眾所周知，量子力學是物理學專業(yè)必修的一門課程。在眾多經(jīng)典教科書中，人們學習到的量子理論，幾乎全部源于上世紀20年代誕生的波動力學和矩陣力學，其解釋基于哥本哈根詮釋。當然，也有許多人聽說過其他的詮釋，比如多世界詮釋或者本文將要介紹的玻姆力學。 作為一種與一般教科書中截然不同的量子力學理論，玻姆力學其實已經(jīng)發(fā)展多年，甚至在近些年相關研究者在實驗檢驗和理論預言方面都做出了很好的工作，展現(xiàn)了這一理論的“威力”。然而，國內(nèi)對于這一理論介紹和科普較少，本文將從玻姆力學的由來談起，介紹其關鍵的“量子勢”概念，希冀讀者快速了解玻姆力學。

撰文 | 董唯元

量子測量問題，一直是所有量子理論都必須面對的重要問題之一。在正統(tǒng)量子力學教科書上，粒子的位置和動量這些可觀測物理量，只有在被測量的瞬間才確定下來，平時則是裹挾著若干可能的值一起演化。

我們只要圍繞著量子態(tài)進行一番計算，就可以對測量結果做出預言。但量子態(tài)本身不是個可以觀測的對象，就像一個人的行為表現(xiàn)受他自己的性格支配著，但我們卻無法通過解剖直接看到他的性格。

正如性格只是概率性地支配著行為一樣，量子態(tài)也是概率性地描述著粒子的可能表現(xiàn)。從這個角度上說，量子態(tài)確實很像是粒子的性格，不過這個比喻的不恰當之處也非常明顯。一個對中餐和西餐都非常熱愛的吃貨，不會因為吃了一頓西餐就徹底放棄中餐。可是一個原本同時包含自旋向上和自旋向下兩種狀態(tài)的粒子，卻會在一次測量之后，就徹底地塌縮為向上或向下的單一狀態(tài)。

對于這種在測量過程中產(chǎn)生跳變的量子態(tài)演化過程，我們要么借助多世界的說法，從總體上保留所有因果聯(lián)系；要么干脆擁抱隨機性，將概率置于比肩因果甚至更基礎的層面。除此之外，我們是否還有其他的理解角度呢？

玻姆力學（Bohmian mechanics）就提供了一種完全不同的視角。借助一個神秘的“量子勢（Quantum potential）”概念，玻姆力學可以將量子測量過程還原成直觀經(jīng)典圖像。每個粒子都時刻具有確定的位置和速度，并在牛頓定律的制約下運動演化，其狀態(tài)與是否被測量無關，更不會因測量發(fā)生跳變。這個理論堅定地維護著確定性因果在物理學規(guī)律中的核心基礎地位，不需要粒子像孫悟空那樣具有分身之術來支撐概率。至于實驗現(xiàn)象中的那些概率性呈現(xiàn)，在這個理論中只是類似熱力學一樣的統(tǒng)計效應。

編輯切換為居中

玻姆理論中粒子通過雙縫后的行走路徑丨圖源：維基百科

玻姆力學的由來

玻姆力學也稱“德布羅意-玻姆理論（De Broglie–Bohm theory）”，最初是作為一種量子理論的詮釋被提出來。1926年薛定諤方程發(fā)表之后，物理學家們都在努力嘗試理解方程中的波函數(shù)到底代表什么東西的振動。玻恩提出的概率波解釋，盡管被巨擘愛因斯坦和薛定諤極力反對，卻很快被玻爾為首的哥本哈根學派采納。

與此同時，物質波概念的提出者，德布羅意，也在構建一種對波粒二象性的解讀。他認為，時空中振動著的場應該是客觀實體，而粒子則是由非常特殊的振動方式所形成的奇異點或奇異區(qū)域。這些奇異點能垂直于波陣面向前行走，就讓我們以為看到了粒子。其實粒子本質上不是客觀實體，只是波場中奇異幾何點而已。

至于粒子所表現(xiàn)出的概率特性，則可以用輻射強度來解釋。粗略地說，那個實體波振幅的平方就是輻射強度，而輻射強度大的地方出現(xiàn)奇異點的機會就更多。測量粒子時所看到的概率性呈現(xiàn)，只是一種統(tǒng)計效應，而不是玻恩所說的波動內(nèi)容本身。

德布羅意將自己的詮釋稱為“雙重解（double solution）”，因為它建立在同一波動方程的兩種不同解之上，一種是普通的連續(xù)性解，承載著波動性，另一種是被視為粒子的奇異解，表現(xiàn)出粒子性。

