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天體力學(xué)：開普勒三大定律

2021-10-07 12:24 作者:空山泠語 0人讀過 | 我要投稿

? ? ? 在上篇的轉(zhuǎn)動慣量篇中，我們已經(jīng)知道了角動量守恒定律，即一個(gè)繞中心旋轉(zhuǎn)的物體，當(dāng)它所受的合力矩為零： $%5Csum%5Cvec%7BM%7D%20%EF%BC%9D0$ 時(shí)，這個(gè)物體繞該點(diǎn)旋轉(zhuǎn)的角動量為一定值： $%5Cvec%7BL%7D%20%EF%BC%9DJ%5Cvec%7B%5Comega%20%7D%20%EF%BC%9Dconst$

? ? ? ?那這些干貨在實(shí)際上有啥用呢？我們接著往下看。

? ?1.橢圓

? ? ? ??說起橢圓，恐怕大多數(shù)人都會想到將圓在兩個(gè)方向上壓縮上所得的圖形，然而，橢圓的嚴(yán)格定義是這樣的嗎？

? ? ? ? ?橢圓的嚴(yán)格數(shù)學(xué)定義是平面上到兩個(gè)固定點(diǎn)的距離之和是同一個(gè)常數(shù)的點(diǎn)的軌跡。這兩個(gè)固定點(diǎn)叫做焦點(diǎn)。它是圓錐曲線的一種，即圓錐與平面的截線。我們可以這樣得到一個(gè)橢圓：先在木板上固定兩個(gè)大頭針（作為焦點(diǎn)），在兩邊分別繞上一條不可伸長線的兩頭，用一

支筆從側(cè)端將細(xì)線繃緊，并保持這種狀態(tài)在木板上畫出一個(gè)封閉圖形，這樣我們就得到了一個(gè)橢圓。

? ? ? ? ? 在橢圓中，我們將其幾何中心到距圓上最近一點(diǎn)的連線稱為短半軸，到最遠(yuǎn)一點(diǎn)的連線則稱為長半軸，長、短半軸相互垂直，其中長半軸所在的直線過橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，若我們用a、b分別表示長、短半軸的長度的話，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程可以寫成這樣： $%5Cfrac%7Bx%5E2%20%7D%7Ba%5E2%7D%EF%BC%8B%20%5Cfrac%7By%5E2%20%7D%7Bb%5E2%20%7D%20%EF%BC%9D1$

? 2.開普勒三大定律

開普勒三定律是由天文學(xué)家開普勒發(fā)表的第一個(gè)能夠較準(zhǔn)確描述天體運(yùn)動規(guī)律的體系（為什么說“較”呢，是因?yàn)樵谀承┣闆r（如水星近日點(diǎn)進(jìn)動）時(shí)需要引入廣義相對論進(jìn)行修正），這個(gè)體系包含三個(gè)定律：

（1）.行星以各自的橢圓軌道圍繞恒星運(yùn)動，該恒星處于橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)上

（2）.行星指向恒星（質(zhì)心）的有向線段（矢徑）在相同時(shí)間內(nèi)掃過相等的面積

（3）.繞以某恒星為焦點(diǎn)的橢圓軌道運(yùn)行的行星，其各自半長軸的立方與運(yùn)行周期的平方之比是一個(gè)常量： $%5Cfrac%7Ba%5E3%20%7D%7BT%5E2%20%7D%20%EF%BC%9Dconst$

3.開普勒定律的解釋

? ? ?由于開普勒第一定律的證明要用到較多高等數(shù)學(xué)知識，在這兒就不過多介紹了（另外它本來就是可以由天文觀測得到的，所以推導(dǎo)一遍就沒有必要了吧(?ω?)hiahiahia?

? ? ?接下來我們來看開普勒第二定律，我們在行星運(yùn)動過程中任取一時(shí)間微元dt（要多短有多短），在這個(gè)過程中，行星的運(yùn)動軌跡可視為勻速圓周運(yùn)動的一部分，我們知道，行星繞恒星運(yùn)動過程中受到的是有心力（力的方向恒指向一個(gè)點(diǎn)）的作用，此時(shí)，行星所受到的合力矩為零，角動量守恒。根據(jù)扇形面積公式我們可以先求出dt內(nèi)矢徑掃過的面積dS： $dS%EF%BC%9D%5Cpi%20R%5E2%5Cfrac%7B%5Comega%20dt%7D%7B2%5Cpi%20%7D%20%EF%BC%9D%5Cfrac%7B%5Comega%20R%5E2%20%7D%7B2%7D%20dt$ ，進(jìn)一步可以得到： $%5Cfrac%7BdS%7D%7Bdt%7D%20%EF%BC%9D%5Cfrac%7B%5Comega%20R%5E2%20%7D%7B2%7D%20%EF%BC%9D%5Cfrac%7B%5Cvec%7BL%7D%20%7D%7B2m%7D%20$ ，式中這個(gè)m即為行星的質(zhì)量，既然這個(gè)過程中角動量守恒，那么右邊那個(gè)式子也應(yīng)該是個(gè)定值，即：掃過面積對時(shí)間的導(dǎo)數(shù)（面積速度 $%5Cdot%7BS%7D%20$ ）是個(gè)定值，這樣我們便從理論上證明了開普勒第二定律。

