首先要聲明的是，下文中在歐幾里得空間中畫圖，實(shí)際上是把時空流形的一個局部同胚到R^n上，所以保留下來的性質(zhì)僅僅是雙連續(xù)映射（同胚）意義下的“軟”性質(zhì)（拓?fù)湫再|(zhì)），而并不保留諸如度量之類更加“硬”的性質(zhì)。（而且這個同胚也只能是一個局部，比如史瓦西坐標(biāo)只能覆蓋事件視界外部）

（理論上來說應(yīng)該同胚到R^4，但是R^4沒法可視化，所以下面都是略去一個不變的空間維度變R^3，要么是選擇一個時間切片，同樣同胚到R^3）

所以，我們在歐幾里得空間中看到一個史瓦西半徑R，不代表它在GR中真的是一個長度為R的線段；歐幾里得空間中畫出一個粒子的二次曲線軌跡，也不代表它真的在一個這樣二次曲線上運(yùn)動（除非在漸進(jìn)平直時近似這樣理解，比如水星進(jìn)動。對于平直時空，是有特殊的3+1的，所以對于漸進(jìn)平直的彎曲時空，也可以認(rèn)為有這種特殊的3+1，這是對無窮遠(yuǎn)處觀測者來說的）；Kerr黑洞的事件視界同胚到R^n里是一個橢球面，不代表在時空流形里真的是一個“橢球”。當(dāng)然，像坐標(biāo)速度dr/dt之類的也僅僅是算算而已，并沒有物理意義，也可以隨意地超光速。況且，GR里的觀測者理論是局部的。我們本來就不可能觀測到一個軌跡的完整形狀；我們只能看到這個軌跡“發(fā)出的光”在我們局部坐標(biāo)系中的投影。

實(shí)際上可以這樣想象：把這個R^n里的可視化圖形同胚到另外一個扭曲的R^n圖形（其實(shí)就是對時空換一個參數(shù)化），它依然是一個「正確的可視化」，并沒有哪個同胚是最好的、最優(yōu)越的。這就是廣義相對論的廣義協(xié)變性和背景無關(guān)性的要求（但是像上一篇文章里半經(jīng)典的彎曲時空上的量子場論就依賴于不同的3+1，也就是說需要預(yù)設(shè)特定的時間參數(shù)化。一個完整的量子引力[也許？]應(yīng)該是背景獨(dú)立的）。所以我們應(yīng)該從可視化里面抽出來的信息，應(yīng)該是在這種“扭曲”下不變的拓?fù)湫再|(zhì)。

但是，R^n里的圖形既然和時空的某個部分是一一映射，其上面的一個點(diǎn)就可以對應(yīng)真實(shí)時空中的一個事件點(diǎn)，曲線就是一條世界線。而像因果結(jié)構(gòu)這種“軟”性質(zhì)是能夠保留的。所以這樣的可視化對于理解一些物理概念是有意義的。比如說，單單給你一個Kerr度規(guī)，根本看不出有什么特別的名堂，需要動手計算才能發(fā)現(xiàn)其中的特殊之處。但是如果在一個參數(shù)化下畫出同胚到R^n上的“光錐場”，就可以很直觀地理解這個度規(guī)是什么樣的。

總而言之，并不應(yīng)該在這些可視化圖像的物理意義上產(chǎn)生誤解。

Keywords:最大延拓史瓦西度規(guī)的結(jié)構(gòu)，最大延拓Kerr度規(guī)的結(jié)構(gòu)，Einstein-Rosen橋的結(jié)構(gòu)。

之前一篇文章里給出了這樣的MATLAB代碼：

這個代碼可以用來畫一個坐標(biāo)參數(shù)化下，同胚到R^3里面光錐的形狀。這篇文章里，用這個代碼畫出了Kerr度規(guī)在antiverse里面奇點(diǎn)環(huán)周圍的奇異時空（赤道面上）的可視化：

