高中數(shù)學(xué)｜求圓的方程常見方法總結(jié)與歸納，拓展思維還得看后兩種

圓的方程在學(xué)習(xí)過程當(dāng)中，我們要對(duì)圓的定義有充分的理解，結(jié)合圖形才能明白其表達(dá)的實(shí)際意義。原是指平面上到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的集合，其頂點(diǎn)是圓心，定長(zhǎng)是圓的半徑。由此而推導(dǎo)出來的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，即頂點(diǎn)和圓心兩點(diǎn)之間的距離等于半徑。圓的方程一般分為標(biāo)準(zhǔn)方程和一般方程。

而圓的一般方程則是將圓的標(biāo)準(zhǔn)方程展開之后所得到的二元二次方程，一般方程當(dāng)中含有三個(gè)待定的字母，也即在求解圓的一般方程過程當(dāng)中，只要已知三個(gè)獨(dú)立的條件，就可以求解圓的一般方程。從圓的一般方程可以看出其最基本的條件及二次（平方項(xiàng)）項(xiàng)系數(shù)相等，且不等于0。Xy乘積的項(xiàng)不存在，即其系數(shù)為0。外外一次項(xiàng)系數(shù)的平方和減去十倍的常數(shù)項(xiàng)大于0。通過以上的三個(gè)條件就可以判定。一個(gè)二元二次方程是否表示圓。

那么在球員的方程過程當(dāng)中，我們常見的有以下四個(gè)方法：

第一，直接代入法，已知圓心坐標(biāo)和半徑大小，直接代入圓的標(biāo)準(zhǔn)方程即可求解，這種方式是比較簡(jiǎn)單的。

第二，待定系數(shù)法主要是根據(jù)題目中的條件反射出所求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程或者是一般方程。然后根據(jù)已知的條件建立圓心坐標(biāo)和半徑的方程組。最后將方程解出，求出圓心坐標(biāo)和半徑的值，并把它們帶入所說的方程當(dāng)中，就可以得所求圓的方程。而對(duì)于一般方程而言，則是建立有關(guān)于一次項(xiàng)系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)為未知數(shù)的方程組。

第三，幾何性質(zhì)法如果在求解圓的方程時(shí)，能夠結(jié)合原有關(guān)的幾何性質(zhì)來進(jìn)行考察，可以使思路更加的直觀，計(jì)算簡(jiǎn)單，這就是我們說得利用數(shù)形結(jié)合的思想來進(jìn)行解題。而在利用幾何性質(zhì)來求解圓的方程時(shí)，常用的幾何性質(zhì)有：

一，圓心到切點(diǎn)的連線垂直一過切點(diǎn)的圓的切線。

二，圓心到切線的距離等于半徑。

三，圓的半徑，半弦長(zhǎng)，弦心距構(gòu)成直角三角形。

四，圓中任意弦的垂直平分線，必過圓心。

五，圓內(nèi)的任意兩條弦的垂直平分線的交點(diǎn)一定是圓心。

以上的這幾條性質(zhì)都是利用幾何法來求圓的方程時(shí)能用到的重要性質(zhì)，也是我們?cè)诮忸}時(shí)解題思路形成的突破口。

第四，定義法，這種方法要先判斷軌跡是圓，然后再寫出方程。也就是利用兩點(diǎn)之間的距離是否等于半徑的關(guān)系作為判斷的標(biāo)準(zhǔn)。

然而在具體求原方程的過程當(dāng)中，如何根據(jù)實(shí)際的情況來進(jìn)行解題，以下的三個(gè)方法是非常不錯(cuò)的。

一，如果有已知條件，容易求出圓心坐標(biāo)半徑或方便利用圓心的坐標(biāo)和半徑列方程，一般采用圓的標(biāo)準(zhǔn)方程進(jìn)行求解，再用待定系數(shù)法求出圓心和半徑的值即可。

二，如果已知條件和圓心或半徑都無直接的關(guān)系，一般采用圓的一般方程，再用待定系數(shù)法求出各個(gè)字母的值。

三，注意圓的性質(zhì)的應(yīng)用，比如垂徑定理，切線，直角三角形等性質(zhì)的應(yīng)用，要注意適時(shí)的運(yùn)用幾何知識(shí)來列方程，這樣可大大減少運(yùn)算量。而且在具體的題型考察當(dāng)中，一般中等難度以及偏難的題型都更多地加入了圓的性質(zhì)。所以對(duì)于幾何性質(zhì)法的運(yùn)用，在求圓的方程過程當(dāng)中是極為重要的，也即對(duì)數(shù)形結(jié)合方法的運(yùn)用，能更多地考查同學(xué)們對(duì)圓的性質(zhì)以及圓的代數(shù)方程的綜合。

另外，在求圓方程學(xué)習(xí)的過程當(dāng)中，很多同學(xué)提到如何來判斷四點(diǎn)是否共圓，其實(shí)就是和求圓方程的方法比較類似，主要多出一個(gè)步驟而已，首先我們可以將四點(diǎn)中的3點(diǎn)來確定圓的方程，也即可直接利用特定系數(shù)法求出圓的方程，然后再將第4點(diǎn)帶入方程當(dāng)中，看其是否滿足圓的方程，如果滿足則4點(diǎn)共圓，不滿足則4點(diǎn)不共圓即可，這屬于求圓的方程的實(shí)際應(yīng)用。

寫在最后，有關(guān)圓的方程的求解，除了對(duì)圓的兩種方程的形式，利用待定系數(shù)法，可直接帶入法進(jìn)行求解以外，對(duì)于幾何性質(zhì)法的運(yùn)用也是大家學(xué)習(xí)中的重點(diǎn)。利用圓的性質(zhì)和圓的代數(shù)方程相結(jié)合的方法將是中等體型當(dāng)中考察的重點(diǎn)，也是大家進(jìn)行思維拓展的最好方式，其難度并不是很大，只需要將以前學(xué)習(xí)的有關(guān)圓的興致在圖形當(dāng)中進(jìn)行全面地梳理，然后配合元方程的性質(zhì)來進(jìn)行求解即可。

另外，對(duì)于圓的定義法的運(yùn)用其實(shí)就是要提醒大家對(duì)于元旦定義有充分了解的情況下也能求解方程，但是很多同學(xué)都對(duì)此進(jìn)行了忽略，定義是學(xué)習(xí)每一部分內(nèi)容最基礎(chǔ)的知識(shí)，也是最核心的內(nèi)容，如果理解不透徹，那么也會(huì)出現(xiàn)較多的問題。希望同學(xué)們能夠重視起來。