在1927年那次物理學史上空前絕后的索爾維會議上，除了愛因斯坦與玻爾之間的精彩辯論之外，德布羅意也向眾人展示了他的“雙重解”思想。由于他將演講的標題是“導航波（pilot wave）”，所以后來這一理論被更多地稱為導航波理論，而不是雙重解理論。

1927年第五次索爾維會議參與者，這29人中有17位諾貝爾獎得主。丨圖源：維基百科

對導航波理論來說，在索爾維會議上的亮相是一場災難。腦子快性子急的泡利當場指出，這個理論雖然能解釋雙縫干涉實驗，但在更一般的場景中就只能描述單粒子的行為，當考慮兩個粒子碰撞散射時，理論就會瞬間崩潰，更遑論復雜的多粒子系統(tǒng)。

被駁斥得啞口無言的德布羅意事后很快放棄了自己的想法，從此服服帖帖地皈依哥本哈根詮釋，奉玻恩定則為圭臬。參會的其他頂級大咖也都目睹了這一幕，在此后的很長一段時間內(nèi)，那一代研究者都對導航波理論敬而遠之。直到25年之后的1952年，這個理論思想才由大衛(wèi)·玻姆（David Bohm）重新挖掘出來并加以修葺。

與德布羅意的想法不同，玻姆認為粒子就是真實的客觀實體，不是波場中的奇異點，同時波也是客觀實體。所謂“波粒二象性”就是指，每個實體粒子都像傀儡一樣被自己的導航波挾持著。撞墻的事情由粒子來做，對外表現(xiàn)出能量交換時的粒子性；而運動時的路線被導航波約束著，表現(xiàn)出波動性。當然，如果有多個粒子存在，導航波也會互相干擾，每個粒子的運動也受到其他導航波的影響。

本圖為作者自己亂畫的大略示意圖，請忽略圖中數(shù)以噸計的不嚴謹細節(jié)。

在玻姆手中，這個理論不僅解決了多粒子體系的問題，完美回答了當年泡利的質疑，而且還能夠解釋量子隧穿、化學鍵形成機制、AB效應、超流、超導、惠勒延遲選擇實驗等等量子現(xiàn)象，可以說其解釋世界的能力完全不輸教科書上的哥本哈根詮釋。

可惜玻姆本人在學術研究的黃金期遭遇霉運連連。冷戰(zhàn)時期，他被美國政府懷疑是共產(chǎn)主義者。1950年麥卡錫主義正盛之時，玻姆被拘捕關押，次年雖被釋放，但已經(jīng)失去了繼續(xù)在美國進行學術研究的機會，無奈只能流落到巴西。

玻姆所發(fā)展的導航波理論2.0版本，正是他在巴西期間的研究成果。1955年玻姆輾轉到了以色列，1957年又移居英國。多年的漂泊并沒有扼殺他的研究熱情，他在以色列期間對EPR佯謬的詳細邏輯梳理和重新闡釋，為后來貝爾發(fā)現(xiàn)著名的貝爾不等式做出了重要鋪墊。

大衛(wèi)·玻姆（David Bohm ，1917-1992） 丨圖源：維基百科

但是玻姆本人卻因非學術的因素，一直受困于學術界的邊緣地帶。盡管早在二戰(zhàn)剛結束時，30歲出頭的玻姆就已經(jīng)是普林斯頓大學的助理教授，但是直到1961年，44歲的他才在英國倫敦大學伯克貝克學院獲得教授職位。而1959年玻姆與他的學生阿哈羅諾夫發(fā)現(xiàn)驚人的AB效應時，他還只是英國布里斯托大學的普通研究員。

在這樣的背景下，主流物理學界對玻姆力學雖有所關注，但真正的跟進研究卻少之又少，遠不及其所應得的程度。從1952年提出理論到1992年逝世，在40年的時間里，除了貝爾等寥寥幾位物理學家的力挺，玻姆幾乎一直都是在孤獨地耕耘著這片土地。

玻姆力學中的“量子勢”

許多物理學家漠視玻姆理論的理由，都是認為“量子勢”太難以理解，愛因斯坦就曾評價其為“物理理論中的童話故事”。然而事實果真如此嗎？讓我們先來看看這個引來許多物理學大家微詞的“量子勢”到底是什么。

量子勢這一概念是由玻姆首先引入的，在先前德布羅意的導航波理論中并沒有這個概念。從數(shù)學上推導出量子勢的過程非常簡單，只要把波函數(shù)寫成 Ψ=ReiS/? 的形式，然后再代入薛定諤方程

