在一段悠然慵懶的歲月里，作者一邊進(jìn)行量子蒙特卡洛計(jì)算，一邊讀著二十四史。在量子多體中的吶喊與彷徨中看到了一絲曙光，也在歷史的回味與反思中看到當(dāng)今科研體制下的無奈與堅(jiān)忍。“學(xué)者的貢獻(xiàn)在于發(fā)揚(yáng)真理，脫心志于俗諦之桎梏，在于鑄造后起的頭腦，不在于自己頭上有多少帽子。”

林風(fēng)眠《火燒赤壁》

撰文 | 孟子楊

南 方

有兩年時(shí)間吧，我在美國南方密西西比河畔的一個大學(xué)城工作，每天看著河邊水溝中的曬太陽的小鱷魚，看著種植園般的小區(qū)邊、學(xué)校里爬滿藤蔓的大橡樹。日子慢悠悠地過去，就連作為美國主要水路的密西西比河，到了就要進(jìn)入墨西哥灣的下游，白天里也只是零零星星開過幾艘貨船。這里夏天悶熱潮濕，冬天暖風(fēng)和煦，此處的 African American 兄弟們，雖然也人高馬大、身材健碩，卻慢悠悠地待人和善，說話帶著溫和的南方口音，不像他們在北方大城市的同胞那種 hood 里帶出來的強(qiáng)橫。這里的風(fēng)物完全滿足了我之前從書本中看到的美國南方那種已經(jīng)逝去的生活方式，那種鄉(xiāng)愁的想象，就是?？思{、田納西·威廉姆斯所營造的世界，種植園、沼澤地、爵士樂、潮濕、神秘、善良卻多少有些神經(jīng)質(zhì)的人們。

就是在這樣的地方，美則美矣，慢則慢矣，但是卻時(shí)時(shí)感到孤獨(dú)。我一邊思考著如何把團(tuán)簇動力學(xué)平均場 Hubbard model 計(jì)算從正方晶格擴(kuò)展到三角晶格，用大規(guī)模計(jì)算的方法研究純粹的金屬-絕緣體臨界莫特相變；一邊品味著遠(yuǎn)離自己文化的孤獨(dú)，畢竟連中文書都很少見到，在完全陌生的環(huán)境中看著生命一天天平靜地過去。真好像詩中說的：

看樣子是就這樣下去了 平日里什么樂子也沒有 除非在街上吃碗餛飩 有時(shí)，人生真不如一行波德萊爾 有時(shí)，波德萊爾真不如一碗餛飩

——木心《小鎮(zhèn)上的藝術(shù)家》

這里是連餛飩都沒得吃的。有一天實(shí)在窮極無聊，我在等待蒙特卡洛計(jì)算結(jié)果的間隙跑到大學(xué)圖書館里盤桓，竟然在某個無人問津落滿塵土的書架上看到了中華書局上世紀(jì)70年代出版的豎排二十四史中的《宋書》《南齊書》《梁書》和《陳書》。誰能想到，在這樣偏遠(yuǎn)的美國南方，一個和中國文化沒有任何交集的地方，竟然有人大發(fā)善心地為圖書館買來了如此硬核的中國文化。不是什么《史記》《漢書》這樣通行的經(jīng)典，而是頗為小眾的宋齊梁陳，南朝煙雨。這讓已經(jīng)被美國南方的暖風(fēng)熏到精神遲鈍的我足足傻站在書架前有一分多鐘，大腦中的邏輯程序怎么都調(diào)不通，不能理解這些鐵幕之下紅色中國的硬核出版物是怎么遠(yuǎn)涉重洋來到世界的這個角落的。一分鐘后回過神來，先定睛看看落地窗外的大橡樹，它還在那里，遂確定沒有發(fā)生時(shí)空錯亂，然后也不管這些綠皮、硬殼、豎排的史書是怎么流落到此地的，一把抱起它們借出來帶回家據(jù)為己有，生怕有人和我搶似的。其實(shí)我可能是幾十年來第一次借這些書的人。

