我在之前制作的視頻中，多次談到了圓周率π。比如，我介紹過阿基米德和劉徽計算圓周率的方法——割圓術，還談到了蒲豐利用一根針計算圓周率的方法——蒲豐投針實驗。人類使用和計算圓周率已經有了數千年的歷史，可是了解圓周率的數學性質其實是最近二三百年的事情。最初人們總是希望能夠計算出圓周率的準確值，寫成一個分數或者有限小數的形式，可是數千年來的一次次的努力都失敗了。

直到兩百多年前，數學家們才證明了圓周率是一個無理數（無限不循環(huán)小數），是不可能用有限小數或者分數寫出來的?？墒?，你知道這個命題如何證明嗎？這回我們就來討論一下。

一.有理數和無理數

我們首先來復習一下基礎概念：什么是無理數？

初中時候我們學習過數軸，數軸上面密密麻麻布滿了點，有的點是整數，有的點不是整數，但是每一個點就對應了一個數，這個數叫做實數。實數與數軸上的點一一對應。

我們可以把實數分成兩類：有理數和無理數。

有理數是那些可以寫成兩個整數的比的數，例如：1，2，1/3，0.25（=1/4），0.929292…(=92/99)......? ?這些數字要么本身是整數，要么等于兩個整數的比，所以都是有理數。

有時候，我們又把有理數分為三種，分別是整數、有限小數和循環(huán)小數。有理數有無窮多個，但是我們其實可以把有理數一個一個排列起來，所以有理數的個數其實是與自然數一樣多的，這一點我在精讀《從一到無窮大》的專欄中說到過證明。
數軸上除了有理數外，其余的數字叫做無理數——無理數不能寫成兩個整數的比，它們是無限不循環(huán)小數。例如

• 圓周率π=3.1415926……

• 自然對數的底e=2.71828……

• 2的平方根√2=1.414……

• ?…

無理數有無窮多個，而且無理數沒有辦法一個一個排列起來，它的個數比有理數多得多。

現在我們已經復習完了有理數和無理數的概念。要證明一個數字是有理數很簡單：只要把這個數字表示成兩個整數的比就行了。但是要證明一個數字是無理數，就要證明它不能表示成兩個整數的比，數學上如何去證明一件事情不可能呢？這就需要用到一種數學方法——反證法了。

二. 反證法

反證法的原理是：我們要證明一件事不可能，就首先假設這件事可能，然后推導出矛盾的結果，于是就證明了它不可能。例如：我們可以通過反證法證明√2是一個無理數。

求證：√2是一個無理數

首先假設√2是有理數，然后推導出矛盾的結果，從而證明√2是無理數。我們利用這種方法，就能證明圓周率是無理數了。

三.第一個證明

200多年前，瑞士著名數學家歐拉研究了關于連分數的問題。

所謂連分數是指形如下面的數字：

其中ai都是整數。數學家們證明：任何一個實數都可以唯一對應一個（特定規(guī)則的）連分數，并且有理數對應的連分數是有限層數，而無理數對應的連分數有無限層。例如，無理數√2可以表示成如下形式：

在歐拉的啟發(fā)下，歐拉的同事，瑞士數學家蘭伯特想到：能夠順著連分數的思路，證明圓周率是無理數呢？1761年，蘭伯特給出了這個證明。

• 首先，蘭伯特證明了：正切函數可以展開成一種類似于連分數的函數形式:

• 然后，蘭伯特根據以上表達式證明：如果x是一個有理數，則tan(x)一定是無理數。

• 最后，利用反證法：設π是有理數，則π/4也是有理數，于是按照上面的證明，tan(π/4)應該是無理數。但是tan(π/4)=1是一個有理數，發(fā)生矛盾。因此π是無理數，證明完畢。

看起來，蘭伯特的方法似乎沒有多么繁瑣，可是如何證明tan(x)可以寫成這樣的展開式？又如何通過這個展開式證明x是有理數時tan(x)一定是無理數呢？這個過程過于冗長，在這里就不再贅述。

從蘭伯特給出了圓周率的是無理數的第一個證明后，數學家們陸續(xù)提出了一些其他的證明方式。其中，二十世紀的美國數學家伊萬.尼云給出的方法最為簡潔，他寫的論文總共不到一頁紙。小伙伴們保持關注，下一回再給大家介紹伊萬的證明方法。

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