就會得到兩個關系：

和

第二個等式非常直觀，▽S是動量，▽S/m 就是粒子的運動速度，整個式子就是R2這個量的守恒流方程。第一個等式則比較有趣，容易看出在宏觀世界中?→0，這個等式就自然回歸到經(jīng)典力學的哈密頓-雅克比方程

于是我們就能感覺到，微觀世界里的奇特量子性質，應該都蘊藏在那個紫色項中。沒錯，這一項就是玻姆所定義的“量子勢”。

我們可以像使用普通勢能一樣來使用這個量子勢，比如把粒子的運動方程寫成

一個再熟悉不過的牛頓定律，就妥妥地描述了粒子的行動軌跡！其中 -▽UQ 就是一種力，在微觀世界里產(chǎn)生各種量子效應的力。

如此省心省力又與宏觀經(jīng)典力學幾乎無縫銜接的模型，為什么會使頂級物理學家們費解呢？

我們再仔細觀察一下量子勢UQ的表達式就會發(fā)現(xiàn)，里面雖然出現(xiàn)了代表著導航波振動能量的振幅R，但無論將R放大或縮小多少倍，UQ都不會變化。熟悉幾何的讀者也許還能看出來，UQ似乎對應著R的某種曲率。

也就是說，量子勢的大小與導航波攜帶的振動能量無關，導航波在對粒子實施作用時，也沒有動用自身的能量。還可以更進一步明確地說，在玻姆理論中，導航波與粒子之間的作用是單向的，導航波是主動方，粒子是被動方，不存在反向的作用。導航波向粒子展示自己振幅的曲率，從而“告訴”粒子該如何運動。

這種不以能量交換為基礎的，又是單向的作用，已經(jīng)超出了物理學對“相互作用”這個概念的定義。玻姆認為，這是一種基于信息傳遞的作用機制，所以有時候也干脆直接把稱為“信息勢（information potential）”。

舉一個簡單的例子：生活中如果我看到一篇令人茅塞頓開的文章，會興奮地跳起來，文章對我就產(chǎn)生了作用，使我的運動狀態(tài)發(fā)生了改變，而我對這篇文章則沒有任何反向作用。這些經(jīng)驗雖能幫助我們體會玻姆所說的新作用機制，但是如果要嚴肅納入物理學理論體系，確實需要鼓起許多勇氣，克服許多焦慮，更重要的是，還需要面對許多由此產(chǎn)生的問題。

例如，如果說粒子通過接收導航波的信息來確定自己的運動狀態(tài)，是否說明粒子本身必須具備足夠精巧復雜的內(nèi)部結構？最起碼需要支撐起接收、識別和處理信息的能力。果真如此的話，粒子又怎么可能是構成物質世界的最基本單元呢？

玻姆本人對許多相關問題都進行了細致深入的思考，臨終前他與同事巴茲爾·希利共同撰寫了闡述玻姆力學思想的重要著作The Undivided Universe，這本書在玻姆去世后正式出版。書中相當一部分篇幅都是在談及這類特殊的作用機制。

在我看來，對這種新作用機制的質疑，雖顯得有些保守狹隘，卻也有一定合理之處。但是其他那些因缺乏了解所產(chǎn)生的質疑，則多少有些不公甚至失實。

偏見和誤解

即使在物理學專業(yè)人士中，提及玻姆力學也經(jīng)常聽到如下指摘：

• 量子勢的非定域性會導致超光速，違背了相對論；

• 理論沒有協(xié)變性，無法與相對論時空調和；

• 不能提供粒子產(chǎn)生/湮滅機制，無法與場論調和；

• 與教科書版本量子理論實質等價，不能提供獨立實驗預言。

其實所有這些說法都不夠合理。

如果只一般性地談論非定域性，這根本不是玻姆理論特有的屬性，而是無論哪種量子理論詮釋都必然具備的特征。事實上，從馮·諾依曼到貝爾的研究都早已證明，任何固守定域性的理論，都注定無法符合實驗事實。

誠然，玻姆理論中的非定域性與哥本哈根詮釋中的非定域性有著本質的不同，后者通過含糊其辭回避了信息的超光速傳遞，而玻姆理論則無法回避這一禁忌。在兩個同種粒子的系統(tǒng)中，量子勢變成了

其中R是相空間中波函數(shù)Ψ(r1, r2, t)=ReiS/?的振幅，r1和r2是兩個粒子的位置，▽1和▽1分別對應兩個粒子所在位置在t時刻的空間導數(shù)。

