文章來源：初中數(shù)學(xué)方法

七 年 級(jí) 上 冊(cè)

第一章-有理數(shù)

1.有理數(shù)：
凡是能寫成形式的數(shù)，都是有理數(shù)。

正整數(shù)、0、負(fù)整數(shù)統(tǒng)稱整數(shù)；正分?jǐn)?shù)、負(fù)分?jǐn)?shù)統(tǒng)稱分?jǐn)?shù)；整數(shù)和分?jǐn)?shù)統(tǒng)稱有理數(shù)。

注意：0既不是正數(shù)，也不是負(fù)數(shù)；-a不一定是負(fù)數(shù)，+a也不一定是正數(shù)。


2.數(shù)軸：

數(shù)軸是規(guī)定了原點(diǎn)、正方向、單位長度的一條直線.


3.相反數(shù)：
(1)只有符號(hào)不同的兩個(gè)數(shù)，我們說其中一個(gè)是另一個(gè)的相反數(shù)；0的相反數(shù)還是0；
(2)相反數(shù)的和為0a+b=0a、b互為相反數(shù)。


4.絕對(duì)值：
(1)正數(shù)的絕對(duì)值是其本身，0的絕對(duì)值是0，負(fù)數(shù)的絕對(duì)值是它的相反數(shù)；

注意：絕對(duì)值的意義是數(shù)軸上表示某數(shù)的點(diǎn)離開原點(diǎn)的距離；
(2)絕對(duì)值可表示為：或；絕對(duì)值的問題經(jīng)常分類討論；


5.有理數(shù)比大?。?/p>

(1)正數(shù)的絕對(duì)值越大，這個(gè)數(shù)越大；

(2)正數(shù)永遠(yuǎn)比0大，負(fù)數(shù)永遠(yuǎn)比0?。?/p>

(3)正數(shù)大于一切負(fù)數(shù)；

(4)兩個(gè)負(fù)數(shù)比大小，絕對(duì)值大的反而小；

(5)數(shù)軸上的兩個(gè)數(shù)，右邊的數(shù)總比左邊的數(shù)大；

(6)大數(shù)-小數(shù)＞0，小數(shù)-大數(shù)＜0


6.互為倒數(shù)：

乘積為1的兩個(gè)數(shù)互為倒數(shù)。

注意：0沒有倒數(shù)；若a≠0，那么的倒數(shù)是；若ab=1a、b互為倒數(shù)；

若ab=-1a、b互為負(fù)倒數(shù).

7.有理數(shù)加法法則：
(1)同號(hào)兩數(shù)相加，取相同的符號(hào)，并把絕對(duì)值相加；
(2)異號(hào)兩數(shù)相加，取絕對(duì)值較大的符號(hào)，并用較大的絕對(duì)值減去較小的絕對(duì)值；
(3)一個(gè)數(shù)與0相加，仍得這個(gè)數(shù).


8.有理數(shù)加法的運(yùn)算律：
(1)加法的交換律：a+b=b+a；

(2)加法的結(jié)合律：（a+b）+c=a+（b+c）


9.有理數(shù)減法法則：

減去一個(gè)數(shù)，等于加上這個(gè)數(shù)的相反數(shù)；即a-b=a+（-b）


10.有理數(shù)乘法法則：
(1)兩數(shù)相乘，同號(hào)為正，異號(hào)為負(fù)，并把絕對(duì)值相乘；
(2)任何數(shù)同零相乘都得零；
(3)幾個(gè)數(shù)相乘，有一個(gè)因式為零，積為零；各個(gè)因式都不為零，積的符號(hào)由負(fù)因式的個(gè)數(shù)決定。


11.有理數(shù)乘法的運(yùn)算律：
(1)乘法的交換律：ab=ba；

(2)乘法的結(jié)合律：（ab）c=a（bc）；

(3)乘法的分配律：a（b+c）=ab+ac


12.有理數(shù)除法法則：

除以一個(gè)數(shù)等于乘以這個(gè)數(shù)的倒數(shù)；注意：零不能做除數(shù)


