15｜無窮小（一）：如何說服“杠精”芝諾？ - 得到APP (dedao.cn)

16｜無窮?。ǘ号ｎD和貝克萊在爭什么？ - 得到APP (dedao.cn)

17｜無窮小（三）：用動態(tài)和極限的眼光看世界 - 得到APP (dedao.cn)

無窮小是什么

：無窮小并不是一個確定的數(shù)，更不是零，它和無窮大一樣，是一種趨勢，是一個概念

無窮小的意義

：當(dāng)我們的頭腦開始接受數(shù)的概念可以超出一個具體的數(shù)，而是一個趨勢時(shí)，我們的思維就進(jìn)步了，我們看待世界也不會一個點(diǎn)一個點(diǎn)地去看了，而是一個趨勢一個趨勢地去看。

無窮小的歷史

：從芝諾，到牛頓、萊布尼茨與貝克萊，再到柯西和魏爾斯特拉斯

芝諾

：世界上最初認(rèn)真思考無窮小這個概念的，是公元前五世紀(jì)時(shí)古希臘的芝諾?！局ブZ悖論】

悖論一（二分法悖論）：從A點(diǎn)到B點(diǎn)是不可能的。S=0.5+0.25+0.125+……,?無窮級數(shù)是收斂的，和是有窮值。

悖論二（阿喀琉斯悖論）：阿喀琉斯追不上烏龜。S=1+0.1+0.01+0.001+……，同上

悖論三（飛矢不動悖論）：射出去的箭是靜止的。

悖論四（基本空間和相對運(yùn)動悖論）：兩匹馬跑的總距離等于一匹馬跑的距離。錯誤在于把無窮小量當(dāng)做了0，Δ≠2Δ。

當(dāng)邏輯和我們的經(jīng)驗(yàn)有了矛盾時(shí)，有兩個結(jié)果，一個結(jié)果是我們的經(jīng)驗(yàn)錯了。還有一個可能性就是，我們看似正確的邏輯，本身可能有問題，因?yàn)橛懈拍畹娜笔ВブZ的這兩個悖論就屬于第二種。

牛頓

：牛頓建立了微積分和導(dǎo)數(shù)機(jī)制，在物理學(xué)與數(shù)學(xué)領(lǐng)域取得了巨大的成功，但并沒有清晰的定義無窮小量，引來了貝克萊的攻擊。

為了研究函數(shù)的變化，牛頓發(fā)明了“流數(shù)”的概念（現(xiàn)稱為導(dǎo)數(shù)），用以計(jì)算瞬時(shí)速度，即St圖中某點(diǎn)的斜率，并以此建立了微積分。

這很好的解釋了“飛矢不動”悖論，當(dāng)Δt趨近于零的時(shí)候，箭頭飛行的距離ΔS也趨近于零。但是它們的比值（速度）并不是零。

【導(dǎo)數(shù)】概念的提出，使得人類能夠從掌握平均規(guī)律，進(jìn)入到掌握瞬間規(guī)律。比如速度是位移曲線的導(dǎo)數(shù)，加速度是速度的導(dǎo)數(shù)，動量是動能的導(dǎo)數(shù)，經(jīng)濟(jì)增長率是GDP的導(dǎo)數(shù)。

但在當(dāng)時(shí)牛頓并沒有清晰對無窮小量進(jìn)行定義（Δt/ΔS），貝克萊大主教對此提出了質(zhì)疑：無窮小的時(shí)間Δt到底是不是零?。咳绻橇?，它不能做分母，如果不是零，你的公式給出的還是一個平均速度，而不是瞬間速度。

微積分是以導(dǎo)數(shù)為基礎(chǔ)的，而無窮小又是導(dǎo)數(shù)的邏輯前提和基礎(chǔ)。如果無窮小這個基礎(chǔ)本身出問題，在上面建立起來的所有大廈都可能被推翻。這引發(fā)了第二次數(shù)學(xué)危機(jī)。

柯西

：要準(zhǔn)確定義無窮小，先要認(rèn)識極限這個概念。

以斐波那契數(shù)列前后兩項(xiàng)之比的黃金分割數(shù)為例，我們可以發(fā)現(xiàn)，首先極限是客觀存在的，其次極限最大的特征是“無限逼近”，最后趨同。

從柯西，再到魏爾斯特拉斯，最終把以上認(rèn)識用數(shù)學(xué)語言描述清楚了，他完全從數(shù)學(xué)本身出發(fā)，把微積分打造成一個嚴(yán)密的公理化系統(tǒng)。其中關(guān)鍵點(diǎn)在于對概念進(jìn)行了動態(tài)的描述。

任意給一個小的數(shù)字ε，如果總能找到一個數(shù)字M，當(dāng)N比M大之后，上面那個序列和2的差距小于ε。于是，我們就說上面那個序列的極限的是2。

其他：

【貝克萊】：雖然在中國課堂，他是唯心主義哲學(xué)家的代表人物，名言是“存在就是被感知”成為批判的對象，并被笑話為不懂微積分，孤立靜止地看待世界。但在西方世界，貝克萊是很受尊敬的，他被認(rèn)為是一位了不起的哲學(xué)家和學(xué)者，和約翰·洛克、大衛(wèi)·休謨一同，被譽(yù)為經(jīng)驗(yàn)主義哲學(xué)的三大代表人物。今天著名的加州大學(xué)伯克利分校里面“伯克利”三個字就是貝克萊的名字。

【微積分】的意義是，讓人類的認(rèn)知從靜態(tài)或者宏觀變化進(jìn)入到把握瞬間動態(tài)變化和加速變化，這是人類認(rèn)知的一大飛躍。

【柯西】是19世紀(jì)法國數(shù)學(xué)界的集大成者，他在法國數(shù)學(xué)史上的地位，猶如牛頓在英國，高斯在德國，我們今天所學(xué)習(xí)的微積分，其實(shí)并不是牛頓和萊布尼茨所描述的微積分，而是經(jīng)過柯西等人改造過的，嚴(yán)格得多的微積分。

該筆記已整合入個人知識體系，詳見 [筆記3](http://wangc.site/cbrain/share?nodeid=c2a06935efb5c9e8)