我們可以閱讀出，多粒子系統(tǒng)的量子勢，從定義形式上就是一個非定域的全局量。如果每個粒子都從這個全局的量子勢中獲取信息，來決定自己的運動方式，那么就必須得先承認信息能夠在空間中不受光速限制的傳遞。

如此看來，似乎受到質疑也頗有道理?？墒遣灰耍鄬φ撍薅ǖ男畔⒑鸵蚬P聯(lián)無法超越光速，仍然是先假定信息傳遞以能量交換為基礎，實質上相對論所限定的只是能量傳遞速度。而如前文所述，玻姆理論所引入的新作用機制，恰恰不依賴能量交換，如果那種新機制果真存在，那么其不受光速限制只是一個非常自然的結果。

關于相對論的調和，從多粒子系統(tǒng)的量子勢中可以看到，“不同空間位置的同一時刻”這種說法確實有違相對論思想。玻姆本人也早就意識到這一點，將相對論時空觀納入玻姆力學一直是其重點工作之一。經(jīng)過不斷探索，他已經(jīng)成功地實現(xiàn)了這一目標，在The Undivided Universe一書中，還專門辟出整章節(jié)來論述相關內(nèi)容。

除了玻姆本人的工作之外，在上世紀90年代之后，還陸續(xù)出現(xiàn)了一些其他將玻姆力學相對論化的努力方向，也都取得了相當不錯的結果。德國數(shù)學家理論物理學家Detlef Dürr及其研究團隊，印度物理學家Partha Ghose，克羅地亞物理學家Hrvoje Nikoli?等研究者都分別從不同角度成功地將玻姆力學推廣到了相對論時空中[1-8]。

其中Detlef Dürr研究團隊和Hrvoje Nikoli?還分別以不同方式引入了粒子的產(chǎn)生/湮滅機制，從而拉通了玻姆力學與量子場論的聯(lián)系。英國研究者George Horton和Chris Dewdney走得更遠，他們不僅將玻姆力學與平直時空的量子場論成功調和，在2010年甚至將這一理論發(fā)展到了可以容納引力的程度[9-11]。

至于玻姆理論與教科書版本量子理論的等價性，就更是不了解的人對這個理論的誤解。首先，僅從詮釋的角度來說，不同的詮釋之間本身就未必等價；其次，玻姆力學從數(shù)學形式到物理內(nèi)涵都與教科書上的量子理論有所區(qū)別。所以玻姆理論不只是對量子現(xiàn)象的另一種詮釋，也是實質上完全不同的另一種量子理論，當然可以給出獨立的實驗預言。

玻姆力學的實驗檢驗

可以付諸實驗檢驗的部分主要有兩點：

一是粒子分布概率。在教科書版本的量子理論中，粒子分布概率ρ與波函數(shù)Ψ之間必然滿足ρ=|Ψ|2，這是被稱為玻恩定則的鐵律，是量子理論基本前提假設之一。然而玻姆力學則將此視為某種“平衡狀態(tài)”下的統(tǒng)計結論，就如同熱力學系統(tǒng)的熱平衡狀態(tài)一樣，在特殊條件下完全有可能出現(xiàn)ρ≠|Ψ|2的“非平衡狀態(tài)”。

二是粒子的經(jīng)典運動軌跡，這也是玻姆理論最為直觀鮮明的特征。如果能通過實驗展現(xiàn)出粒子確實僅沿著一條光滑軌跡運動，而不是如鬼魂般彌散于一片區(qū)域之中，那將無疑是理論有力的佐證?；蛘吒卑椎卣f，只要在雙縫干涉實驗中，能在不探測的前提下證明粒子只通過了其中一個縫而不是如教科書所說同時通過了兩個縫，就能使可信度的天平向玻姆理論傾斜。

然而起初的探索卻是恰恰相反的結果。1992年四位研究者Englert，Scully，Süssmann和Walther提出了一個思想實驗，其推演結論給玻姆理論的可信度蒙上了厚厚的陰影，后來這個實驗就被稱為ESSW實驗[12]。這個思想實驗是在雙縫干涉實驗的基礎上，增加了一些特殊環(huán)節(jié)，目的在于“欺騙”導航波和粒子。

