????????我們來認識一下前文中部分奇奇怪怪的新符號。

? ? ? ? 認識雙曲函數(shù)，我們從一個熟悉的角度。

? ? ? ? 容易證明，為奇函數(shù)，為偶函數(shù)函數(shù)，為奇函數(shù)。

? ? ? ? 其實，這三個函數(shù)分別為雙曲正弦函數(shù)、雙曲余弦函數(shù)、雙曲正切函數(shù)。

????????分別記作

????????所以，這些名稱是怎么來的？

????????首先有一個恒等式：

????????似乎有某些相似之處。

????????同樣，我們發(fā)現(xiàn)

????????事實上，我們可以定義

????## 注意：該定義非常重要，因為計算起來會比較簡便。

????????這個定義從何而來？筆者猜想來自歐拉公式。

????????令

????????我們得到

????????原來，雙曲正弦和雙曲余弦不過是指數(shù)函數(shù)的兩部分。

????????當然，根據(jù)雙曲正弦和雙曲余弦的新定義，我們也就有

????????代入恒等式，會發(fā)現(xiàn)

????????至于“雙曲”之名，則是來自于雙曲線。

????????考察參數(shù)方程

????????我們就會發(fā)現(xiàn)

????????是一組雙曲線。

????????我們研究雙曲函數(shù)的導數(shù)。

????## 注意：和三角函數(shù)不同，這里沒有負號。

????????限于篇幅與繁復的計算，下面不加證明地給出剩余幾個雙曲函數(shù)的定義及諸多恒等式。

????## 不熟悉三角函數(shù)的導數(shù)的可以參看以下鏈接。

? ? ## 注意：以上有若干處正負號和三角函數(shù)不同。

????## 這兩個級數(shù)加起來就是指數(shù)函數(shù)的泰勒展開。

? ? ## 棣莫弗公式

????????雙曲函數(shù)廣泛應用于懸鏈線、四維空間的轉動等地方。