從此之后好一段時(shí)間，我的思維就被分散在三角晶格 Hubbard model 的金屬-絕緣體相變和宋齊梁陳的生死倏忽與朝代更迭之中。隨著工作和閱讀的深入，我發(fā)現(xiàn)雖然結(jié)果都在向著好的方向前進(jìn)，但不斷地思考和體會的同時(shí)，我的心情從最初的欣喜慢慢變得沉重起來，影響直到今天。

近 似

先說三角晶格中的莫特轉(zhuǎn)變吧，這個是強(qiáng)關(guān)聯(lián)系統(tǒng)中一個公認(rèn)的難題。三角晶格 Hubbard model 在相互作用弱的時(shí)候有一個接近圓形的費(fèi)米面，沒有如正方晶格中半滿的時(shí)候反鐵磁 （pi,pi）nesting 波矢的不穩(wěn)定性，是一個理想的費(fèi)米液體；而在相互作用十分強(qiáng)的時(shí)候，因?yàn)殡娮与姾勺杂啥缺粌鼋Y(jié)，Hubbard model 退化為三角晶格上的反鐵磁 Heisenberg model，而這個模型的基態(tài)為非共線的 120度長程序反鐵磁絕緣體。那么一個顯而易見的問題就是，隨著Hubbard U的增加，費(fèi)米液體金屬是怎么過渡到反鐵磁長程序絕緣體的？

這個看似簡單的問題其實(shí)到現(xiàn)在還沒有公認(rèn)的結(jié)果。解析計(jì)算對于這樣的量子多體問題，目前看起來只能理解弱相互作用時(shí)的費(fèi)米液體金屬和強(qiáng)相互作用的反鐵磁絕緣體。數(shù)值計(jì)算的量子蒙特卡洛面臨符號問題，無法得到熱力學(xué)極限的結(jié)果。在當(dāng)時(shí)市面上的數(shù)值計(jì)算方法中，還有一種叫團(tuán)簇動力學(xué)平均場，是運(yùn)用量子蒙特卡洛求解器首先嚴(yán)格求解一個小的團(tuán)簇，比如4、8、16這樣的格點(diǎn)數(shù)，然后再將如此求得的自能和格林函數(shù)用自洽方程的方式，與熱力學(xué)極限下的環(huán)境做迭代計(jì)算——將團(tuán)簇上電子多體相互作用的效果傳遞給環(huán)境，將環(huán)境無窮大的晶格信息反饋給團(tuán)簇。如此迭代以至于收斂，在自能和格林函數(shù)的戴森方程的層次上可以得到系統(tǒng)的一個近似的解，并且在形式上克服蒙特卡洛晶格計(jì)算的指數(shù)墻問題。這個方法，在當(dāng)時(shí)看來是一個比較可行的辦法。事實(shí)上，我之所以來到這所南方的大學(xué)，就是想掌握這樣一種研究量子多體系統(tǒng)的計(jì)算方法，并用它到求解三角晶格 Hubbard model 金屬-絕緣體莫特相變。

我們的計(jì)算結(jié)果如圖1 所示，其實(shí)已經(jīng)可以相當(dāng)清楚地看到相互作用是如何改變系統(tǒng)的能帶結(jié)構(gòu)。在圖1（下）中畫出了布里淵中高對稱線上的單粒子能譜，也許是那個時(shí)候看古書的緣故，我們特意把結(jié)果畫成中國畫立軸的樣子。隨著 U 的增大，可以看到無相互的能帶，是如何一步步展寬，譜權(quán)重是如何從緊貼著色散關(guān)系（就是我們在之前的文章中講到的準(zhǔn)粒子壽命無窮長）到彌散到很大的頻率范圍的。同時(shí)，就在 U≈9t 的地方，也是相互作用和費(fèi)米子的帶寬相似的地方，原本的一條能帶被撕裂成兩片分開的譜。金屬到絕緣體的相變就發(fā)生在此處，費(fèi)米面上再無準(zhǔn)粒子，系統(tǒng)進(jìn)入絕緣相。這樣的結(jié)果也呼應(yīng)我們在之前的文章中提到的（參見《歷史的終結(jié)與最后的人 | 量子多體中的吶喊與彷徨之四》），相互作用的電子系統(tǒng)，費(fèi)米面的變化可以不再遵循 Luttinger 定理，在圖1（下）的整個變化過程中，系統(tǒng)的電子填充數(shù)并沒有發(fā)生改變，而費(fèi)米面卻硬生生地消失了。

