總想立刻達(dá)到最后一步的人，往往難以邁出第一步。

第七期? 微分

? ? ? ?微積分是由“微分”與“積分”這兩種互逆的運(yùn)算構(gòu)成，我們先對(duì)微分進(jìn)行討論。這個(gè)概念在之前事實(shí)上也提到過(guò)：我們?cè)?img type="latex" class="latex" src="http://api.bilibili.com/x/web-frontend/mathjax/tex?formula=%5Cmathrm%20d%5Calpha" alt="%5Cmathrm%20d%5Calpha">來(lái)表示變量的增量當(dāng)時(shí)的極限，又用或來(lái)表示導(dǎo)數(shù)，這便是微分思想?，F(xiàn)在，我們有必要更為深入地理解微分了。注意：本期內(nèi)容可能與教材上有出入，只是方便讀者理解，具體定義請(qǐng)見(jiàn)課本。

? ? ? ?我們先從兩個(gè)求導(dǎo)的例子來(lái)開(kāi)始。開(kāi)始前請(qǐng)注意：是一個(gè)整體不可分割的概念，因此表示。

（1），求。

分析一下這個(gè)簡(jiǎn)單的推導(dǎo)過(guò)程。我們的思路可以大致歸結(jié)為：（用某些方法）把分子拆成的同階無(wú)窮小與的高階無(wú)窮小之和。同階無(wú)窮小除以得到一個(gè)關(guān)于的式子（例子中是）；高階無(wú)窮小除以得到0。于是導(dǎo)數(shù)值也就是二者相加，又因?yàn)楹笳邽?，故導(dǎo)數(shù)值就是前者。我們發(fā)現(xiàn)，一切可導(dǎo)的函數(shù)，都能將拆成的同階無(wú)窮小與的高階無(wú)窮小之和。我們不妨再看一個(gè)例子：

（2），求。

首先是按教材上的證明方法：

這個(gè)例子中的證明似乎與前述“拆項(xiàng)”的方法不同，而是采用了和差化積的三角變換。事實(shí)上，用“拆項(xiàng)”同樣可以得出答案：

其中，，故是的同階無(wú)窮??；，故

上述的兩個(gè)例子都表明所謂“拆項(xiàng)”方法對(duì)可導(dǎo)函數(shù)的通用性。故有：

對(duì)此式進(jìn)行變形，得

? ? ? ? ?（1）

這是一個(gè)絕對(duì)準(zhǔn)確的式子。我們?cè)僖胍粋€(gè)例子：求的近似值。

先轉(zhuǎn)成弧度制：所求式=。在這里，我們不得不舍棄一部分的精確，而在其中兩處產(chǎn)生一定的誤差。至于如何使誤差減小乃至絕對(duì)消除，那是我們之后的任務(wù)。

（1）我們發(fā)現(xiàn)，是一個(gè)相對(duì)于非常微小的數(shù)，因此可以將看成，這里存在誤差。即：

（2）在這里，我們?nèi)杂龅阶璧K：這里的我們無(wú)法知道具體為何函數(shù)，但由于是高階無(wú)窮小，因此相較于更為微小，以現(xiàn)有能力我們只能舍棄，這里存在值為的誤差。即：

故而

事實(shí)上，準(zhǔn)確值為0.507538……，與近似值已經(jīng)非常接近了。在許多領(lǐng)域，如此精確的結(jié)果已經(jīng)足夠進(jìn)行研發(fā)生產(chǎn)了，我們大膽的嘗試是成功的。

通過(guò)這一例子，我們可整合出一般結(jié)論。在此之前，先引入概念：若一個(gè)函數(shù)在某點(diǎn)處的增量能表示為（1）的形式，則稱函數(shù)在該點(diǎn)處可微，稱為函數(shù)在該點(diǎn)處的微分。易知可微與可導(dǎo)是等價(jià)的。

為一確定常數(shù)；值得注意的是，它雖然是一個(gè)關(guān)于的函數(shù)，但這個(gè)函數(shù)與的具體數(shù)值無(wú)關(guān)，因此其對(duì)于來(lái)說(shuō)是常數(shù)。

結(jié)論是：當(dāng)非常小，且在處可微，則

可以看到，微分在近似計(jì)算中起到了尤為重要的作用，也可以用來(lái)進(jìn)行誤差估計(jì)，但在這里我就不詳述了（之后可能會(huì)出數(shù)學(xué)雜談）。微分的幾何意義與導(dǎo)數(shù)完全相同，因此這里也不配圖了，可以參見(jiàn)淺談高等數(shù)學(xué)（3）。