假如我們生活在這個antiverse里面，我們會看到一個暴露在外的奇點(diǎn)環(huán)。這個奇點(diǎn)環(huán)在強(qiáng)烈地轉(zhuǎn)動并且拖曳著周圍的時空。如果我們遠(yuǎn)離這個環(huán)，就照常生活。但是一旦接近這個環(huán)，時間就會比較錯亂，很容易發(fā)生“自己遇到過去的自己”之類的事情。

要注意的是，不管是時間的t坐標(biāo)還是空間的x、y坐標(biāo)都可以認(rèn)為沒有意義。當(dāng)然，特殊意義也是有的：這個坐標(biāo)在遠(yuǎn)處就是Minkovski坐標(biāo)；但是我們這里以它為例子考慮做一般的情況。從可視化里面抽出來的拓?fù)湫再|(zhì)是什么？注意到離奇點(diǎn)環(huán)很近的地方世界線可以隨著t坐標(biāo)“倒退”，所以可以是“存在CTC”，也可以是“從一條世界線上分離出來的類時曲線可以回到這條世界線的前一個時間點(diǎn)”，也可以是更加復(fù)雜的一個故事。

下面以《前目的地》（Predestination，宿命論）為例，假設(shè)這個故事發(fā)生在antiverse的Kerr黑洞奇點(diǎn)環(huán)附近（雖然電影中是通過一個機(jī)器實(shí)現(xiàn)時間旅行的），來展示一下一個“扭曲下不變的性質(zhì)”，也就是整部電影的故事發(fā)展。不管采用哪個參數(shù)化，這個故事發(fā)展都是不變的。

整個故事里有四個身份，用四種顏色表示。所有世界線都是類時曲線，沒有跑出光錐之外。在另一種參數(shù)化下，整個圖形可能會扭曲變形，但是和這個圖是同胚的，整個故事仍然不變。不過因?yàn)槎攘啃再|(zhì)沒有保留下來，所以并不能通過曲線的長度看出各個故事之間時間的長短。這個例子目的在于強(qiáng)調(diào)拓?fù)湫再|(zhì)這回事。

回到史瓦西黑洞。首先采取史瓦西坐標(biāo)。假設(shè)史瓦西半徑為1，畫出光錐。

在遠(yuǎn)處，時空幾乎平直，光錐也和Minkovski時空一樣。接近事件視界時，光錐逐漸變窄，意味著粒子就算以多大的速度也沒有辦法再靠近事件視界一步。在事件視界內(nèi)部，光錐完全翻了過來，意味著原先的空間軸和時間軸倒置了，隨著時間發(fā)展，r只能減小，所有的未來都必須終結(jié)在奇點(diǎn)，沒有可能跑出事件視界。需要注意的是這里因?yàn)槭录暯缡且粋€坐標(biāo)奇點(diǎn)，所以內(nèi)外部不是同一個坐標(biāo)覆蓋著的。這張圖只是把時空流形的兩個部分分別同胚到R^3里面，然后拼接起來，并不代表這兩個部分之間的關(guān)系。比如分析因果結(jié)構(gòu)的時候，內(nèi)外部要分開來看，內(nèi)部的所有因終結(jié)于奇點(diǎn)，外部的因果結(jié)構(gòu)和Minkovski時空一樣。

史瓦西時空的外部可以被史瓦西坐標(biāo)覆蓋，從而同胚到R^4上。但是我們還可以選取別的坐標(biāo)參數(shù)化，把這個覆蓋范圍變大。完整的史瓦西時空可以用Kruskal坐標(biāo)覆蓋，具體表達(dá)式為：

它分為黑洞內(nèi)部、白洞內(nèi)部和兩個漸進(jìn)平坦的時空（宇宙/平行宇宙）。這個坐標(biāo)（的和史瓦西坐標(biāo)重合的部分）和史瓦西坐標(biāo)之間的對應(yīng)關(guān)系如下圖的等值線所示。

這個圖只有一個空間維度。不過我們的可視化可以放進(jìn)兩個空間維度（相當(dāng)于在黑洞的赤道面上運(yùn)動）。假設(shè)史瓦西半徑為1。過去奇點(diǎn)和未來奇點(diǎn)是雙葉雙曲面，事件視界是圓錐。

