數列??的首項??滿足?，且?，證明：至多只有一個正整數對??使得?。

手玩容易發(fā)現? 時?，用歸納法也容易證明這一點。那么當? 時，顯然?；當? 時，若? 則? 符合題意；當? 時……發(fā)現對于這種情形似乎無法繼續(xù)處理了。

以下給出標準答案（有刪改）：

記?，則?，而 ，可知?。又?，因此??單調遞減。由??遞推公式不難知?。因此，若存在題目中的?，則?，所以?。由??單調性可知至多只有一個滿足條件的?，即證。

后者的改進在于新定義了一個數列??來更好地描述? 的性質，這里體現在通過??的單調性更好地表現了??在? 變大的同時變化的規(guī)律，從而將第一種有漏洞的證法中??與? 的情形實現了統(tǒng)一，同時加以解決。