1、導(dǎo)入數(shù)據(jù)，輸出類型選為數(shù)值矩陣，命名為A

2010、2020年的人口數(shù)據(jù)用以驗證。

t=A(:,1);%年份是A的第一列

x=A(:,2);%人口數(shù)是A的第二列

t0=t(1);%初始時間是向量t的第一個元素

x0=x(1);%同上

然后，用曲線擬合工具箱，

線性擬合太飛了，換一個，比如e指數(shù)擬合：

話說a=66.77，b=0.9236，那帶入t=10^3的玩意那不指數(shù)爆炸了？真是令人疑惑，然后

原來是勾選了“center and scale”，

問題不大，就當(dāng)是正路上的一灘積水坑了，繼續(xù)前進(jìn)

嗯發(fā)現(xiàn)貌似擬合得還可以，評價擬合得好壞具體指標(biāo)見左側(cè)Results框里的指標(biāo)：

最大頭的是RMSE，0.9859說明擬合得還可以，驗證一下2010、2020

而事實上是美國人口2010為3.087（歷史性突破3億）、2020為3.32億。說明這個模型不太準(zhǔn)，小改一下：使用雙平方后，貌似曲線又起飛了……

結(jié)果大同小異，也是奔4億去了

可見美國人口實際上是在指數(shù)減速的，不是J型曲線增長而是S型曲線增長，發(fā)達(dá)國家一般都是S到飽和，即很可能是人口負(fù)增長，而美國是個例外，它的人口容量遠(yuǎn)未到達(dá)上限，指數(shù)減速才剛開始不久，未來還會強(qiáng)力增長很長一段時間。

在曲線擬合工具箱中，雖然一次函數(shù)擬合得飛了，二次函數(shù)、三次函數(shù)的擬合雖然擬合得非常準(zhǔn)確，但我覺得不能為了擬合而擬合，那會偏向于傅里葉展開，將淹沒人口增長模型。

3、正式建模

我們慮logistic模型即阻滯增長模型，設(shè)x(t)為t年增長人口，人口年增長率r(x)為x的線性函數(shù)，r(x）=r-sx,生存環(huán)境條件所能容納的最大人口數(shù)為xm，當(dāng)x=xm時，人口增長率為0.

很明顯這是非線性的，于是我們用這個函數(shù)：

lsqcurvefit要求先定義一個fun，根據(jù)書中的原文適當(dāng)添加我的理解：

t=A(:,1);%年份是A的第一列

x=A(:,2);%人口數(shù)是A的第二列

t0=t(1);%初始時間是向量t的第一個元素

x0=x(1);%同上

%初始

%非線性曲線擬合是已知輸入向量xdata、輸出向量ydata和函數(shù)關(guān)系ydata=F(x,xdata)，但不清楚系數(shù)向量x

%可以使用函數(shù)curvefit解決

fun=@(cs,td)cs(1)./(1+(cs(1)/x0-1)*exp(-cs(2)*(td-t0)));%cs(1)=xm,cs(2)=r,td應(yīng)該就是t，換了個名

%fun返回的是個xhat

cs=lsqcurvefit(fun,rand(2,1),t(2:end),x(2:end),zeros(2,1))%rand(2,1)為初始解向量,zeros(2,1)為下界

%lsqcurvefit的返回值是xdata的系數(shù)，

%初始解向量的意思是cs(1)=xm、cs(2)=r，都是0-1之間的隨機(jī)數(shù)，這是個合理的假設(shè)

T=[t;2010;2020];%把后兩年接上

xhat=fun(cs,[t;2010;2020])；%預(yù)測人口2010、2020年美國人口

xhat’%橫著打印方便截圖，不然豎著是個大長長

plot(T,xhat),xlabel('年份'),ylabel('人口數(shù)量'),title('美國人口增長曲線阻滯模型')

figure(2);

plot(T,xhat,t,x),xlabel('年份'),ylabel('人口數(shù)量'),legend('擬合','實際'),title('美國人口增長曲線')

運(yùn)行腳本后，

可以看出，大致是個s型曲線，但預(yù)測的仍和現(xiàn)實有出入：

尤其是邁入新世紀(jì)時，擬合過于保守，擬合在2000年時才為2.68億，而實際上美國人口在1990-2000的增長比1980-1990時強(qiáng)勢加速，人口達(dá)到了2.81億；美國人口2010為3.087、2020為3.32億，擬合差不多落后了10多年，擬合在2020時美國人口仍未突破三億。

司守奎《數(shù)學(xué)建模算法與應(yīng)用》中還介紹了線性最小二乘法的向前差分、向后差分，但我認(rèn)為不如非線性最小二乘法估計好，也就是說，xm、r的在樣本數(shù)據(jù)中的參數(shù)估計差不多到頭了，我們得考慮現(xiàn)實因素引入對模型進(jìn)行一些修正。