但是要注意的是，這個三維參數(shù)化僅僅是整個Kruskal時空的一半，因?yàn)闆]有辦法表示出R<0的部分。事件視界外面是漸進(jìn)平坦時空，里面是“一半”的黑洞和“一半”的白洞，它們的另一半在R<0里面。所以完整的（1+2維）Kruskal時空的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)應(yīng)該是兩個這樣的R^3通過z軸粘在一起。

假想Kruskal流形上有一條連續(xù)的曲線（沒有要求類時），它從我們的漸進(jìn)平直時空進(jìn)入黑洞的事件視界，然后穿出來進(jìn)入另一個“平行時空”內(nèi)。當(dāng)我們在參數(shù)化坐標(biāo)里觀看這個曲線的軌跡時，會發(fā)現(xiàn)這條曲線進(jìn)入黑洞，跑到前面圖里面的z軸上，然后突然消失了，進(jìn)入了"半徑小于0"的另一個地方。看起來似乎很詭異。

實(shí)際上這件事情并不玄幻，我們可以想象一個曲面，其中一半用一個坐標(biāo)參數(shù)化，另一半用另一個坐標(biāo)參數(shù)化。當(dāng)前一半的粒子跑出去之后，前一半的坐標(biāo)就沒辦法抓住它的位置了，所以它就在這個坐標(biāo)里憑空消失了。但是廣義相對論是背景無關(guān)的，所以這個消失，或者“進(jìn)入另一個時空”，僅僅是參數(shù)化下面的假象罷了。從整個流形上看，它就是一條好好的曲線，沒有突然出現(xiàn)或者突然消失。假如用一個覆蓋全軌跡的坐標(biāo)參數(shù)化，就沒有任何詭異的事情發(fā)生。

Kruskal時空的這個例子可以讓我們更理解流形定義中“局部被坐標(biāo)覆蓋”的意思。

進(jìn)一步畫出這一半Kruskal時空的光錐：

光錐很普通，基本就是45度的正光錐。我們考慮有質(zhì)量粒子的運(yùn)動，它可以固定在一個r，或者隨意繞圈，或者進(jìn)入事件視界。不過進(jìn)入之后就出不來了。而白洞內(nèi)的粒子則不得不出來，漸進(jìn)平直時空的粒子也不可能進(jìn)入白洞。

如果我們試圖進(jìn)入平行宇宙，必須在這個坐標(biāo)下穿過事件視界，到達(dá)R=0的地方，然后進(jìn)入另一個R<0的坐標(biāo)。但這時候我們發(fā)現(xiàn)自己在事件視界里面，無法逃出去，所以終究還是沒有辦法進(jìn)入另一個漸進(jìn)平坦的時空。不過如果恰好平行宇宙里也有人跑進(jìn)這個黑洞里的話，還是有機(jī)會相遇的，只不過早晚要落入奇點(diǎn)罷了。

因此可以看出，雖然這兩個平行宇宙之間在拓?fù)渖鲜窍噙B的（通過黑洞/白洞，這個拓?fù)渖线B接兩個漸進(jìn)平直時空的部分流形有時也管它叫蟲洞），但是任何粒子或者信息都無法在兩者之間傳送，所以二者在因果上是完全隔絕的（「拓?fù)湎噙B，因果隔絕」）。假如我們真的在這樣一個Kruskal時空里面，我們可以推測，整個流形上有著和我們鏡像的另一個宇宙（或者科幻一點(diǎn)說，某個Blick Winkel可以看到整個流形的結(jié)構(gòu)。我們現(xiàn)在采取的就是Blick Winkel的視角），但是我們不可能和它們產(chǎn)生任何關(guān)聯(lián)。這時候就體現(xiàn)出“可觀測宇宙”這個概念和全體宇宙的區(qū)別了。整個宇宙可以是這整個流形，但是可觀測宇宙只有這個流形的一半里面的一個光錐。

當(dāng)然我們也可以看Penrose圖（它是共形變換，所以保持了共形結(jié)構(gòu)，比拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)要“硬”一點(diǎn)）：

