有個(gè)小朋友跟我說：他特別喜歡看籃球比賽，最喜歡的球星是湖人隊(duì)的勒布朗·詹姆斯。他曾經(jīng)把詹姆斯和歷史上的著名球員馬龍做過比較，結(jié)果發(fā)現(xiàn)了一個(gè)神奇的現(xiàn)象：在整個(gè)生涯中，無論是二分球的命中率還是三分球的命中率，詹姆斯都比馬龍高。但是如果把二分球和三分球加到一塊兒，詹姆斯的進(jìn)球率反而比馬龍要低了。這是怎么回事兒呢？

實(shí)際上，這是統(tǒng)計(jì)學(xué)上的一個(gè)著名悖論——辛普森悖論。最早由愛德華·辛普森在1951年發(fā)表的論文中進(jìn)行了詳細(xì)闡述。辛普森悖論是指：當(dāng)我們進(jìn)行統(tǒng)計(jì)比較的時(shí)候，如果對數(shù)據(jù)進(jìn)行分層，統(tǒng)計(jì)結(jié)果與整體可能是不同的。下面我們通過幾個(gè)例子來認(rèn)識(shí)這個(gè)悖論。

01??錄取比例問題

歷史上一個(gè)比較典型的辛普森悖論的例子，是美國加州大學(xué)伯克利分校的錄取比例問題。伯克利是美國的一所著名大學(xué)，建校一百多年來，一共誕生了110位諾貝爾獎(jiǎng)得主、14位菲爾茲獎(jiǎng)得主、25位圖靈獎(jiǎng)得主。原子彈之父奧本海默、著名華人物理學(xué)家朱棣文、華裔物理學(xué)家吳健雄，還有數(shù)學(xué)家丘成桐、陳省身，都在伯克利學(xué)習(xí)和工作過。

可是1973年的秋天，伯克利公布的研究生招生名單卻引起了一場風(fēng)波。那一年，許多女同學(xué)向?qū)W校表達(dá)了強(qiáng)烈抗議，因?yàn)閺恼猩麊蝸砜矗猩暾堈咧杏?4%被錄取，而女生申請者只有35%被錄取，男生錄取率是女生的1.25倍！這簡直是赤裸裸的歧視！

壓力之下，伯克利大學(xué)被迫展開調(diào)查，結(jié)果發(fā)現(xiàn)：許多部門招收學(xué)生時(shí)，反而是女性錄取比例更高，這到底是怎么回事呢？

我們用一些虛擬的數(shù)據(jù)來說明一下這個(gè)問題。假設(shè)有100個(gè)男同學(xué)和100個(gè)女同學(xué)申請伯克利的研究生，他們分別申請了物理學(xué)院和文學(xué)院。

男生中有80人申請物理學(xué)院，錄取38人；20人申請文學(xué)院，錄取2人；

女生中有20人申請物理學(xué)院，錄取14人；80人申請文學(xué)院，錄取16人。

錄取結(jié)果和比例如下：

我們首先分組比較數(shù)據(jù)：男生申請物理學(xué)院的通過率是47.5%，女生申請物理學(xué)院的通過率有70%，女生的通過率要比男生高很多。男生申請文學(xué)院的錄取率為10%，女生的錄取率是20%，女生通過的幾率是男生的兩倍。單獨(dú)從兩個(gè)學(xué)院的數(shù)據(jù)來看，好像不是女生受到了歧視，反而是男生受到了歧視。

但從總體的數(shù)據(jù)來看，提交申請的男生和女生都是100人，男生有40個(gè)人被錄取，女生只有30個(gè)人被錄取，男生的錄取比例比女生多出1/3，這樣看來好像又變成了歧視女性。

為什么數(shù)據(jù)都是一樣的，卻能得到兩種不同的結(jié)論呢？這就是辛普森悖論。

各種陰謀家往往會(huì)利用辛普森悖論煽動(dòng)大眾：如果我想批評伯克利歧視男性，就可以隱藏總體數(shù)據(jù)，只讓你看到每個(gè)學(xué)院的錄取數(shù)據(jù)——每個(gè)學(xué)院的女生錄取比例都比男生要高，這樣就可以呼吁男同胞們起來對抗學(xué)校了。反過來，如果我是個(gè)女權(quán)主義者，就可以避開每個(gè)學(xué)院的數(shù)據(jù)，只給出總體錄取數(shù)據(jù)——同樣的人數(shù)申請同一所學(xué)校，憑什么男生錄取比例比女生高1/3？這難道不是涉嫌歧視女性嗎？