13.有理數(shù)乘方的法則：
(1)正數(shù)的任何次冪都是正數(shù)；
(2)負(fù)數(shù)的奇次冪是負(fù)數(shù)；負(fù)數(shù)的偶次冪是正數(shù)；

注意：當(dāng)n為正奇數(shù)時(shí):(-a)n=-an或(a-b)n=-(b-a)n,當(dāng)n為正偶數(shù)時(shí):(-a)n=an或(a-b)n=(b-a)n


14.乘方的定義：
(1)求相同因式積的運(yùn)算，叫做乘方；
(2)乘方中，相同的因式叫做底數(shù)，相同因式的個(gè)數(shù)叫做指數(shù)，乘方的結(jié)果叫做冪；


15.科學(xué)記數(shù)法：

把一個(gè)大于10的數(shù)記成a×10n的形式，其中a是整數(shù)數(shù)位只有一位的數(shù)，這種記數(shù)法叫科學(xué)記數(shù)法。


16.近似數(shù)的精確位：

一個(gè)近似數(shù)，四舍五入到那一位，就說這個(gè)近似數(shù)的精確到那一位。


17.有效數(shù)字：

從左邊第一個(gè)不為零的數(shù)字起，到精確的位數(shù)止，所有數(shù)字，都叫這個(gè)近似數(shù)的有效數(shù)字。


18.混合運(yùn)算法則：

先乘方，后乘除，最后加減。

本章內(nèi)容要求學(xué)生正確認(rèn)識(shí)有理數(shù)的概念，在實(shí)際生活和學(xué)習(xí)數(shù)軸的基礎(chǔ)上，理解正負(fù)數(shù)、相反數(shù)、絕對(duì)值的意義所在。重點(diǎn)利用有理數(shù)的運(yùn)算法則解決實(shí)際問題。

體驗(yàn)數(shù)學(xué)發(fā)展的一個(gè)重要原因是生活實(shí)際的需要。激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，教師培養(yǎng)學(xué)生的觀察、歸納與概括的能力，使學(xué)生建立正確的數(shù)感和解決實(shí)際問題的能力。

教師在講授本章內(nèi)容時(shí)，應(yīng)該多創(chuàng)設(shè)情境，充分體現(xiàn)學(xué)生學(xué)習(xí)的主體性地位。

八 年 級(jí) 上 冊(cè)

第一章-?三角形

1.三角形的定義：

由不在同一直線上的三條線段首尾順次相接組成的圖形叫做三角形。

三角形有三條邊，三個(gè)內(nèi)角，三個(gè)頂點(diǎn)。

組成三角形的線段叫做三角形的邊；相鄰兩邊所組成的角叫做三角形的內(nèi)角;；相鄰兩邊的公共端點(diǎn)是三角形的頂點(diǎn)。

2.三角形的表示：

三角形ABC用符號(hào)表示為△ABC。

三角形ABC的邊AB可用邊AB所對(duì)的角C的小寫字母c 表示，AC可用b表示，BC可用a表示。三個(gè)頂點(diǎn)用大寫字母A,B,C來表示。

注意：

(1)三條線段要不在同一直線上，且首尾順次相接；

(2)三角形是一個(gè)封閉的圖形；

(3)△ABC是三角形ABC的符號(hào)標(biāo)記，單獨(dú)的△沒有意義。

3.三角形的分類：

(1)按邊分類：

(2)按角分類：

4.三角形的主要線段的定義：

②∠1=∠2=∠BAC.

注意：

①三角形的角平分線是線段；

②三角形三條角平分線全在三角形的內(nèi)部且交于三角形內(nèi)部一點(diǎn)；（注：這一點(diǎn)角三角形的內(nèi)心。角平分線的性質(zhì)：角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊距離相等）

③用量角器畫三角形的角平分線。

(3)三角形的高

從三角形的一個(gè)頂點(diǎn)向它的對(duì)邊所在的直線作垂線，頂點(diǎn)和垂足之間的線段。

表示法：

①AD是△ABC的BC上的高線

②AD⊥BC于D

③∠ADB=∠ADC=90°.