圖1:（上）二維正方晶格和三角晶格上的 Hubbard 模型。t 為電子動能，U 為電子庫倫排斥。（中）二維三角晶格布里淵區(qū)和不同填充數(shù)下的費(fèi)米面，只有在填充數(shù)接近 n=1.5 時(shí)才有明顯的 van Hove 極點(diǎn)和 nesting，其他填充數(shù)時(shí)（如半滿 n=1），系統(tǒng)具有接近理想圓形的費(fèi)米面。（下）團(tuán)簇格點(diǎn)數(shù)為6的動力學(xué)平均場單例子譜函數(shù)計(jì)算結(jié)果，可以看到隨著 U 的增大，能帶逐漸變得模糊，譜權(quán)重逐漸從無相互作用的能帶附近彌散開來。在 U ≈ 8,9t 的時(shí)候，原本的一條能帶斷裂成兩條，系統(tǒng)經(jīng)過莫特轉(zhuǎn)變從金屬相進(jìn)入絕緣相（數(shù)據(jù)來自文獻(xiàn)[1]）。

但是團(tuán)簇動力學(xué)平均場計(jì)算本身有一個很大的問題，那就是說到底，嚴(yán)格的計(jì)算只是在一個量子少體的團(tuán)簇上進(jìn)行，而與環(huán)境迭代的效果，使得整個計(jì)算，也就是最后收斂的自能和格林函數(shù)，實(shí)質(zhì)上傾向平均場結(jié)果。如果是研究相變左右兩個相各自的性質(zhì)，比如費(fèi)米面上準(zhǔn)粒子權(quán)重或者對稱性破缺相中序參量的局部結(jié)構(gòu)，也許還是可以給出定性正確的結(jié)果；但是如果想要研究相變本身的性質(zhì)，比如臨界行為、涌現(xiàn)分?jǐn)?shù)化激發(fā)和拓?fù)湫蛞?guī)范場等等真正抓住問題物理實(shí)質(zhì)的現(xiàn)象，由于計(jì)算方法本身并沒有嚴(yán)格處理量子多體系統(tǒng)的配分函數(shù)，即不尊重相變點(diǎn)標(biāo)度不變性也不尊重其共型不變性，團(tuán)簇動力學(xué)平均場其實(shí)無能為力的。

也正是在通過切身的研究意識到這些本質(zhì)性缺陷之后，我才開始轉(zhuǎn)而投入到發(fā)展能夠通過量子蒙特卡洛嚴(yán)格的求解晶格模型和算法設(shè)計(jì)的大潮之中，擯棄通過近似方法研究量子多體相變物理實(shí)質(zhì)的念頭，路越走越寬，此處先按下不表。