? ? ? 那開普勒第三定律是怎么來的呢？既然我們已經(jīng)有了開普勒第二定律，接下來我們就可以根據(jù)開普勒第二定律證明出開普勒第三定律。

? ? 我們先設(shè)行星距橢圓幾何中心的距離為c，眾所周知，橢圓的面積為： $S%EF%BC%9D%5Cpi%20ab$ ，那上面我們定義的“面積速度”不就派上用場了嗎？ $T%EF%BC%9D%5Cfrac%7B%5Cpi%20ab%7D%7B%5Cfrac%7BdS%7D%7Bdt%7D%20%7D%20$

? ? ? ??我們也知道，萬有引力勢能為 $E_%7Bp%7D%20%EF%BC%9D%5Cint_%7B0%7D%5E%7Br%7D%20%5Cfrac%7BGMm%7D%7BR%5E2%20%7D%20dR%EF%BC%9D-%5Cfrac%7BGMm%7D%7Br%7D%20$ ，取近日點(diǎn)A和遠(yuǎn)日點(diǎn)B進(jìn)行研究，在兩點(diǎn)間進(jìn)行移動時(shí)，外力做功為零，故該天體機(jī)械能守恒： $%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%20mv%5E2-%5Cfrac%7BGMm%7D%7Br%7D%20%EF%BC%9Dconst$ ，將角動量守恒所得的 $v_%7Ba%7Dr%20_%7Ba%7D%EF%BC%9D%20v_%7Ba%7D%20r_%7Bb%7D%20$ 及 $v_%7Ba%7D%20$ （或 $v_%7Bb%7D%20$ ，這里代在A處的線速度 $v_%7Ba%7D%20$ ）代入得到 $v_%7Ba%7D%20%5E2%EF%BC%9D%5Cfrac%7B2GMr_%7Bb%7D%20%7D%7B%EF%BC%88r_%7Ba%7D%EF%BC%8B%20r_%7Bb%7D%EF%BC%89r_%7Ba%7D%20%20%7D%20$ ，由于這是一個(gè)橢圓，所以還有： $r_%7Ba%7D%EF%BC%9Da-c%E5%92%8C%20r_%7Bb%7D%20%EF%BC%9Da%EF%BC%8Bc$ ，根據(jù)橢圓的性質(zhì)、定義，存在關(guān)系 $b%5E2%EF%BC%8B%20c%5E2%20%EF%BC%9Da%5E2$ ，代入上（面幾）式得： $v_%7Ba%7D%20%EF%BC%9D%5Csqrt%7B%5Cfrac%7BGMr_%7Bb%7D%20%7D%7Bar_%7Ba%7D%20%7D%20%7D%20$ ，而我們的面積速度為 $%5Cdot%7BS%7D%20%EF%BC%9D%5Cfrac%7B%5Comega%20R%5E2%20%7D%7B2%7D%20$ ，乍一看，這不就是 $%5Cfrac%7BvR%7D%7B2%7D%20$ 嘛，于是我們繼續(xù)代： $%5Cfrac%7BdS%7D%7Bdt%7D%20%EF%BC%9D%5Csqrt%7B%5Cfrac%7BGMb%5E2%20%7D%7B4a%7D%20%7D%20$ ，代入我們的周期公式（順道推出了常量）得： $T%EF%BC%9D%5Csqrt%7B%5Cfrac%7B4%5Cpi%20%5E2%20a%5E3%20%7D%7BGM%7D%20%20%7D%20$ ，兩邊平方，整理得： $%5Cfrac%7Ba%5E3%7D%7BT%5E2%20%7D%20%EF%BC%9D%5Cfrac%7BGM%7D%7B4%5Cpi%20%5E2%20%7D%20%EF%BC%9Dconst$

? ?開普勒三定律（中的兩大定律）至此推導(dǎo)結(jié)束??(ˊωˋ*)??理解它的核心是要理解角動量守恒定律。然而以上定律僅適用于二體問題，舉世聞名的三體（多體）問題能否給出所有穩(wěn)定解至今仍沒有定論，這也使“三體問題”成了經(jīng)典物理學(xué)中的幾大謎團(tuán)之一…

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