可以看到不同漸進(jìn)平直時空的粘連。

有一個所謂Einstein—Rosen橋的東西，其實(shí)就是把前面Kruskal時空按照一個固定的T（比如T=0）做切片得到的彎曲空間。這個彎曲空間是兩個漸進(jìn)平直的空間連在一起，也就是最初意義上的蟲洞。其實(shí)我們前面已經(jīng)知道兩個時空是拓?fù)渖舷噙B的，所以這個蟲洞的存在并不意外。只不過首先這個T切片本身就意義不明，單純是為了展示這個三維結(jié)構(gòu)而已；況且兩個時空本身就是因果隔絕的，如果按照這個度規(guī)里面T的發(fā)展來看，就是蟲洞突然出現(xiàn)然后消失，并不能支持粒子或者信息穿過去。

不過我們未必要局限在Kruskal時空，可以單純假定這樣一個蟲洞穩(wěn)定存在的流形，來考察一下它應(yīng)該是什么樣子的結(jié)構(gòu)。

切片之后這個三維空間的度規(guī)為：

在遠(yuǎn)處，它就是平直空間。但是靠近蟲洞半徑（1）的時候會有坐標(biāo)奇異性（并不是真正的奇點(diǎn)），很小的dr會對應(yīng)很大的路程。不過好在并沒有無限長的路程出現(xiàn)（積分是收斂的，比如r從1到2的積分是sqrt(2)-1/2*log((sqrt(2)-1)/(sqrt(2)+1))=2.2956，稍微變長了一點(diǎn)但是不是很夸張）。如果把dr^2的系數(shù)改成平方，那從r=2走到r=1就要經(jīng)過無窮長的路程，打個比方就是無下限咒術(shù)。

這個坐標(biāo)（r>1部分）只覆蓋了蟲洞流形的一半。另一半的形狀是完全一樣的（漸進(jìn)平坦），可以用另一個坐標(biāo)（r'>1）來覆蓋。二者在r=r'=1的地方粘合在一起。所以對于無窮遠(yuǎn)處的觀測者來說，蟲洞就是一個半徑為1的球體，可以順利地通過有限路程之后穿過它進(jìn)入另一個漸進(jìn)平坦的區(qū)域。這樣Einstein-Rosen橋的結(jié)構(gòu)我們就完全清楚了。在拓?fù)渖希褪莾蓚€R^3/B(0,1)在挖去球的球面上粘合起來。

把二維蟲洞嵌入到三維就是這樣一個粘合起來的結(jié)構(gòu)。

感興趣的讀者還可以去找一個覆蓋“橋”部分的坐標(biāo)。

三維中模擬一下就是：

Kruskal時空的蟲洞是不穩(wěn)定的。在GR中可以證明需要負(fù)能量密度的物質(zhì)才能使蟲洞穩(wěn)定，但是在R^2引力（f(R)的一種）中可以穩(wěn)定存在不需要負(fù)能量物質(zhì)的蟲洞。

補(bǔ)充一下，前面的說法不夠convincing。對于這個度規(guī)：

不是我說它能拼起來就能拼起來的。我們得說明它應(yīng)該怎么拼起來。即：在流形上找到一個與前兩個坐標(biāo)網(wǎng)都有重合的坐標(biāo)網(wǎng)，作為一個膠帶把二者粘起來。

首先，我們可以說明r=1是坐標(biāo)奇點(diǎn)而不是真正的奇點(diǎn)。這點(diǎn)可以通過計算Ricci標(biāo)量證明，它是有限的。

其次，我們給出一個拼接方式。對于兩個空間的坐標(biāo)，作變換r=1+h^2，則兩個度規(guī)可以連在一起：

這里的h坐標(biāo)表征了離蟲洞球面的距離，正數(shù)代表在第一個空間，負(fù)數(shù)代表在第二個空間。這個度規(guī)就沒有任何奇異性了，并且很自然地通過正負(fù)號來區(qū)別兩個空間。假如我站在蟲洞的邊緣上，我就可以認(rèn)為自己觀察到的周圍空間是這個樣子的，并且可以平穩(wěn)地經(jīng)過蟲洞進(jìn)入另一個空間。蟲洞的存在并不與局部不超光速矛盾。