根據(jù)他們的理論推演，如果粒子的運動機制如玻姆理論所說，那么在ESSW實驗中，粒子將表現(xiàn)出令人難以置信的運動軌跡。研究者們稱之為“超現(xiàn)實軌跡（surreal trajectory）”。從這個措辭也能夠看出，幾位研究雖然沒有直接決絕地否定玻姆理論，但顯然已經(jīng)產(chǎn)生了深深的質疑。

峰回路轉的一刻發(fā)生在2016年，加拿大物理學家Steinberg借助量子弱測量技術將ESSW實驗付諸實踐，居然得到了支持玻姆理論的結果[13]。這一結果雖然尚不能一錘定音地宣稱玻姆理論的勝利，但也使包括Steinberg本人在內(nèi)的許多研究者，立即對玻姆理論的興趣和信心大增。在此后的很短時間內(nèi)，相關的實驗驗證研究熱情明顯有所提升。

2019年Detlef Dürr研究團隊又從ρ≠|Ψ|2這個角度出發(fā)，尋找到一個新的實驗方法[14]。具體來說，他們建議測量電子從A點運動到B點所用的時間，更準確地說，是測量這個“飛行時間”的概率分布情況。依照教科書版本量子理論，無論電子運動過程中，周邊環(huán)境發(fā)生什么變化，這個飛行時間的分布將永遠嚴格遵循ρ=|Ψ|2規(guī)則限定。而依照玻姆理論，突然發(fā)生的環(huán)境變化會破壞“量子平衡態(tài)”，就像在冷水中突然注入熱水一樣，系統(tǒng)需要經(jīng)過一個弛豫時間才能重新達到平衡，而在達到新平衡之前，ρ≠|Ψ|2的情況就會出現(xiàn)。

隨著實驗技術能力的提升，最近一個德國研究團隊正在計劃將這一實驗設想付諸行動。這已經(jīng)引起了許多關注，但愿這個實驗能夠盡快順利啟動?？上У氖荄etlef Dürr本人已經(jīng)在今年年初不幸過世，無法親眼見證他所提出的實驗設想究竟會得出什么樣的實際結果。

玻姆力學的理論預言豐富

如果實驗能夠證明玻姆理論的正確，那將肯定是基礎理論領域的一件大事。然而即使在沒有得到確鑿的實驗驗證之前，僅作為理論模型的玻姆力學，也已經(jīng)在許多領域發(fā)揮著重要作用。

在原子/分子尺度，或在量子多體問題中，由于粒子數(shù)量多，系統(tǒng)的自由度也隨之增多，經(jīng)常會出現(xiàn)計算量爆炸的情況。而如果在看不清物理過程時就輕易進行近似處理，很容易丟失遺漏掉那些藏在細微處的關鍵因素。

玻姆理論的優(yōu)勢就在于既能平滑銜接宏觀經(jīng)典的計算處理框架，又能充分提供微觀層面的量子效應和機制，而且還能通過經(jīng)典化粒子路徑將復雜的作用或演化過程清晰直觀地展現(xiàn)出來。所以在原子/分子物理、材料科學、化學物理、光學……這些領域中都能看到玻姆理論工具的廣泛使用。

當然玻姆理論的價值絕不僅僅是簡化計算方法和直觀化物理過程，它甚至還可以幫助我們理解宇宙深處的奧秘。2014年，中國科學院武漢物理與數(shù)學研究所的蔡慶宇與同事發(fā)現(xiàn)宇宙可以通過量子機制自發(fā)產(chǎn)生[15]，也就是解釋了宇宙早期暴漲的原因。他們在論文中通過使用玻姆理論模型，發(fā)現(xiàn)在早期宇宙中，量子勢自然地扮演了宇宙常數(shù)的角色，量子效應是早期宇宙暴漲的根源。

除了向各種研究領域輸送彈藥，玻姆理論自身也在不斷從其他研究成果中吸收著營養(yǎng)。2019年，挪威研究者Gregory Duane受到ER=EPR的思想啟發(fā)，從廣義相對論的時空結構中推演出了玻姆力學的量子勢[16]，從而揭示出量子勢的非定域性原來是拜普朗克尺度的時空蟲洞所賜。如此一來，似乎量子勢的非定域性也沒那么難以理解了。

直到如今，玻姆力學仍有許多有趣且深刻的問題在等待著人們?nèi)ヌ剿?，愿這片沃土上繼續(xù)結出更多美麗碩果。

致謝：感謝審稿人的專業(yè)建議。

參考文獻

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[14] arXiv:1901.08672v1 [quant-ph] 24 Jan 2019

[15] Phys. Rev. D 89, 083510 (2014)[16] https://doi.org/10.1016/j.physleta.2018.12.015