當(dāng)然，將近10年過去了，三角晶格 Hubbard model 的莫特轉(zhuǎn)變?nèi)匀皇且粋€未解問題。最近有 DMRG 計(jì)算指出其實(shí)在費(fèi)米液體金屬和反鐵磁莫特絕緣體之間還存在一個手征量子自旋液體（chiral quantum spin liquid）[2]，事實(shí)上如此的中間相一直是一種可能性，只是 DMRG 的計(jì)算其實(shí)也是變分計(jì)算，且只關(guān)注基態(tài)，不能回答費(fèi)米面是如何變化的，這方面還是有待方法上的突破。另外，我的朋友，北京航空航天大學(xué)的李偉及其小組，一直在開發(fā)熱張量網(wǎng)絡(luò)的計(jì)算方法，可以計(jì)算量子多體系統(tǒng)的比熱和磁化率等重要物理性質(zhì)隨著溫度的變化，目前已經(jīng)在三角晶格反鐵磁 Heisenberg 模型的比熱計(jì)算中得到結(jié)果[3]，而費(fèi)米子 Hubbard model 在正方晶格上也進(jìn)行了初步的嘗試[4]，從這個方面研究三角晶格 Hubbard model 的相圖，尤其是通過不同的熱力學(xué)性質(zhì)分析是否存在不同的基態(tài)，將會是一個有意義的方向。

古 代

好的，三角晶格的莫特轉(zhuǎn)變的問題讓我一步步看到了看似強(qiáng)大的團(tuán)簇動力學(xué)平均場方法其實(shí)也有著很大的局限性，從而轉(zhuǎn)求其他更加本質(zhì)的研究方法。而那些在圖書館中偶遇的《宋書》《南齊書》《梁書》和《陳書》，卻更把我?guī)У搅松钌畹膽n慮之中，以至于直到今天，盡管我在通過模型設(shè)計(jì)求解量子多體問題的道路上越來越有信心，但從古書中看到我們的歷史和文化的本征缺陷，伴隨著身邊時(shí)時(shí)見到的它們的現(xiàn)代表現(xiàn)形式，更加困擾著我，悲觀的情緒不斷襲來。

事情是這樣的，中國古代正史中帝王的本紀(jì)實(shí)在沒什么意思，都是好話，批評都是委婉的。南朝中殘忍乖戾，殺人如麻，甚至心理變態(tài)的昏君一大把。如果不了解當(dāng)時(shí)的背景，光看這樣的官樣文章，實(shí)在讀不出所以然。還是看看列傳吧，看看魏晉風(fēng)度六朝人物。但這一看就更明白了在亂世之中，人的生命是如此的倏忽短暫，不在自己的掌握中。比如幫助劉裕晉宋禪讓的傅亮，博學(xué)而有文采，后來卻被由他扶正但是生性多疑的宋文帝誅殺；被李白稱贊為“蓬萊文章建安骨，中間小謝又清發(fā)”，上承建安風(fēng)骨，下啟盛唐氣象的詩人謝脁，最后也在權(quán)利的斗爭中成為犧牲品；意識到漢語詩聲律要求，為后來唐代格律詩的發(fā)展與成熟奠定基礎(chǔ)的沈約，也在齊梁的交替中扮演過篡位幫兇的角色，晚年更因?yàn)槭櫽诹何涞?，?zhàn)栗憂懼而死。這些人物或自愿或被迫，為體制貢獻(xiàn)了自己的力量，最后卻都被體制所無情地吞噬。

這樣的閱讀更讓我從這些官修史書的人物傳記中，看到了中國人自古以來對于頭銜的偏執(zhí)。即使偏安一隅的孱弱南方小朝廷，在介紹某人時(shí)，也經(jīng)?？吹饺缦轮貜?fù)性的表達(dá)：

“某某，…, 出為使持節(jié)、散騎常侍、驃騎將軍、開府儀同三司、都督江州諸軍事、江州刺史 …”，“某某，…， 使持節(jié)，轉(zhuǎn)護(hù)軍將軍，加散騎常侍，領(lǐng)石頭戍事，封某某縣公，食邑二千戶 …”,“某某，…，詔加班劍二十人，開府儀同三司，征北將軍，并加督青州及徐州五郡軍事 …”。

這些官名都很長，乍一看看好像都很重要，但要說具體是干什么的，又都說不清楚。稍微查了其中的比較抽象的幾個，“使持節(jié)”“散騎常侍”“開府儀同三司”，翻譯出來給大家看看：

