在上期專欄中, 我們討論了正弦和余弦的計(jì)算, 這期我們來討論, 正切和余切, 和角公式, 差角公式.

3. 正切的計(jì)算

正切, 在單位圓里, 有 2 種表示方法;?

一種是切線法, 適用于?? 的情況,

如圖所示:

設(shè)單位圓交 x 軸正半軸于點(diǎn) A, 過 A 作圓的切線,?該切線交角的終邊于點(diǎn) T,

則有???,

另一種是比值法, 適用于所有存在正切的角度,? 如下圖:

設(shè)角的終邊交單位圓于點(diǎn) (x, y) , 則有?

顯然, 上式等價(jià)于:

為了讓正切有意義, 要保證分母上的余弦不為0, 因此, 正切的定義域?yàn)?

正切, 在直角三角形中的定義為:

同樣, 這個定義只適用于銳角.

4. 余切的計(jì)算

余切, 可以理解為"余角的正切", 因?yàn)? 有這樣一個關(guān)系:

不過, 這個不是定義式; 余切的定義式如下:

在單位圓里, 它等價(jià)于比值法:

以上 2 種定義, 適用于所有存在余切的角度.

在單位圓里, 表示余切, 還有另一種切線法:

設(shè) y 軸正半軸與單位圓交于點(diǎn) H, 過 H 作單位圓的切線, 與角的終邊交于點(diǎn) T,

則有??

當(dāng)然, 切線法只適用于, 終邊在第一象限的角.

顯然, 余切的定義域?yàn)??? ,

5. 正弦的和角公式

設(shè) ,

在 Rt ΔABP 中,? ∠APB = 90°,? ∠BAP = α,? AB = 1,

延長 BP 至點(diǎn) C 使得 ∠CAP = β,

過 C 作 CH⊥AB 于點(diǎn) H,

當(dāng) α + β < 90° 時, 圖形如下:

在 Rt ΔABP 中,? ∠ APB = 90°,

在 Rt Δ BPC 中,? ∠ APC = 90°,

在 Rt ΔBCH 中, ∠BHC = 90°,

∴ ∠BCH + ∠ B = 90°

又 ∵∠BAP + ∠B = 90°

∴ ∠BCH = ∠BAP = α

在 Rt ΔACH 中, ∠AHC = 90°, ∠CAH = α + β,

?

當(dāng) α + β > 90°時, 圖形如下:

推導(dǎo)過程類似, 結(jié)果相同;

當(dāng) α + β = 90° 時, 容易驗(yàn)證等式成立;

利用單位圓, 可以驗(yàn)證, 當(dāng) α 和 β 不全為銳角時, 結(jié)論依然成立.

6. 余弦的和角公式

用類似的幾何法, 可以證明:

不過, 我有另一個思路,

在正弦的和角公式里, 令? ,

則有

令? , 我們證明了上期專欄的一個等式:

我們回到正弦的和角公式, 令? ?,

則有

所以

令? , 則

因?yàn)?cos 是偶函數(shù), 所以,

這是上期專欄的另一個等式:

在正弦的和角公式中,?

于是, 我們就得到了

7. 正切的和角公式

我們根據(jù)正切的定義,?

分子和分母, 同時除以???, 得

注意, 像?? 這樣的情況,?

不能直接帶入正切的和角公式, 而是要用其他方法,

因?yàn)?? ?這類角, 不在 tan 的定義域內(nèi).

我們可以用以下方法:

① ÷ ② 得

這是上期留下的第 3 個恒等式.

當(dāng)然, 用幾何法也能證明:

8. 差角公式

我們在和角公式的基礎(chǔ)上, 改變第 2 個角的符號,

根據(jù)奇偶性, 得到差角公式:

用幾何法, 同樣也可以證明這些公式.

下期預(yù)告:

和差化積公式, 倍角公式, 半角公式等.