? ? Freyd-Mitchell嵌入定理告訴我們，小Abel范疇可嵌入模范疇乃至Abel群范疇，其證明可以寫(xiě)成一本書(shū)（見(jiàn)【2】），下面我們簡(jiǎn)單討論其基本思路。

? ? 先從Yoneda引理出發(fā)，設(shè)C是范疇，A∈Ob（C）且記h_A = Hom（A, -），若G：C→Set是共變函子，則存在雙射

? ? ? ? ? ? Y：Nat（h_A, G）→ G（A）

由Y：τ→τ_A（1_A）給出

? ? 推論，當(dāng)G=h_B時(shí)，有Y：Nat（h_A, h_B）→ Hom（B，A）.

? ? 有的文獻(xiàn)上記h_A = Hom（-， A），得到的是反變函子的Yoneda引理。

? ? 由此出發(fā)，我們有下面的Yoneda嵌入：設(shè)C是小范疇，則存在函子Y：C^op →（Set）^C，它在對(duì)象上的單射且其像是（Set）^C的完全子范疇。

? ? 這里小范疇的要求來(lái)源于函子范疇的定義，小范疇I(yíng)到范疇C的函子范疇，其對(duì)象是I到C的函子，函子F與G的態(tài)射可定義為：

? ? ? ? ? ? Hom（F，G）= Π(i∈I) Hom（F（i），G（i））

通常我們要求作為極限的指標(biāo)是一個(gè)集合。

? ? 接下來(lái)，設(shè)A是小Abel范疇，此時(shí)（Set）^A也是Abel范疇。事實(shí)上，有Yoneda定理的推論，其Yoneda嵌入的像在取Abel群值的函子范疇（Ab）^A內(nèi)，它是一個(gè)Grothendieck范疇，下面我們補(bǔ)充相關(guān)的定義。

? ? Abel范疇C有下面附加公理：

? ? AB3：存在（無(wú)限）直和（即上積），由于Abel范疇有上核（上等值子），因此它是上完備的。

? ? AB4：存在直和和直和保持單射，因此直和函子是正合的。

? ? AB5：存在直和且滿(mǎn)足對(duì)A∈Ob（C）的任何子集族（A_i）與B∈Ob（C），

? ? ? ? ? ? ?（Σ(i∈I)A_i）∩ B = Σ(i∈I)（A_i ∩ B）

這等價(jià)于正向極限的正合性。

? ? U∈Ob（C）稱(chēng)為范疇C的生成元，若Hom（U，-）是忠實(shí)的。有生成元的AB5范疇稱(chēng)為Grothendieck范疇。任何R-模范疇R-mod都是Grothendieck范疇，但模的反向極限可以不是正合的，因此R-模范疇的反范疇（R-mod）^op不滿(mǎn)足AB5公理，自然不是Grothendieck范疇。

? ? 可以證明，若C是Abel范疇，小范疇的函子范疇C^I也是Abel范疇，若C還滿(mǎn)足公理AB3，AB4，AB5，則函子范疇C^I也滿(mǎn)足相應(yīng)公理。此外，若C有生成元，則C^I也有生成元。

? ? 由此可得，對(duì)任何小Abel范疇A，函子范疇（Ab）^A就是Grothendieck范疇。??

? ? 下面我們要說(shuō)明Grothendieck范疇有內(nèi)射包，為此先說(shuō)明它有足夠多的內(nèi)射對(duì)象。

? ? 由Gabriel-Popesco定理（見(jiàn)【4】），設(shè)U是Grothendieck范疇C的生成元，記R = End（U），則C同構(gòu)于R-模范疇R-mod的商。這樣我們可以從R-mod范疇有足夠多內(nèi)射對(duì)象，推出Grothendieck范疇也有足夠多的內(nèi)射對(duì)象。

? ??在Grothendieck范疇中，可以定義包含映射A→B是本性擴(kuò)張，若對(duì)任何B→C，若復(fù)合A→B→C是單射，則B→C是單射。

? ??類(lèi)似環(huán)論情形，我們可以證明（參見(jiàn)【3】與【4】）：

? ? 1）?Q是內(nèi)射的 iff Q沒(méi)有真本性擴(kuò)張。

? ??2）對(duì)象A的極大本性擴(kuò)張就是它的內(nèi)射包。

? ? 由此可得，在Gothendieck范疇中，對(duì)象A有內(nèi)射包E（A） iff 它有內(nèi)射擴(kuò)張。

? ? 綜上所述，Grothendieck范疇的任何對(duì)象都有內(nèi)射包。

??

? ?對(duì)小Abel范疇A，我們先用Yoneda引理使其對(duì)應(yīng)的表示函子h_A，然后在有生成元的Grothendieck范疇Ab^A中考慮其內(nèi)射包E（h_A），就得到了A^op到Ab^A的映射。

? ? 函子F稱(chēng)為單函子（monofunctor），若它把單態(tài)射映射為單態(tài)射。接下來(lái)我們依靠下面兩個(gè)引理：

? ? 1）Abel范疇到Abel群的內(nèi)射函子是右正合的。

? ? 2）設(shè)函子E是M的本性擴(kuò)張，若M是單函子，則E也是單函子。

? ? 由引理1）可得，A → E（h_A）是右正合的，而引理2）則得到它還保持單態(tài)射，因此它就是正合的嵌入函子。

? ? 這樣我們就把小Abel范疇嵌入了Abel群的范疇，這使得我們可以像模范疇一樣用元素來(lái)處理問(wèn)題，比如證明蛇形引理等等。

? ? 擴(kuò)展閱讀：

? ? 【1】Rotman J J, Rotman J J. An introduction to homological algebra[M]. New York: Springer, 2009. （同調(diào)代數(shù)經(jīng)典參考書(shū)，包括大量預(yù)備知識(shí)，簡(jiǎn)述了Freyd-Mitchell嵌入定理的證明梗概）

?【2】Freyd P J. Abelian categories[M]. New York: Harper & Row, 1964. （用箭頭語(yǔ)言敘述的Abel范疇經(jīng)典參考書(shū)，主要就是證明Freyd-Mitchell嵌入定理）

【3】Mitchell B. Theory of categories[M]. Academic Press, 1965. （早期的范疇論參考書(shū)，比較詳細(xì)的介紹Grothendieck范疇與小Abel范疇的Freyd-Mitchell嵌入定理）

【4】Faith C. Algebra: rings, modules and categories I[M]. Springer Science & Business Media, 2012. （代數(shù)學(xué)的小字典，包括Grothendieck范疇，Gabriel-Popesco定理等相關(guān)內(nèi)容）

? 【5】Tan Junhan A. The Freyd-Mitchell Embedding Theorem[J]. arXiv e-prints, 2019: arXiv: 1901.08591. （自包含介紹Freyd-Mitchell嵌入定理，可以視為是【2】的小結(jié)）

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