使持節(jié)，是魏晉南北朝時(shí)期直接代表皇帝行使地方軍政權(quán)力的官職。

散騎常侍，為皇帝侍從，入則規(guī)諫過失備皇帝顧問，出則騎馬散從。魏、晉多為顯職。

開府儀同三司，魏晉南北朝時(shí)期的一種高級官位。開府儀同三司的意思是設(shè)置的府邸和進(jìn)出儀式都跟三司一樣。三司，就是三公三師。太尉、司徒、司空，是為三公。太師、太傅、太保，是為三師。

大概看明白了吧，種種讓人眼花繚亂的頭銜，其實(shí)就是彼時(shí)的國家制度給對于體制有用的人恩惠，是地位、權(quán)利和資源的象征。前面提到的諸多在亂世中橫死的六朝人物，其實(shí)都是在這些頭銜的引誘之下，一步步地走入體制，為體制服務(wù)，又一步步地被體制所碾碎的。用物理學(xué)家，尤其是中國物理學(xué)家能夠聽懂的語言說，這些自古以來的種種讓人眼花繚亂的官名，其實(shí)就是今天一樣讓人眼花繚亂的種種“帽子”。追逐帽子的傳統(tǒng)古已有之，已經(jīng)深入到我們民族的文化基因里去了。

大家都知道，目前我們科研領(lǐng)域的人才選拔和資源分配制度，實(shí)際上就是由一個又一個的帽子構(gòu)成的。30歲左右的人心里想著四青五青，40歲左右的人心里想著杰青長江，如果運(yùn)氣好一路堅(jiān)持到50多歲還爬得動，那么還得開始運(yùn)作院士和種種國家獎項(xiàng)。如是的體制和文化，使得科研資源的分配和各種獎項(xiàng)與人才計(jì)劃緊密相關(guān)，能否獲獎和獲得項(xiàng)目直接關(guān)系到科研人員及單位的切身利益。這些帽子就是當(dāng)代的使持節(jié)、散騎常侍、開府儀同三司，而這些帽子逼得從業(yè)人員和單位為了能夠獲得更多的利益用盡方法去爭奪。所帶來的種種問題有目共睹。

在制度層面，我們的人情社會其實(shí)鼓勵了種種違規(guī)的現(xiàn)象，其中最簡單的就是“打招呼”。君不見每到評審的節(jié)點(diǎn)，評委和申請人以及申請人單位之間的互動，已經(jīng)成為一種頗為壯觀的社會現(xiàn)象，甚至可以說和美國國會里的游說團(tuán)體異曲同工。我就親身經(jīng)歷過，與合作者在科研題目進(jìn)行到熱火朝天的關(guān)鍵時(shí)刻，合作者被單位里的好心領(lǐng)導(dǎo)指點(diǎn)著去找各路評委打招呼，表面上看好像只是耽誤了幾天認(rèn)真思考的時(shí)間，但是思路被打斷，需要很長的時(shí)間才能恢復(fù)。如果可以少一些名目繁多的人才計(jì)劃和獎勵，少一些量化排名和評估，讓科研環(huán)境多一些安寧，也許才能夠孕育更多真正有影響力的原創(chuàng)性成果。