02??腎結(jié)石的治愈率

辛普森悖論還有另一個(gè)典型案例——腎結(jié)石的治療方法。

腎結(jié)石患者往往需要通過手術(shù)的方法治療，手術(shù)方式有兩種：一種方法是開放式手術(shù)，它可能對人造成較大創(chuàng)傷；另一種方法是封閉式手術(shù)，用內(nèi)窺鏡把結(jié)石取出來，手術(shù)創(chuàng)傷較小。患者的結(jié)石情況也可分為小結(jié)石和大結(jié)石兩種，醫(yī)生會(huì)按照結(jié)石大小選擇不同的治療方案。

某位醫(yī)生對兩種治療方法的治愈率進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)。開放式手術(shù)案例共350例，其中273例有效。封閉式手術(shù)共350例，其中289例有效。具體數(shù)據(jù)如下：

大家看：小結(jié)石患者中87人使用開放式手術(shù)治療，治愈率達(dá)到93%；有270人選擇了封閉式手術(shù)，治愈率是87%，這樣來看，對于小結(jié)石患者，似乎開放式治療的效果更好一點(diǎn)。

再看有大結(jié)石的患者：有263人選擇了開放式手術(shù)，治愈率是73%；有80人選擇了封閉式手術(shù)，治愈率是69%，大結(jié)石患者，依然應(yīng)該選用開放式手術(shù)，因?yàn)樗娜壤摺?br>

既然不管是大結(jié)石還是小結(jié)石，都是開放式手術(shù)的治愈率更高，那我們是否應(yīng)該只給病人推薦開放式手術(shù)呢？先別急，假如我們看一下總體數(shù)據(jù)，就會(huì)發(fā)現(xiàn)開放式手術(shù)的平均治愈率是78%，而封閉式手術(shù)的平均治愈率有83%，這樣一來，反而是封閉式手術(shù)的效果更好。這又構(gòu)成了辛普森悖論。

假如醫(yī)生想推薦開放式手術(shù)，就可以只向患者展示分層數(shù)據(jù)?；颊甙l(fā)現(xiàn)：不管大小結(jié)石，開放式手術(shù)的治愈率都更高，肯定會(huì)傾向于開放式療法。反過來，如果醫(yī)生想要推薦封閉式手術(shù)，就會(huì)隱去分層數(shù)據(jù)，只給患者展示總體數(shù)據(jù)，同樣是350名患者，封閉式手術(shù)的治愈率更高，患者自然希望采用封閉式手術(shù)。同樣的數(shù)據(jù)，用不同的表述方式就得出了不同的結(jié)論。

03??籃球的命中率

現(xiàn)在，我們來看看詹姆斯和馬龍的投籃命中率問題。詹姆斯和馬龍都是著名的長壽球員，馬龍退役時(shí)40歲，詹姆斯今年36歲，依然活躍在籃球場上。

如果我們忽略罰球數(shù)據(jù)，統(tǒng)計(jì)在整個(gè)生涯中詹姆斯和馬龍的投籃數(shù)據(jù)，會(huì)得到下面這張表：

我們可以發(fā)現(xiàn)：單獨(dú)看二分球，詹姆斯的命中率有54.9%，高于馬龍的51.9%；詹姆斯的二分球命中率高出3個(gè)百分點(diǎn)。單獨(dú)看三分球，詹姆斯命中率34.4%，馬龍27.4%，詹姆斯的命中率高出7個(gè)百分點(diǎn)！既然二分球和三分球，詹姆斯的命中率都高，那么整體命中率應(yīng)該也是詹姆斯更高才對。

可是事實(shí)并非如此。如果把二分三分球加到一起，詹姆斯的平均命中率是50.4%，居然低于馬龍的51.6%平均命中率，這也是辛普森悖論。

同樣的數(shù)據(jù)也可能會(huì)因人的喜好而選擇不同的解讀方式，如果一個(gè)人更喜歡詹姆斯，就可以用二分球和三分球的分層數(shù)據(jù)支持自己；同樣如果另一個(gè)人喜歡馬龍，則可以只討論全體命中率。

04??為什么會(huì)出現(xiàn)悖論？

為什么會(huì)出現(xiàn)這種奇怪的現(xiàn)象呢？一般而言，辛普森悖論有兩個(gè)條件。

首先，分層數(shù)據(jù)中每一層的成功率有顯著不同。例如：伯克利的物理學(xué)院錄取率在男女生中分別是47.5%和70%，相對于文學(xué)院的錄取率10%、20%高得多；用兩種不同方式治療小結(jié)石，治愈率在90%左右，大結(jié)石不好治，兩種方式的治愈率都在70%左右；二分球更好命中，詹姆斯和馬龍的命中率都超過50%，三分球不好進(jìn)，他們的命中率都在30%左右。每一層成功率有顯著差別，這就是辛普森悖論的第一個(gè)條件。

