[高中物理(拓展)]小球/斜面模型運動狀態(tài)的分析

2023-06-20 11:34 作者:現(xiàn)代微積分 0人讀過 | 我要投稿

今天來更一期有關高中物理中一些運動分析的拓展。

如圖：在光滑水平面上放置一斜面，一小球在斜面上，請對小球的運動狀態(tài)進行討論

分別對斜面和小球受力分析

其中， $F_%7BN_1%7D$ 為小球?qū)π泵娴膲毫Γ?img type="latex" class="latex" src="http://api.bilibili.com/x/web-frontend/mathjax/tex?formula=F_%7BN_1%7D'" alt="F_%7BN_1%7D'">為斜面對小球的支持力，二者為一對相互作用力(等大反向且垂直于斜面)； $F_%7BN_2%7D$ 為地面對斜面的支持力； $%5Ctheta$ 為斜面傾角

對斜面：

水平方向： $%7B%5Ccolor%7BRed%7D%20%7BF_%7BN_1%7D%7D%7D%20%5Csin%5Ctheta%20%3DM%7B%5Ccolor%7BGreen%7D%20%7Ba_M%7D%7D%20$ ①

$a_M$ 方向水平向右

豎直方向： $%7B%5Ccolor%7BPurple%7D%20%7BF_%7BN_2%7D%7D%7D%20%3DMg%2B%7B%5Ccolor%7BRed%7D%20%7BF_%7BN_1%7D%7D%7D%20%5Ccos%20%5Ctheta%20%0A$ ②

對小球：

沿斜面方向： $mg%5Ccos%20%5Ctheta%20%3Dma_%7Bm_1%7D%0A$

垂直斜面方向： $F_%7BN_1%7D'-mg%5Ccos%20%5Ctheta%20%3Dma_%7Bm_2%7D$

先是分析到此，我們發(fā)現(xiàn)正是由于斜面不是固定的，因此小球在垂直于斜面方向也會有位移，故垂直于斜面方向可能存在加速度，因此 $a_%7Bm_2%7D$ 不能忽略

為方便研究，我們可以考慮換系：從以地面為參考系換為以斜面為參考系

這時小球就會受到與原系中斜面的加速度等大反向的慣性加速度 $a_%7BM%7D'$ (大小關系: $a_%7BM%7D'%3Da_%7BM%7D$ )

在這個參考系下，小球就貼著斜面做直線運動了，即垂直于斜面方向受力平衡。這時再對小球受力分析就方便很多。

沿斜面方向： $%7B%5Ccolor%7BRed%7D%20%7BF_%7BN_1%7D'%7D%7D%20%2Bm%7B%5Ccolor%7BGreen%7D%20%7Ba_%7BM%7D'%7D%7D%20%5Csin%20%5Ctheta%20%3Dmg%5Ccos%20%5Ctheta%20$ ③

垂直斜面方向： $m%7B%5Ccolor%7BGreen%7D%20%7Ba_%7BM%7D'%7D%7D%20%5Ccos%20%5Ctheta%20%2Bmg%5Csin%20%5Ctheta%20%3Dm%7B%5Ccolor%7BOrange%7D%20%7Ba_m'%7D%7D%20$ ④

聯(lián)立①②③④，這里有 $%7B%5Ccolor%7BRed%7D%20%7BF_%7BN_1%7D%7D%7D%2C%7B%5Ccolor%7BGreen%7D%20%7Ba_M%7D%7D%20%2C%7B%5Ccolor%7BPurple%7D%20%7BF_%7BN_2%7D%7D%7D%2C%7B%5Ccolor%7BOrange%7D%20%7Ba_m'%7D%7D%20$ 四個未知數(shù)，可以先聯(lián)立①③解出 $%7B%5Ccolor%7BRed%7D%20%7BF_%7BN_1%7D%7D%7D%2C%7B%5Ccolor%7BGreen%7D%20%7Ba_M%7D%7D%20$

從而回代②④得出 $%7B%5Ccolor%7BPurple%7D%20%7BF_%7BN_2%7D%7D%7D%2C%7B%5Ccolor%7BOrange%7D%20%7Ba_m'%7D%7D%20$ ，最終解為：

$%5Cleft%5C%7B%5Cbegin%7Bmatrix%7D%0A%7B%5Ccolor%7BRed%7D%20%7BF_%7BN_1%7D%7D%7D%20%3D%5Cfrac%7BMmg%5Ccos%5Ctheta%20%7D%7BM%2Bm%5Csin%5E2%5Ctheta%7D%20%5C%5C%0A%7B%5Ccolor%7BGreen%7D%20%7Ba_M%7D%7D%20%3D%5Cfrac%7Bmg%5Csin%5Ctheta%5Ccos%5E2%5Ctheta%20%7D%7BM%2Bm%5Csin%5E2%5Ctheta%20%7D%2Bg%5Csin%20%5Ctheta%20%5C%5C%0A%7B%5Ccolor%7BPurple%7D%20%7BF_%7BN_2%7D%7D%7D%20%3DMg%2B%5Cfrac%7BMmg%5Ccos%5E2%5Ctheta%20%7D%7BM%2Bm%5Csin%5E2%5Ctheta%7D%5C%5C%0A%7B%5Ccolor%7BOrange%7D%20%7Ba_m'%7D%7D%20%3D%5Cfrac%7Bmg%5Csin%5Ctheta%5Ccos%5E2%5Ctheta%20%7D%7BM%2Bm%5Csin%5E2%5Ctheta%20%7D%20%0A%5Cend%7Bmatrix%7D%5Cright.$

其中 $a_m$ 為以斜面為參考系時的加速度，方向沿斜面向下，因此將參考系換回為地面時需要加回 $a_M$ (去掉慣性加速度復原)，即 $%5Coverrightarrow%7Ba_m%7D%20%3D%5Coverrightarrow%7Ba_m'%7D%2B%5Coverrightarrow%7Ba_M%7D$ (注意這里是矢量運算)

由圖知 $%5Cleft%20%5Clangle%20%5Coverrightarrow%7Ba_m'%7D~%2C~%5Coverrightarrow%7Ba_M%7D%20%5Cright%20%5Crangle%20%3D%5Cpi%20-%5Ctheta%20$

因此可通過取模運算 $%5Cleft%20%7C%20%5Coverrightarrow%7Ba_m%7D%20%5Cright%20%7C%20%20%3D%5Cleft%20%7C%20%5Coverrightarrow%7Ba_m'%7D%2B%5Coverrightarrow%7Ba_M%7D%20%5Cright%20%7C$ (兩邊平方再開方)可求出 $a_m$ 大小，這里就不具體算了