在科研人員自身方面，這么多的帽子其實(shí)極大地混淆了他們在工作本身上的注意力。筆者曾經(jīng)十分天真地認(rèn)為這是中國科研制度對于從業(yè)人員更高的要求，不光需要工作本身做得好，還得能夠搞定人情社會的種種規(guī)則。幾年下來越來越覺得這樣不可能。人的精力有限，科研工作往往又需要長時(shí)間專注地思考，但是每年從準(zhǔn)備申請各種帽子的本子到開始參與競爭，到打招呼，到名利分配的種種糾葛，有太多太頻繁的干擾打斷思考，這本身是違背科學(xué)的內(nèi)在規(guī)律的。更加可悲的是，一路被鞭打著去爭搶帽子的第一線科研人員，不論成功與否，最后都是遍體鱗傷。我就親眼見過有人在本身工作的領(lǐng)域已經(jīng)走在世界前沿，但就是因?yàn)檫@樣爭奪的壓力而失眠、抑郁以至于需要藥物維持，庶幾南朝時(shí)沈約“戰(zhàn)栗憂懼”的現(xiàn)代版本。有善良的朋友說還得堅(jiān)持下去，等熬到了能夠改變游戲規(guī)則的時(shí)候再去改變它。但是我越來越覺得如果真有那么一天的話，經(jīng)過十幾年、幾十年的持續(xù)外力，更大的可能是體制改變了個人，而不是反之。還是那句話，如果沒有這么多帽子，或者起碼在評審的過程中不需要本人或者單位參與，讓本人根本不知道參與評審這樣的事情，那會減少多少不必要的煩惱啊。

總之，目前來看，對于帽子，對于使持節(jié)、散騎常侍、開府儀同三司的追逐，即是我們古已有之的文化基因，又是我們不得不面對的慘淡現(xiàn)實(shí)。希望這樣現(xiàn)實(shí)能夠盡快改觀，希望一個寬容、真正鼓勵深入思考的環(huán)境能夠盡早到來。

回到南方

行文至此，基本內(nèi)容都講完。從科學(xué)上和情感上，還有兩件后續(xù)的小事需要交代一下。一是上文說到團(tuán)簇動力學(xué)平均場仍然不是嚴(yán)格的辦法，因此三角晶格 Hubbard model 中超越 Luttinger 定理的莫特轉(zhuǎn)變，嚴(yán)格說起來我們還沒有看到。那么到底有沒有超越 Luttinger 定理，即費(fèi)米子的填充數(shù)和費(fèi)米面在布里淵區(qū)所占比例不相等的嚴(yán)格結(jié)果呢？其實(shí)是有的，答案很簡單，就是把我們在上一篇文章中（參見《歷史的終結(jié)與最后的人 | 量子多體中的吶喊與彷徨之四》）講到的正交金屬相進(jìn)行摻雜，然后調(diào)節(jié)摻雜后的正交金屬到費(fèi)米液體的相變。通過設(shè)計(jì)晶格模型和進(jìn)行嚴(yán)格的量子蒙特卡洛計(jì)算，我們看到如圖2（左上）所示，摻雜的正交金屬終于顯示出了與銅基超導(dǎo)體在贗能隙區(qū)域中類似的費(fèi)米面形狀，即不閉合的費(fèi)米弧(Fermi arc)，并且從圖2（左上）的費(fèi)米弧到圖2（左下）的費(fèi)米液體相變過程中，系統(tǒng)的電子填充數(shù)沒有發(fā)生改變。顯然，費(fèi)米弧態(tài)超越了 Luttinger 定理，感興趣的讀者可以深入文獻(xiàn)[5]。也正是這樣的結(jié)果，使我覺得通過晶格模型設(shè)計(jì)和嚴(yán)格的數(shù)值計(jì)算，輔之以抓出問題物理實(shí)質(zhì)的場論分析，這樣的道路會越走越寬。

圖2:（左上）摻雜正交金屬中實(shí)現(xiàn)了費(fèi)米?。‵ermi arc）態(tài)。在 nodal （pi,pi） 方向上有準(zhǔn)粒子權(quán)重，而在 antinodal (pi,0) 方向上沒有權(quán)重，費(fèi)米面斷裂，不滿足 Luttinger 定理。（左下）增大了復(fù)合費(fèi)米子的動能，將 Fermi arc 態(tài)調(diào)節(jié)到了費(fèi)米液體后的費(fèi)米面，費(fèi)米面完整，滿足 Luttinger 定理。（右）準(zhǔn)粒子權(quán)重從 antinodal 方向向 nodal 方向，隨著角度變化行為。在費(fèi)米?。?Fermi arc） 態(tài)中，準(zhǔn)粒子只生活在 nodal (pi,pi)方向；而在費(fèi)米液體中，在閉合的費(fèi)米面上都有準(zhǔn)粒子。（數(shù)據(jù)來自文獻(xiàn) [5]）。

