同濟大學數(shù)學系高等數(shù)學考研題庫及真題復習資料

2023-02-18 21:36 作者:公子麟冷 0人讀過 | 我要投稿

以下是同濟大學數(shù)學系高等數(shù)學考研題庫及真題復習資料的介紹供考生們參考！

注：本資料為真題題庫視頻網(wǎng)課資料匯編，查找使用方法見文末！

同濟大學數(shù)學系高等數(shù)學考研歷年真題題庫視頻網(wǎng)課匯編：

平面及其方程

平面的點法式方程

設平面上一點Mo（×0，yo，z0）和它的一個法線向量n=（A，B，C），其平面方程表達式A（x-x0）+B（y-y0）+C（z-z0）=0此表達式又稱平面的點法式方程.

平面的一般方程

方程Ax+By+Cz+D=0稱為平面的一般方程，其中x，y，z的系數(shù)就是該平面的一個法線向量n的坐標，即n=（A，B C）.

（1）當D=0時，表示一個通過原點的平面；

（2）當A=0時，方程表示一個平行于（或包含）x軸的平面；同理，方程Ax+Cz+D=0和Ax+By+D=0分別表示平行于（或包含）y軸和z軸的平面；

（3）當A=B=0時，表示一個平行于（或重合于）xOy面的平面。同理，方程Ax+D=0和By+D=0分別表示一個平行于（或重合于）yOz面和xOz面的平面。

初等函數(shù)的連續(xù)性

（1）基本初等函數(shù)在它們的定義域內(nèi)都是連續(xù)的。

（2）一切初等函數(shù)在其定義區(qū)間內(nèi)都是連續(xù)的。

干、閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質

函數(shù)f（x）在閉區(qū)間[a，b]上連續(xù)

如果函數(shù)f（x）在開區(qū)間（a，b）內(nèi)連續(xù)，在右端點b左連續(xù)，在左端點a右連續(xù)，則函數(shù)f（x）就是在閉區(qū)間[a，b]上連續(xù)。

一致連續(xù)性

（1）一致連續(xù)與連續(xù)的關系

如果函數(shù)f（x）在區(qū)間I上一致連續(xù)，則f（x）在區(qū)間I上一定連續(xù)；當f（x）在區(qū)間I上連續(xù)，f（x）在區(qū)間I上不一定一致連續(xù)。

（2）一致連續(xù)性定理

如果函數(shù)f（x）在閉區(qū)間[a，b]上連續(xù)，則它在該區(qū)間上一致連續(xù)。

求華氏溫度（用F表示）和攝氏溫度（用C表示）的轉換公式，并求

（1）90F的等價攝氏溫度和-5C的等價華氏溫度；

（2）是否存在一個溫度值，使華氏溫度計和攝氏溫度計的讀數(shù)是一樣的？如果存在，則該溫度值是多少？

解：設F=mC+b，其中m，b均為常數(shù)。

因為F=32°相當于C=0°，F(xiàn)=212°相當于C=100°，所以b=32，m=（212-32）/100=1.8。

故F=1.8C+32或C=5（F-32）/9。

（1）F=90°，C=5（90-32）/9=32.2°。

C=-50，F(xiàn)=1.8x（-5）+32=23°。

（2）設溫度值符合題意，則有t=1.8t+32，t=-40因此當溫度值為-40°時，華氏溫度計和攝氏溫度計的讀數(shù)是一樣的。

兩個無窮小的商是否一定是無窮??？舉例說明之。

解：不一定。例如，a（x）=2x與B（x）=3x都是當x→0時的無窮小，但a（x）/β（x）=2/3卻不是當x→0時的無窮小。

假設函數(shù)f（x）在閉區(qū)間[0，1]上連續(xù)，并且對[0，1]上任一點x有0Sf（x）≤1。試證明[0，1]中必存在一點c，使得f（c）=c（c稱為函數(shù)f（x）的不動點）。

證：設F（x）=f（x）-x，則F（0）=f（0）≥0，F(xiàn)（1）=f（1）-150。

如果F（0）=0或F（1）=0，則0或1即為f（x）的不動點；如果F（0）>0且F（1）<0，則由零點定理，必存在cE（0，1），使F（c）=0，即f（c）=c，這時c為f（x）的不動點。

證明方程x=asinx+b，其中a>0，b>0，至少有一個正根，并且它不超過a+b。

證：設f（x）=x-asinx-b，則f（x）在閉區(qū)間[0，a+b]上連續(xù)，且f（0）=-b<0，f（a+b）=a[1-sin（a+b）]。當sin（a+b）<1時，f（a+b）>0，由零點定理，即知E（0，a+b），使f（）=0，即為原方程的根，它是正根且不超過a+b；當sin（a+b）=1時，f（a+b）=0，a+b就是滿足條件的正根。

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