https://www.spacetimetravel.org/上通過計算零測地線給出了穿越蟲洞過程的可視化。它使用的度規(guī)為

其實(shí)只是把前面的度規(guī)略去一個1+h^2。假設(shè)德國的Tübingen大學(xué)員工制造了一個連接Tübingen大學(xué)物理所和法國城市濱海布洛涅的一片沙丘的蟲洞，以方便吃午飯。為了更加明顯地顯示出空間的扭曲，圖中顯示出了一個“立方體框架”，或者可以看成方便人爬過蟲洞的架子（準(zhǔn)確來說是空間里的幾條測地線組成的框架）。因?yàn)榭臻g的扭曲和光線的扭曲，這個框架看起來也是被扭曲過的。Tübingen大學(xué)里的12條邊顯示為黃色，“對角線”顯示為綠色；濱海布洛涅的12條邊顯示為藍(lán)色，“對角線”和Tübingen大學(xué)的立方體相連。在蟲洞內(nèi)部則有一個紅色的小立方體，坐落在綠色對角線上。

從Tübingen大學(xué)來看，蟲洞是這樣的：

有很明顯的光線扭曲。黃色立方體的形狀還是有的，并且對角線往里面伸，遇到紅色小立方體，這部分都非常歐幾里得。但是綠色對角線繼續(xù)往里面伸就不見了，進(jìn)入了濱海布洛涅。蟲洞看起來像一個帶有鏡面的球體。

在濱海布洛涅看來，則是一個藍(lán)色立方體：

對角線同樣連接著一個小紅色立方體，不過再往里面延伸就進(jìn)入Tübingen大學(xué)了。藍(lán)色和黃色立方體共享這8條“對角線”，這是非常不歐幾里得的。

當(dāng)我們從Tübingen大學(xué)進(jìn)入蟲洞，愈發(fā)接近濱海布洛涅：

在蟲洞的中間，紅色立方體會“膨脹”成一個無限大的平面：

這個平面的兩邊分別是極度扭曲的Tübingen大學(xué)景色和濱海布洛涅景色：

上面是濱海布洛涅，下面是Tübingen大學(xué)。

穿過去之后，蟲洞看起來又只是個普通的球：

從下往上看：

接下來考慮一下Kerr黑洞。從前面的Penrose圖可以看到完整的流形，但是我們的一個坐標(biāo)只能覆蓋其中的一小部分。比如說，Boyer-Lindquist坐標(biāo)覆蓋的就是r>0的部分（漸進(jìn)平直時空+Kerr黑洞內(nèi)部，不包括所謂的antiverse）：

另外一種參數(shù)化是直角坐標(biāo)形式的，稱為Kerr-Schild坐標(biāo)，就是把上面的r作為橢圓坐標(biāo)。Kerr-Schild坐標(biāo)的特殊之處在于它是漸進(jìn)平直的。下面就用Kerr-Schild坐標(biāo)去覆蓋一部分的流形，然后同胚到R^4上觀察。

首先，我們把Kerr-Schild坐標(biāo)取一個時間t做切片，得到一個空間，把它同胚到R^3。也就是觀察Kerr黑洞的“形狀”。

首先來看這個參數(shù)化下Kerr黑洞的一些特征。首先是奇點(diǎn)。奇點(diǎn)要求\rho=0，所以它是一個z=0平面上的半徑為a的圓環(huán)。

然后是穩(wěn)態(tài)極限面（無限大紅移面）g_{tt}=0。它的形狀為：

這是一個形狀不規(guī)則的曲面。

事件視界則為g_{rr}=infty，即：（有內(nèi)視界和外視界，就像前面Penrose圖所示）

其實(shí)這完全就是一個橢球面。

假定黑洞參數(shù)\mu=2,a=1。則這個三維切片在參數(shù)化下同胚到R^3就是：

外面這層鏤空的面是穩(wěn)態(tài)極限面，中間藍(lán)色橢球的是外事件視界，里面黃色的橢球是內(nèi)事件視界，最里面紅色的環(huán)就是奇點(diǎn)環(huán)。

