牛頓314、證明“f（x）為無窮大，那么1/f（x）為無窮小”

2021年1月5日，網(wǎng)友“稻草人”發(fā)表名為《極限——極限運(yùn)算法則證明》的圖片文章。

…極、限、極限：見《歐幾里得218~303》…

（…《歐幾里得》：小說名…）

…運(yùn)、算、運(yùn)算：見《歐幾里得121》…

…法、則、法則：見《歐幾里得108》…

…證、明、證明：見《歐幾里得6》…

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圖片內(nèi)容：…

…內(nèi)、容、內(nèi)容：見《歐幾里得66》…

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無窮大

…無、窮、無窮：見《牛頓136》…

…大、無窮大：見《牛頓310~314》…

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定理：在自變量的同一變化過程中，如果f（x）為無窮大，那么1/f（x）為無窮小；

…定、理、定理：見《歐幾里得2》…

…量：見《歐幾里得27》…

…變、化、變化：見《伽利略10》…

（…《伽利略》：小說名…）

…過、程、過程：見《歐幾里得194》…

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反之，如果f（x）為無窮小，且f（x）≠0，那么1/f（x）為無窮大。

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證明：設(shè)（x→x0）lim f（x）=∞，根據(jù)無窮大的定義，?（任意）ε＞0，對于M=1/ε，?（存在）δ＞0，當(dāng)0<|x-x0|<δ時，有|f（x）|>M=1/ε，于是|1/f（x）|<ε

…定、義、定義：見《歐幾里得28》…

…?、?：見《牛頓309》…

…ε（伊普西龍）：希臘字母第五個字母，大寫Ε，小寫ε，拉丁字母的E是從ε變來…

…δ（希臘字母）：Delta（大寫 Δ，小寫 δ），是第四個希臘字母…

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[無窮大

定義1 （直觀定義） 絕對值無限增大的變量稱為無窮大。

…直觀：見《牛頓220》…

…變、量、變量：見《歐幾里得29》…

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定義2 （直觀定義）

設(shè)函數(shù)f（x）在|x|大于某一正數(shù)時有定義。如果對于任意給定的正數(shù)M（無論它多么大），總存在正數(shù)X，只要|x|>X（即x趨于無窮），對應(yīng)的函數(shù)值f（x）總滿足不等式|f（x）|>M，則稱函數(shù)f（x）為當(dāng)x→∞時的無窮大。

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定義3

設(shè)函數(shù)f（x）在x0的某一去心鄰域內(nèi)有定義。如果對于任意給定的正數(shù)M（無論它多么大），總存在正數(shù)δ，只要x適合不等式0<|x-x0|<δ，對應(yīng)的函數(shù)值f（x）總滿足不等式|f（x）|>M，則稱函數(shù)f（x）為當(dāng)x→x0時的無窮大。

——見《牛頓311》]

……

證明：設(shè)（x→x0）lim f（x）=∞，根據(jù)無窮大的定義，?（任意）ε＞0，對于M=1/ε，?（存在）δ＞0，當(dāng)0<|x-x0|<δ時，有|f（x）|>M=1/ε，于是|1/f（x）|<ε

根據(jù)無窮小的定義，1/f（x）為當(dāng)x→x0時的無窮小。

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[無窮小是極限為0的函數(shù)。如（x→x0）lim f（x）=0，是自變量x→x0，因變量極限為0的函數(shù)。此時f（x）就是x→x0的無窮小。

…

對于任給的正數(shù) ε（無論它多么小），總存在正數(shù)δ（或正數(shù)M），使得不等式0＜|x-x0|＜δ（或|x|＞M）的一切x對應(yīng)的函數(shù)值f（x）都滿足不等式|f（x）-f（x0）|＜ε，則稱函數(shù)f（x）為當(dāng)x→x0（或x→∞）時的無窮小量。

記作：（x→x0）lim f（x）=0

或：（x→∞）lim f（x）=0

——《牛頓280》

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按無窮大定義格式，《牛頓280》中無窮小定義可拆分為：

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定義1 （直觀定義） 絕對值無限減小的變量稱為無窮小。

定義2 （直觀定義）

對于任給的正數(shù)ε（無論它多么小），總存在正數(shù)M，使得不等式|x|＞M的一切x對應(yīng)的函數(shù)值f（x）都滿足不等式|f（x）-f（x0）|＜ε，則稱函數(shù)f（x）為當(dāng)x→x0（或x→∞）時的無窮小量。

定義3

對于任給的正數(shù) ε（無論它多么?。偞嬖谡龜?shù)δ，使得不等式0＜|x-x0|＜δ的一切x對應(yīng)的函數(shù)值f（x）都滿足不等式|f（x）-f（x0）|＜ε，則稱函數(shù)f（x）為當(dāng)x→x0（或x→∞）時的無窮小量。]

……

證明：設(shè)（x→x0）lim f（x）=∞，根據(jù)無窮大的定義，?（任意）ε＞0，對于M=1/ε，?（存在）δ＞0，當(dāng)0<|x-x0|<δ時，有|f（x）|>M=1/ε，于是|1/f（x）|<ε

根據(jù)無窮小的定義，1/f（x）為當(dāng)x→x0時的無窮小。

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反之，設(shè)（x→x0）lim f（x）=0，且f（x）≠0，則根據(jù)無窮小的定義，有?M>0，對于ε=1/M，?δ＞0，0＜|x-x0|＜δ，有|f（x）|＜ε=1/M，由于f（x）≠0，從而|1/f（x）|＞M

根據(jù)無窮大的定義，1/f（x）為當(dāng)x→x0時的無窮大。

“定理：兩個無窮小的和是無窮?。ㄓ邢迋€無窮小之和也是無窮?。?/p>

請看下集《牛頓315、數(shù)學(xué)符號min{}；證明“兩個無窮小的和是無窮小”》”

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