表達(dá)式代進(jìn)原式就行了 如果是鈍角所對(duì)的邊，就要加上兩個(gè)矩形，若為銳角，就要減去兩個(gè)矩形，對(duì)應(yīng)余弦的性質(zhì) 本文完