需要注意的是，具體的曲面方程并沒有物理意義，因?yàn)閳D中僅僅保留了拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)，比如四個對象的包裹關(guān)系。硬要說物理意義的話，它就是相對“無窮遠(yuǎn)處觀測者”的黑洞形狀。

如何“穿越”到antiverse？antiverse是r<0的地方，在這個坐標(biāo)里面是沒有的（覆蓋不到），但是當(dāng)然要經(jīng)過r=0。r=0就是奇點(diǎn)環(huán)所在的整個圓盤。我們當(dāng)然不能碰到奇點(diǎn)環(huán)，所以得避開它，從中間穿過去。對于無窮遠(yuǎn)處的人來說，這個旅行者是“突然消失在”圓盤上的。但是如前所述，這只是參數(shù)化帶來的假像，實(shí)際上旅行者只不過是平滑地進(jìn)入了流形中Kerr-Schild坐標(biāo)覆蓋不到的部分。對于旅行者來說，他時時刻刻局部的坐標(biāo)仍然是一個局部Minkovski坐標(biāo)，而且在進(jìn)入內(nèi)視界之后，可以采取一個覆蓋內(nèi)視界和antiverse的參數(shù)化，所以他并不會感受到所謂的“撞在圓盤上”。Kerr-Schild坐標(biāo)覆蓋的時空，通過這個圓盤和另一個時空連接。這個過程從時空流形的觀點(diǎn)，或者叫做“Blick Winkel”觀點(diǎn)去看，就不會有任何理解上的困難。

之前討論的史瓦西黑洞在拓?fù)渖线B接了兩個漸進(jìn)平坦時空，可以叫做蟲洞。但是這個蟲洞并不能連接因果關(guān)系。現(xiàn)在的Kerr黑洞也是拓?fù)渖线B接了兩個漸進(jìn)平坦時空，并且來自原宇宙的物質(zhì)和信息是可以傳送過去到達(dá)antiverse的，因此可以稱為一個名副其實(shí)的蟲洞。

最后畫一下Kerr黑洞各個點(diǎn)處的光錐。

遠(yuǎn)離黑洞的時候，光錐就跟Minkovski時空一樣。接近的時候，光錐逐漸向theta方向傾斜，因?yàn)闀r空被旋轉(zhuǎn)的黑洞拖曳著。進(jìn)入穩(wěn)態(tài)極限面之后，光錐完全朝旋轉(zhuǎn)方向倒下（圖中沒有畫出能層中的光錐），此時粒子無論用多大的力都會被迫隨著黑洞轉(zhuǎn)動（但是并沒有裸露奇點(diǎn)環(huán)附近傾斜得那么極端，所以并不會產(chǎn)生CTC），“時間和角度方向空間互換”。再往里面走，穿過事件視界，光錐則朝r減小的方向倒下，“時間和徑向空間互換”，被迫穿過兩個事件視界。之后粒子并不會被迫撞上奇點(diǎn)，而是可以進(jìn)入新的漸進(jìn)平直時空，但這就不是這個坐標(biāo)系里面的事了。

為了更加完整地看清楚整個Kerr度規(guī)的結(jié)構(gòu)，我們希望有一個類似Kruskal坐標(biāo)的解析延拓，把Penrose圖里面更多部分覆蓋上。這樣我們也能和史瓦西度規(guī)一樣，看清楚不同部分的漸進(jìn)平直時空是如何粘連起來的。這個類似Kruskal坐標(biāo)的東西可以在Maximal Analytic Extension of the Kerr Metric一文中找到。這個具體的參數(shù)化很麻煩，這里就不去具體畫光錐了，只是定性看一下各個時空是如何粘連起來的。

首先，和Kruskal坐標(biāo)類似，有一個K坐標(biāo)(U,V)，它覆蓋的是我們的時空、Kerr黑洞外視界和內(nèi)視界之間、Kerr白洞的外視界和內(nèi)視界之間、以及平行宇宙。

