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利用常見不等式推導(dǎo)“對(duì)數(shù)均值不等式”

2023-06-22 14:36 作者:數(shù)學(xué)老頑童 0人讀過 | 我要投稿

我們熟知：

$%5Cbbox%5B%23def%2C5px%2Cborder%3A1px%20solid%5D%7B%0A%5Cforall%20x%5Cin%20%5Cleft(%201%2C%2B%5Cinfty%20%5Cright)%20%2C%5Cln%20%20x%3E%5Cfrac%7B2%5Cleft(%20x-1%20%5Cright)%7D%7Bx%2B1%7D.%7D$

在上式中，換元，令 $x%3D%5Cfrac%7Ba%7D%7Bb%7D$ ，

則 $%5Cln%20%5Ccolor%7Bred%7D%7B%5Cfrac%7Ba%7D%7Bb%7D%7D%3E%5Cfrac%7B2%5Cleft(%20%5Ccolor%7Bred%7D%7B%5Cfrac%7Ba%7D%7Bb%7D%7D-1%20%5Cright)%7D%7B%5Ccolor%7Bred%7D%7B%5Cfrac%7Ba%7D%7Bb%7D%7D%2B1%7D$ ，

即 $%5Cln%20%20a-%5Cln%20%20b%3E%5Cfrac%7B2%5Cleft(%20a-b%20%5Cright)%7D%7Ba%2Bb%7D$ ，

即 $%5Ccolor%7Bred%7D%7B%5Cfrac%7Ba-b%7D%7B%5Cln%20%20a-%5Cln%20%20b%7D%3C%5Cfrac%7Ba%2Bb%7D%7B2%7D%7D$ .

我們熟知：

$%5Cbbox%5B%23def%2C5px%2Cborder%3A1px%20solid%5D%7B%0A%5Cforall%20x%5Cin%20%5Cleft(%201%2C%2B%5Cinfty%20%5Cright)%20%2C%5Cln%20%20x%3C%5Csqrt%7Bx%7D-%5Cfrac%7B1%7D%7B%5Csqrt%7Bx%7D%7D.%7D$

在上式中，換元，令 $x%3D%5Cfrac%7Ba%7D%7Bb%7D$ ，

則 $%5Cln%20%5Ccolor%7Bred%7D%7B%5Cfrac%7Ba%7D%7Bb%7D%7D%3C%5Csqrt%7B%5Ccolor%7Bred%7D%7B%5Cfrac%7Ba%7D%7Bb%7D%7D%7D-%5Cfrac%7B1%7D%7B%5Csqrt%7B%5Ccolor%7Bred%7D%7B%5Cfrac%7Ba%7D%7Bb%7D%7D%7D%7D$ ，

即 $%5Cln%20%20a-%5Cln%20%20b%3C%5Cfrac%7Ba-b%7D%7B%5Csqrt%7Bab%7D%7D$ ，

即 $%5Cfrac%7Ba-b%7D%7B%5Cln%20%20a-%5Cln%20%20b%7D%3E%5Csqrt%7Bab%7D$ .

綜上所述：

$%5Cbbox%5B%23def%2C5px%2Cborder%3A1px%20solid%5D%7B%0A%5Csqrt%7Bab%7D%3C%5Cfrac%7Ba-b%7D%7B%5Cln%20%20a-%5Cln%20%20b%7D%3C%5Cfrac%7Ba%2Bb%7D%7B2%7D.%7D$