注意：

①三角形的高是線段；

②銳角三角形三條高全在三角形的內(nèi)部，直角三角形有兩條高是邊，鈍角三角形有兩條高在形外；(三角形三條高所在直線交于一點(diǎn)．這點(diǎn)叫垂心）

③由于三角形有三條高線，所以求三角形的面積的時(shí)候就有三種（因?yàn)楦叩撞灰粯樱?/p>

5.三角形的主要線段的表示法：

三角形的角平分線的表示法：

如圖1，根據(jù)具體情況使用以下任意一種方式表示：

①? AD是DABC的角平分線；

②? AD平分DBAC，交BC于D；

(圖1)

(2)三角形的中線表示法：

如圖1，根據(jù)具體情況使用以下任意一種方式表示：

①AE是DABC的中線；

②AE是DABC中BC邊上的中線；

(3)三角線的高的表示法：

如圖2，根據(jù)具體情況，使用以下任意一種方式表示：

①AM是DABC的高；

②AM是DABC中BC邊上的高；

③如果AM是DABC中BC邊上高，那么AM^BC，垂足是E；

(圖2)

在畫三角形的三條角平分線，三條中線，三條高時(shí)應(yīng)注意：

(1)如圖3，三角形三條角平分線交于一點(diǎn)，交點(diǎn)都在三角形內(nèi)部.

(2)如圖4，三角形的三條中線交點(diǎn)一點(diǎn)，交點(diǎn)都在三角形內(nèi)部.

(圖3)

(圖4)

如圖5,6,7，三角形的三條高交于一點(diǎn)，銳角三角形的三條高的交點(diǎn)在三角形內(nèi)部，鈍角三角形的三條高的交點(diǎn)在三角形的外部，直角三角形的三條高的交點(diǎn)在直角三角形的直角頂點(diǎn)上.

(圖5)

(圖6)

(圖7)

6.三角形的三邊關(guān)系：

三角形的任意兩邊之和大于第三邊;任意兩邊之差小于第三邊。

注意：

(1)三邊關(guān)系的依據(jù)是：兩點(diǎn)之間線段是短；

(2)圍成三角形的條件是任意兩邊之和大于第三邊．

7.三角形的角與角之間的關(guān)系：

(1)三角形三個(gè)內(nèi)角的和等于180°;

(2)三角形的一個(gè)外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和；

(3)三角形的一個(gè)外角大于任何一個(gè)和它不相鄰的內(nèi)角.

(4)直角三角形的兩個(gè)銳角互余.

8.三角形的內(nèi)角和定理：

定理：三角形的內(nèi)角和等于180°

推論：直角三角形的兩個(gè)銳角互余。

推理過程：

(1)作CM∥AB，則∠4=∠1，而∠2+∠3+∠4=180度，

即∠A+∠B+∠ACB=180度．

(2)作MN∥BC，則∠2=∠B，∠3=∠C，而∠1+∠2+∠3=180度

即∠BAC+∠B+∠C=180度．

注意：

(1)證明的思路很多，基本思想是組成平角。

(2)應(yīng)用內(nèi)角和定理可解決已知二個(gè)角求第三個(gè)角或已知三角關(guān)系求三個(gè)角。

9.三角形的外角的定義：

三角形一邊與另一邊的延長線組成的角，叫做三角形的外角。

注意：每個(gè)頂點(diǎn)處都有兩個(gè)外角，但這兩個(gè)外角是對(duì)頂角。（所以一般我們只研究一個(gè)）

如:∠ACD、∠BCE都是△ABC的外角，且∠ACD=∠BCE

?所以說一個(gè)三角形有六個(gè)外角，但我們每個(gè)一個(gè)頂點(diǎn)處只選一個(gè)外角，這樣三角形的外角就只有三個(gè)了。

10.三角形外角的性質(zhì)：

(1)三角形的一個(gè)外角等于它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角之和。

(2)三角形的一個(gè)角大于與它不相鄰的任何一個(gè)內(nèi)角。

注意：

(1)它不相鄰的內(nèi)角不容忽視；

(1)作CM∥AB由于B、C、D共線

?∴∠A=∠1，∠B=∠2.