第二是讓我們再回到本文開頭的那個美國南方小城。雖說在文化上我在那里體會到了孤獨(dú)的滋味，但是在實(shí)際的科研工作和日常生活上，還是受到了諸多師長和朋友真誠的照顧。盡管離開之后還沒有回去過，但是夜闌人靜時(shí)那種慢悠悠平靜而略帶憂郁的南方風(fēng)物總是從心里冒出來，時(shí)時(shí)想起夏日里從墨西哥灣上吹來的燥熱的風(fēng)和冬日的暖陽，想起沼澤地、密西西比河、Jambalaya 和 Cajun food&music。

最近一段時(shí)間，那里好幾位曾經(jīng)對我有過幫助的師長都去世了，包括去年的 Mark Jarrell(動量空間團(tuán)簇動力學(xué)平均場的發(fā)明人)和今年的 Ward Plummer 老先生，后者中科院物理所的郭建東研究員剛剛寫了一篇至情的懷念文章[6]。Mark, Ward 還有張堅(jiān)地等等師長構(gòu)成了我對于那片迷人土地的記憶，受到的教導(dǎo)、扶持和關(guān)懷是不能忘懷的。郭建東老師的文字有幾句與本文也有契合之處，他提到：“Ward一直把他有的最好的資源都傾注給了身邊的年輕人，他最引以為自豪的就是他培養(yǎng)學(xué)生和學(xué)者的成就”，Ward 自己也講到：

My legacy will be the minds I molded; not the papers I wrote or the prizes I won.

——Ward Plummer

誠哉斯言，傷哉斯人。學(xué)者的貢獻(xiàn)在于發(fā)揚(yáng)真理，脫心志于俗諦之桎梏，在于鑄造后起的頭腦，不在于自己頭上有多少帽子。這也許就是那片平靜而略帶憂郁的土地，教給我的深沉的、困難的、但是仍要勉力追求下去的人生課題吧。

參考文獻(xiàn)

[1] Unconventional superconductivity on the triangular lattice Hubbard model Kuang Shing Chen, Zi Yang Meng, Unjong Yu, Shuxiang Yang, Mark Jarrell, and Juana Moreno Phys. Rev. B 88, 041103(R) (2013)

[2] Chiral Spin Liquid Phase of the Triangular Lattice Hubbard Model: A Density Matrix Renormalization Group Study Aaron Szasz, Johannes Motruk, Michael P. Zaletel, and Joel E. Moore Phys. Rev. X 10 (2020)

[3] Two-temperature scales in the triangular-lattice Heisenberg antiferromagnet Lei Chen, Dai-Wei Qu, Han Li, Bin-Bin Chen, Shou-Shu Gong, Jan von Delft, Andreas Weichselbaum, and Wei Li Phys. Rev. B 99, 140404(R) (2019)

[4] Quantum Many-Body Simulations of the 2D Fermi-Hubbard Model in Ultracold Optical Lattices Bin-Bin Chen, Chuang Chen, Ziyu Chen, Jian Cui, Yueyang Zhai, Andreas Weichselbaum, Jan von Delft, Zi Yang Meng, Wei Li arXiv:2008.02179[5] Doped Orthogonal Metals Become Fermi Arcs Chuang Chen, Tian Yuan, Yang Qi, Zi Yang Meng arXiv:2007.05543

[6] 傳奇還將繼續(xù)——懷念一代宗師Ward Plummer,郭建東，https://mp.weixin.qq.com/s/Vwfyh1snSzqE5n-Uuk-4Fg