其次，作比較的兩者在分層數(shù)據(jù)中的分配比例不同。比如：申請伯克利的男同學(xué)雖然在兩個(gè)物理學(xué)院和文學(xué)院的錄取比例都低于女同學(xué)，但是更多的男同學(xué)（80人）申請了比較容易通過的物理學(xué)院，而更多的女同學(xué)（80人）申請了比較難通過的文學(xué)院。所以，雖然整體來講，男同學(xué)通過的比例反而會(huì)高一些。

再來看治療腎結(jié)石的例子：大結(jié)石本身治愈率就低，很多大結(jié)石患者都選用了難度較大的開放性療法來；小結(jié)石容易被治愈，大部分采用了創(chuàng)傷較小的封閉式療法。所以封閉式療法的整體治愈率會(huì)高一些——它治療了更多的輕癥患者。

同樣道理，詹姆斯雖然二分球和三分球進(jìn)球率都高，但是他投了5409個(gè)三分球，拉低了自己的平均命中率。而馬龍生涯中只投了310個(gè)三分球，于是整體命中率就會(huì)接近于二分球命中率，這就比詹姆斯的平均命中率高了。

做每一件事的成功率不同，如果一個(gè)人多去干那些成功率高的事，就會(huì)讓他的整體成功率變大，這就是辛普森悖論的本質(zhì)。順便一說，為了衡量一個(gè)球員的真正實(shí)力，人們又發(fā)明了真實(shí)命中率的概念，它綜合了投籃命中率、三分球命中率和罰球命中率：

詹姆斯在17年的生涯中真實(shí)命中率是58.6%，而馬龍?jiān)?9年的生涯中是57.7%。

05??辛普森悖論的幾何解釋

我們還可以通過幾何的方法來研究這個(gè)問題。投籃次數(shù)和命中次數(shù)畫在直角坐標(biāo)系中，橫坐標(biāo)是投籃的次數(shù)，縱坐標(biāo)是進(jìn)球的次數(shù)，例如詹姆斯的二分球和三分球矢量圖如下：

我們知道：一條線的斜率k等于縱坐標(biāo)與橫坐標(biāo)之比，在本例中就表示投籃命中率——直線越豎，命中率就越高；直線越平，命中率就越低。圖中表示出了二分球的命中率高于三分球。

整體投籃命中率怎么計(jì)算呢?數(shù)學(xué)上可以證明：只要我們用二分球矢量和三分球矢量為鄰邊做一個(gè)平行四邊形，這個(gè)平行四邊形對角線矢量就表示整體投籃出手次數(shù)和命中次數(shù)，它的斜率就表示平均命中率。

再進(jìn)一步：為什么馬龍的二分球和三分球命中率都低，但是整體命中率卻高呢？請看下面的示意圖：

用黃色線表示馬龍的數(shù)據(jù)，紫色線表示詹姆斯的數(shù)據(jù)。馬龍的三分球命中率（A1）低于詹姆斯（B1），馬龍的二分球命中率（A2）也低于詹姆斯（B2），但是，馬龍的三分球少（A1短），二分球多（A2長），詹姆斯的三分球多（B1長）而二分球少（B2短），利用平行四邊形法則求出整體命中率后，馬龍就更高一些（kA斜率比kB大）。

在我們的生活當(dāng)中，每時(shí)每刻都會(huì)接觸到不同的數(shù)據(jù)。比如說作為一個(gè)老師，要看學(xué)生們考試的平均分；作為一個(gè)銷售，要看自己每個(gè)月的接單情況和成交率……馬克吐溫說：世界上有三種謊言：謊言、糟透了的謊言和統(tǒng)計(jì)數(shù)字。

雖然數(shù)據(jù)是客觀和真實(shí)的，但是不同的人利用同樣的數(shù)據(jù)卻可以講出不同的故事。用真實(shí)的數(shù)據(jù)推測出一個(gè)未經(jīng)證實(shí)的結(jié)論，并以此為根據(jù)煽動(dòng)仇恨達(dá)到自己的目的，是許多陰謀論的最愛。比如，下圖是我在網(wǎng)上找到的兩個(gè)城市最近六個(gè)月二手房成交均價(jià)走勢圖，你會(huì)得到什么結(jié)論呢？

你是否會(huì)認(rèn)為：城市A房價(jià)暴跌，而城市B房價(jià)平穩(wěn)呢？

其實(shí)，A和B都是北京市，只是在作圖時(shí)，縱坐標(biāo)（價(jià)格）的起始位置不同而已。

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