即∠ACD=∠1+∠2=∠A+∠B

那么∠ACD>∠A.∠ACD>∠B

11.三角形的穩(wěn)定性：

三角形的三邊長確定，則三角形的形狀就唯一確定，這叫做三角形的穩(wěn)定性。

注意：

(1)三角形具有穩(wěn)定性；

(2)四邊形沒有穩(wěn)定性.

12.關(guān)于三角形會(huì)經(jīng)常遇到的題型：

適當(dāng)添加輔助線，尋找基本圖形。

(1)基本圖形一，如圖8，在ABC中，AB=AC，B,A,D成一條直線，

(圖8)

(2)基本圖形二，如圖9，如果CO是∠AOB的角平分線，DE∥OB交OA,OC于D,E，那么DOE是等腰三角形，DO=DE.當(dāng)幾何問題的條件和結(jié)論中，或在推理過程中出現(xiàn)有角平分線，平行線，等腰三角形三個(gè)條件中的兩個(gè)時(shí)，就應(yīng)找出這個(gè)基本圖形，并立即推證出第三個(gè)作為結(jié)論.即：角平分線+平行線→等腰三角形。

(圖9)

(3)基本圖形三，如圖10，如果BD是DABC的角平分線，M是AB上一點(diǎn)，MN^BD，且與BP,BC相交于P,N.那么BM=BN，即DBMN是等腰三角形，且MP=NP，即：角平分線+垂線→等腰三角形。

(圖10)

當(dāng)幾何證題中出現(xiàn)角平分線和向角平分線所作垂線時(shí)，就應(yīng)找出這個(gè)基本圖形，如等腰三角形不完整就應(yīng)將基本圖形補(bǔ)完整，如圖11，圖12。

(圖11)

(圖12)

13.多邊形：

在同一平面內(nèi)，由一些線段首尾順次相接組成的圖形叫多邊形。

(1)多邊形的對(duì)角線：連接多邊形不相鄰的兩個(gè)頂點(diǎn)的線段，叫做多邊形的對(duì)角線。

(2)正多邊形：各邊相等，各角都相等的多邊形叫做正多邊形。

(3)多邊形的內(nèi)角和為（n-2）*180度

多邊形的外角和為 360度

注：當(dāng)求角度時(shí)應(yīng)該想起：內(nèi)角和、外角和、一個(gè)角的外角。

14.密鋪：

所謂“密鋪”，就是指任何一種圖形，如果能既無空隙又不重疊的鋪在平面上，這種鋪法就叫做“密鋪”。

用形狀、大小完全相同的一種或幾種平面圖形進(jìn)行拼接，彼此之間不留空隙、不重疊地鋪成一片，這就是平面圖形的密鋪，又稱做平面圖形的鑲嵌。

15.可單獨(dú)密鋪的圖形：

①所有三角形與四邊形均可以單獨(dú)密鋪。

②正多邊形只有正三角形、正四邊形、正六邊形可以單獨(dú)密鋪。　

③對(duì)邊平行的六邊形可以單獨(dú)密鋪。

平面上有：完全相同的三角形、四邊形能密鋪（或三角形與四邊形組合）、正多邊形密鋪時(shí),只有正三、四、六邊形可以密鋪。

(利用內(nèi)角和的知識(shí)來計(jì)算，如：任意三角形內(nèi)角180，則三個(gè)相同的任意三角形即可形成∠180，六個(gè)就可以密鋪；同理，四邊形內(nèi)角360，四個(gè)就可以密鋪；正多邊形的頂角的整數(shù)倍等于180或360)

曲面像12個(gè)正五邊形和20個(gè)正六邊形可以鋪成個(gè)球(足球就是)。

九 年 級(jí) 上 冊(cè)

