留數(shù)定理應(yīng)用的小易錯點(diǎn)||數(shù)理方法

2021-02-18 10:31 作者:湮滅的末影狐 0人讀過 | 我要投稿

//我們在之前的文章里已經(jīng)了解過，借助復(fù)變函數(shù)的留數(shù)定理可以計算實(shí)變函數(shù)的定積分。

//我在寫習(xí)題的時候發(fā)現(xiàn)一個需要注意的小問題。

我們在留數(shù)定理一章中：

提過以下定理：

若 $f(z)$ 在上半平面除有限個奇點(diǎn)外解析，實(shí)軸上無奇點(diǎn)，且 $%7B%5Crm%20Im%7Dz%5Cgeqslant0$ 時， $zf(z)$ 一致趨于0，則有

$%5Cint_%7B-%5Cinfty%7D%5E%5Cinfty%20f(x)%20%5Cmathrm%20dx%3D2%5Cpi%20%5Cmathrm%20i%5Csum_%7B%7B%5Crm%20All%5C%3B%20Im%7Dz%3E0%7D%7B%5Crm%20Res%7Df(z)$

題：求 $%5Cint_%7B0%7D%5E%5Cinfty%20%5Cfrac%7B%5Ccos%20x%7D%7B(x%5E2%2Ba%5E2)(x%5E2%2Bb%5E2)%7D%5Cmathrm%20dx$

法1：注意到被積函數(shù)為偶函數(shù)，則有

$%5Cbegin%7Baligned%7D%0A%26%20%5Cint_%7B0%7D%5E%5Cinfty%20%5Cfrac%7B%5Ccos%20x%7D%7B(x%5E2%2Ba%5E2)(x%5E2%2Bb%5E2)%7D%5Cmathrm%20dx%5C%5C%0A%3D%20%26%20%5Cfrac12%5Cint_%7B-%5Cinfty%7D%5E%5Cinfty%20%5Cfrac%7B%5Ccos%20x%7D%7B(x%5E2%2Ba%5E2)(x%5E2%2Bb%5E2)%7D%5Cmathrm%20dx%5C%5C%0A%3D%26%20%5Cpi%20%5Cmathrm%20i%20%5B%7B%5Crm%20Res%7Df(%5Cmathrm%20ia)%2B%7B%5Crm%20Res%7Df(%5Cmathrm%20ib)%5D%0A%5Cend%7Baligned%7D$

其中 $f(z)%3D%20%5Cfrac%7B%5Ccos%20x%7D%7B(x%5E2%2Ba%5E2)(x%5E2%2Bb%5E2)%7D$ 在上半平面有奇點(diǎn) $z%3D%5Cmathrm%20ia%2C%5Cmathrm%20ib$

而留數(shù)容易計算，

$%7B%5Crm%20Res%7Df(%20%5Cmathrm%20ia)%3D%20%5Clim_%7Bz%5Crightarrow%5Cmathrm%20ia%7D%20(z-%5Cmathrm%20ia)f(z)%3D%5Cfrac%7B%5Ccosh%20a%7D%7B2%5Cmathrm%20ia%20(b%5E2-a%5E2)%7D$

$%7B%5Crm%20Res%7Df(%5Cmathrm%20ib)%3D%5Cfrac%7B%5Ccosh%20b%7D%7B2%5Cmathrm%20ib%20(a%5E2-b%5E2)%7D$

于是所求積分值為 $%5Cfrac%7B%5Cpi(%5Ccosh%20a%2Fa-%5Ccosh%20b%2Fb)%7D%7B2(b%5E2-a%5E2)%7D$

法2：利用歐拉公式，

$%5Cbegin%7Baligned%7D%0A%26%5Cint_%7B0%7D%5E%5Cinfty%20%5Cfrac%7B%5Ccos%20x%7D%7B(x%5E2%2Ba%5E2)(x%5E2%2Bb%5E2)%7D%5Cmathrm%20dx%5C%5C%0A%3D%26%5Cfrac12%5Cint_%7B0%7D%5E%5Cinfty%20%5Cfrac%7Be%5E%7B%5Cmathrm%20i%20x%7D%2Be%5E%7B-%5Cmathrm%20i%20x%7D%7D%7B(x%5E2%2Ba%5E2)(x%5E2%2Bb%5E2)%7D%5Cmathrm%20dx%5C%5C%0A%3D%26%5Cfrac12%5Cint_%7B-%5Cinfty%7D%5E%5Cinfty%20%5Cfrac%7Be%5E%7B%5Cmathrm%20ix%7D%7D%7B(x%5E2%2Ba%5E2)(x%5E2%2Bb%5E2)%7D%5Cmathrm%20dx%5C%5C%0A%3D%26%5Cpi%20%5Cmathrm%20i%20%5B%7B%5Crm%20Res%7Dg(%5Cmathrm%20ia)%2B%7B%5Crm%20Res%7Dg(%5Cmathrm%20i%20b)%5D%5C%5C%0A%3D%26...%5C%5C%0A%3D%26%5Cfrac%7B%5Cpi(e%5E%7B-a%7D%2Fa-e%5E%7B-b%7D%2Fb)%7D%7B2(b%5E2-a%5E2)%7D%0A%5Cend%7Baligned%7D$

其中 $g(z)%3D%5Cfrac%7Be%5E%7B%5Cmathrm%20iz%7D%7D%7B(z%5E2%2Ba%5E2)(z%5E2%2Bb%5E2)%7D$

所以現(xiàn)在兩個方法的結(jié)果不一樣了。

這是一個易錯點(diǎn)，問題出在前面定理的使用條件：

$%7B%5Crm%20Im%7Dz%5Cgeqslant0$ 時， $zf(z)$ 一致趨于0.

法一中 $f(z)$ 的分子為 $%5Ccos%20z%20%3D%20%5Cfrac%7Be%5E%7B%5Cmathrm%20iz%7D%2Be%5E%7B-%5Cmathrm%20iz%7D%7D%7B2%7D$

而 $%7Ce%5E%7B-%5Cmathrm%20iz%7D%7C%3D%7Ce%5E%7B%7B%5Crm%20Im%7Dz%7De%5E%7B-%5Cmathrm%20i%20%7B%5Crm%20Re%7Dz%7D%7C%3De%5E%7B%7B%5Crm%20Im%7Dz%7D$ 是無法在上半平面收斂到0的，這就導(dǎo)致以上條件無法滿足，法一是不能使用留數(shù)定理的！