(U,V)坐標(biāo)略去一個角度維度之后，可以同胚到三維。但是和Kruskal坐標(biāo)一樣，需要用兩個R^3粘起來，一個是U<0的部分，一個是U>0的部分。每個R^3和Kruskal坐標(biāo)類似，有一個圓錐表示外視界，但是內(nèi)視界在V=+-無窮遠(yuǎn)處。當(dāng)然也沒有覆蓋到奇環(huán)。

光錐也是類似的，如果進(jìn)入外視界就無法逃出了。在靠近外視界的地方，光錐會受到拖曳，朝著角度方向傾斜：

兩個R^3通過U=0這條軸粘在一起。同樣，拓?fù)渖舷噙B，但是因果上隔絕，雖然也存在Einstein-Rosen橋，但是粒子和信息無法通過。

K坐標(biāo)沒有覆蓋到antiverse。我們還需要一個E坐標(biāo)(r,t)，它類似史瓦西黑洞的Eddington-Finkelstein超前/推遲坐標(biāo)，覆蓋了我們的宇宙、Kerr黑洞（或者白洞，取決于超前還是推遲）的內(nèi)外視界之間，以及內(nèi)視界內(nèi)部直到antiverse。

如果把它略去一個角度方向同胚到R^3，同樣需要兩個R^3粘連。一個是r>0的部分，即“沒有穿越奇環(huán)”；另一個是antiverse。就像Eddington-Finkelstein超前/推遲坐標(biāo)一樣，這個E坐標(biāo)其實(shí)是把Boyer-Lindquist坐標(biāo)的內(nèi)外事件視界的坐標(biāo)奇異性給去掉了，然后把視界內(nèi)外連在一起。此時內(nèi)外視界和奇環(huán)都是一個圓柱（穩(wěn)態(tài)極限面也是類似于圓柱的一個柱體）：

奇環(huán)內(nèi)部不在這個坐標(biāo)化范圍里。

此時的光錐又是如何的呢？畫出來是：

可以隨意地進(jìn)入事件視界，但是進(jìn)入之后就出不來了。這個圖沒有表現(xiàn)出角度方向的參照系拖曳。

剩下的antiverse在r<0的部分，只有一個裸露的奇點(diǎn)環(huán)，沒有事件視界包裹著。光錐在一開始就給出來了：

所以我們知道了這四個部分的結(jié)構(gòu)。整體的Kerr度規(guī)就是把無數(shù)個這種四個部分連接起來。分別把這四個部分叫K,K'（平行世界），E,E'（antiverse）。首先，K和K'通過U軸拼接起來。然后，E和E'通過奇點(diǎn)環(huán)r=0拼接起來。E和K的重合部分是我們的宇宙+Kerr黑洞的內(nèi)外事件視界之間，這個重合部分粘起來。E和K'的重合部分則是平行世界的宇宙+Kerr黑洞的內(nèi)外事件視界之間，這個重合部分粘起來。把E和E‘都鏡像到平行世界，得到\bar{E}和\bar{E}'，再同樣和上面的流形粘起來。再把RE和RE'（推遲坐標(biāo)）以及其鏡像粘上去，就可以構(gòu)成一個完整的“鏈條”重復(fù)結(jié)構(gòu)。這些重復(fù)結(jié)構(gòu)每個都帶有"黏性末端"（借用限制酶的術(shù)語），所以可以無限重復(fù)地粘連起來。這就是Kerr黑洞完整的延拓。

總結(jié)一下本文，其實(shí)就是微分流形定義里面三個要點(diǎn)：局部坐標(biāo)，與歐幾里得空間同胚，轉(zhuǎn)移映射的相容性?？梢栽贕R里理解這幾個要點(diǎn)的物理意義：可視化只保留了一部分流形的軟性質(zhì)；1+2Kruskal時空的兩個部分同胚于R^3，通過z軸粘連，粒子在一個坐標(biāo)里似乎能“消失”但其實(shí)只是在平滑地運(yùn)動；不同坐標(biāo)覆蓋的漸進(jìn)平直時空，其坐標(biāo)變換應(yīng)是C^\infty的。