第一章-一元二次方程

【知識(shí)網(wǎng)絡(luò)】

1.一元二次方程的定義：

2.一元二次方程的解法：

注意事項(xiàng)：

解一元二次方程常見的思維誤區(qū)是忽略幾個(gè)關(guān)鍵：

用因式分解法解方程的關(guān)鍵是先使方程的右邊為0；

用公式法解方程的關(guān)鍵是先把一元二次方程化為一般形式，正確寫出a、b、c的值；

用直接開平方法解方程的關(guān)鍵是先把方程化為(mx-n) 2=h的形式；

用配方法解方程的關(guān)鍵是先把二次項(xiàng)系數(shù)化為1，再把方程的兩邊都加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方。

解具體的一元二次方程時(shí)，要分析方程的特征，靈活選擇方法。

公式法是解一元二次方程的通法，而配方法又是公式法的基礎(chǔ)（公式法是直接利用了配方法的結(jié)論）。

分解因式法可解某些特殊形式的一元二次方程。

掌握各種方法的基本思想是正確解方程的根本，一般說來，先特殊后一般，即先考慮分解因式法，后考慮公式法。沒有特別說明，一般不用配方法。

3.一元二次方程的實(shí)際應(yīng)用：

方程是解決實(shí)際問題的有效模型和工具，解方程的技能訓(xùn)練要與實(shí)際問題相聯(lián)系，在解決問題的過程中體會(huì)解方程的技巧，理解方程的解的含義。

利用方程解決實(shí)際問題的關(guān)鍵是找出問題中的等量關(guān)系，找出題目中的已知量與未知量，分析已知量與未知量的關(guān)系，再通過等量關(guān)系，列出方程，求解方程，并能根據(jù)方程的解和具體問題的實(shí)際意義，檢驗(yàn)解的合理性。

4.列一元二次方程解應(yīng)用題的一般步驟：

可歸納為審、設(shè)、列、解、驗(yàn)、答。

審：讀懂題目，弄清題意，明確哪些是已知量，哪些是未知量，以及它們之間的等量關(guān)系；

設(shè)：設(shè)元，也就是設(shè)未知數(shù)；

列：列方程，這是非常重要的關(guān)鍵步驟，一般先找出能夠表達(dá)應(yīng)用題全部含義的一個(gè)相等關(guān)系，然后列代數(shù)式表示相等關(guān)系中的各個(gè)量，就得到含有未知數(shù)的等式，即方程；

解：解方程，求出未知數(shù)的值；

驗(yàn)：檢驗(yàn)方程的解能否保證實(shí)際問題有意義；

答：寫出答語。

5.相等關(guān)系的尋找：

應(yīng)從以下幾方面入手：

①分清本題屬于哪一類型的應(yīng)用題，如行程問題，則其基本數(shù)量關(guān)系應(yīng)明確（vt=s）。

②注意總結(jié)各類應(yīng)用題中常用的等量關(guān)系，如工作量（工程）問題。常常是以工作量為基礎(chǔ)得到相等關(guān)系（如各部分工作量之和等于整體1等）。

③注意語言與代數(shù)式之間的轉(zhuǎn)化。題目中多數(shù)條件是通過語言給出的，我們要善于將這些語言轉(zhuǎn)化為我們列方程所需要的代數(shù)式。

④從語言敘述中尋找相等關(guān)系，如甲比乙大5應(yīng)理解為 “甲=乙＋5”等。

⑤在尋找相等關(guān)系時(shí)，還應(yīng)從基本的生活常識(shí)中得出相等關(guān)系。

總之，找出相等關(guān)系的關(guān)鍵是審題，審題是列方程的基礎(chǔ)，找相等關(guān)系是列方程解應(yīng)用題的關(guān)鍵。

【易錯(cuò)點(diǎn)】

1.忽視一元二次方程定義中的條件：

2.用公式法解方程，忽視化方程為一般形式：

3.忽視等式性質(zhì)中的條件：

4.概念模糊致錯(cuò)：

5.忽視方程有根的具體含義：

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