網(wǎng)址附上：math --- 數(shù)學(xué)函數(shù) — Python 3.9.17 文檔

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正文

該模塊提供了對(duì)C標(biāo)準(zhǔn)定義的數(shù)學(xué)函數(shù)的訪問。

這些函數(shù)不適用于復(fù)數(shù)；如果你需要計(jì)算復(fù)數(shù)，請(qǐng)使用?cmath?模塊中的同名函數(shù)。將支持計(jì)算復(fù)數(shù)的函數(shù)區(qū)分開的目的，來自于大多數(shù)開發(fā)者并不愿意像數(shù)學(xué)家一樣需要學(xué)習(xí)復(fù)數(shù)的概念。得到一個(gè)異常而不是一個(gè)復(fù)數(shù)結(jié)果使得開發(fā)者能夠更早地監(jiān)測(cè)到傳遞給這些函數(shù)的參數(shù)中包含復(fù)數(shù)，進(jìn)而調(diào)查其產(chǎn)生的原因。

該模塊提供了以下函數(shù)。除非另有明確說明，否則所有返回值均為浮點(diǎn)數(shù)。

數(shù)論與表示函數(shù)

• math.ceil(x)

• 返回?x?的向上取整，即大于或等于?x?的最小的整數(shù)。如果?x?不是浮點(diǎn)數(shù)，委托給?x.__ceil__?，它應(yīng)該返回一個(gè)?Integral?的值。

• math.comb(n,?k)

• 返回不重復(fù)且無順序地從?n?項(xiàng)中選擇?k?項(xiàng)的方式總數(shù)。

  當(dāng)?k?<=?n?時(shí)取值為?n!?/?(k!?*?(n?-?k)!)；當(dāng)?k?>?n?時(shí)取值為零。

  也稱為二項(xiàng)式系數(shù)，因?yàn)樗葍r(jià)于表達(dá)式?(1?+?x)?**?n?的多項(xiàng)式展開中第 k 項(xiàng)的系數(shù)。

  如果任一參數(shù)不為整數(shù)則會(huì)引發(fā)?TypeError。 如果任一參數(shù)為負(fù)數(shù)則會(huì)引發(fā)?ValueError。

  3.8 新版功能.

• math.copysign(x,?y)

• 返回一個(gè)基于?x?的絕對(duì)值和?y?的符號(hào)的浮點(diǎn)數(shù)。在支持帶符號(hào)零的平臺(tái)上，copysign(1.0,?-0.0)?返回?-1.0.

• math.fabs(x)

• 返回?x?的絕對(duì)值。

• math.factorial(x)

• 以一個(gè)整數(shù)返回?x?的階乘。 如果?x?不是整數(shù)或?yàn)樨?fù)數(shù)時(shí)則將引發(fā)?ValueError。

  3.9 版后已移除:?接受具有整數(shù)值的浮點(diǎn)數(shù) (例如?5.0) 的行為已被棄用。

• math.floor(x)

• 返回?x?的向下取整，小于或等于?x?的最大整數(shù)。如果?x?不是浮點(diǎn)數(shù)，則委托給?x.__floor__?，它應(yīng)返回一個(gè)?Integral?值。

• math.fmod(x,?y)

• 返回?fmod(x,?y)?，由平臺(tái)C庫定義。請(qǐng)注意，Python表達(dá)式?x?%?y?可能不會(huì)返回相同的結(jié)果。C標(biāo)準(zhǔn)的目的是?fmod(x,?y)?完全（數(shù)學(xué)上；到無限精度）等于?x?-?n*y?對(duì)于某個(gè)整數(shù)?n?，使得結(jié)果具有 與?x?相同的符號(hào)和小于?abs(y)?的幅度。Python的?x?%?y?返回帶有?y?符號(hào)的結(jié)果，并且可能不能完全計(jì)算浮點(diǎn)參數(shù)。 例如，?fmod(-1e-100,?1e100)?是?-1e-100?，但Python的?-1e-100?%?1e100?的結(jié)果是?1e100-1e-100?，它不能完全表示為浮點(diǎn)數(shù)，并且取整為令人驚訝的?1e100?。 出于這個(gè)原因，函數(shù)?fmod()?在使用浮點(diǎn)數(shù)時(shí)通常是首選，而Python的?x?%?y?在使用整數(shù)時(shí)是首選。

• math.frexp(x)

• 以?(m,?e)?對(duì)的形式返回?x?的尾數(shù)和指數(shù)。?m?是一個(gè)浮點(diǎn)數(shù)，?e?是一個(gè)整數(shù)，正好是?x?==?m?*?2**e?。 如果?x?為零，則返回?(0.0,?0)?，否則返回?0.5?<=?abs(m)?<?1?。這用于以可移植方式“分離”浮點(diǎn)數(shù)的內(nèi)部表示。

• math.fsum(iterable)

• 返回迭代中的精確浮點(diǎn)值。通過跟蹤多個(gè)中間部分和來避免精度損失:

  >>>

  >>> sum([.1, .1, .1, .1, .1, .1, .1, .1, .1, .1])0.9999999999999999>>> fsum([.1, .1, .1, .1, .1, .1, .1, .1, .1, .1])1.0

  該算法的準(zhǔn)確性取決于IEEE-754算術(shù)保證和舍入模式為半偶的典型情況。在某些非Windows版本中，底層C庫使用擴(kuò)展精度添加，并且有時(shí)可能會(huì)使中間和加倍，導(dǎo)致它在最低有效位中關(guān)閉。

  有關(guān)待進(jìn)一步討論和兩種替代方法，參見?ASPN cookbook recipes for accurate floating point summation。

• math.gcd(*integers)

• 返回給定的整數(shù)參數(shù)的最大公約數(shù)。 如果有一個(gè)參數(shù)非零，則返回值將是能同時(shí)整除所有參數(shù)的最大正整數(shù)。 如果所有參數(shù)為零，則返回值為?0。 不帶參數(shù)的?gcd()?返回?0。

  3.5 新版功能.

  在 3.9 版更改:?添加了對(duì)任意數(shù)量的參數(shù)的支持。 之前的版本只支持兩個(gè)參數(shù)。

• math.isclose(a,?b,?*,?rel_tol=1e-09,?abs_tol=0.0)

• 若?a?和?b?的值比較接近則返回?True，否則返回?False。

  根據(jù)給定的絕對(duì)和相對(duì)容差確定兩個(gè)值是否被認(rèn)為是接近的。

  rel_tol?是相對(duì)容差 —— 它是?a?和?b?之間允許的最大差值，相對(duì)于?a?或?b?的較大絕對(duì)值。例如，要設(shè)置5％的容差，請(qǐng)傳遞?rel_tol=0.05?。默認(rèn)容差為?1e-09，確保兩個(gè)值在大約9位十進(jìn)制數(shù)字內(nèi)相同。?rel_tol?必須大于零。

  abs_tol?是最小絕對(duì)容差 —— 對(duì)于接近零的比較很有用。?abs_tol?必須至少為零。

  如果沒有錯(cuò)誤發(fā)生，結(jié)果將是：?abs(a-b)?<=?max(rel_tol?*?max(abs(a),?abs(b)),?abs_tol)?。

  IEEE 754特殊值?NaN?，?inf?和?-inf?將根據(jù)IEEE規(guī)則處理。具體來說，?NaN?不被認(rèn)為接近任何其他值，包括?NaN?。?inf?和?-inf?只被認(rèn)為接近自己。

  3.5 新版功能.

  參見

  ?

  PEP 485?—— 用于測(cè)試近似相等的函數(shù)

• math.isfinite(x)

• 如果?x?既不是無窮大也不是NaN，則返回?True?，否則返回?False?。 （注意?0.0?被認(rèn)為?是?有限的。）

  3.2 新版功能.

• math.isinf(x)

• 如果?x?是正或負(fù)無窮大，則返回?True?，否則返回?False?。

• math.isnan(x)

• 如果?x?是 NaN（不是數(shù)字），則返回?True?，否則返回?False?。

• math.isqrt(n)

• 返回非負(fù)整數(shù)?n?的整數(shù)平方根。 這就是對(duì)?n?的實(shí)際平方根向下取整，或者相當(dāng)于使得?a2?≤?n?的最大整數(shù)?a。

  對(duì)于某些應(yīng)用來說，可以更適合取值為使得?n?≤?a2 的最小整數(shù)?a?，或者換句話說就是?n?的實(shí)際平方根向上取整。 對(duì)于正數(shù)?n，這可以使用?a?=?1?+?isqrt(n?-?1)?來計(jì)算。

  3.8 新版功能.

• math.lcm(*integers)

• 返回給定的整數(shù)參數(shù)的最小公倍數(shù)。 如果所有參數(shù)均非零，則返回值將是為所有參數(shù)的整數(shù)倍的最小正整數(shù)。 如果參數(shù)之一為零，則返回值為?0。 不帶參數(shù)的?lcm()?返回?1。

  3.9 新版功能.

• math.ldexp(x,?i)

• 返回?x?*?(2**i)?。 這基本上是函數(shù)?frexp()?的反函數(shù)。

• math.modf(x)

• 返回?x?的小數(shù)和整數(shù)部分。兩個(gè)結(jié)果都帶有?x?的符號(hào)并且是浮點(diǎn)數(shù)。

• math.nextafter(x,?y)

• 返回?x?趨向于?y?的最接近的浮點(diǎn)數(shù)值。

  如果?x?等于?y?則返回?y。

  示例：

  • math.nextafter(x,?math.inf)?的方向朝上：趨向于正無窮。

  • math.nextafter(x,?-math.inf)?的方向朝下：趨向于負(fù)無窮。

  • math.nextafter(x,?0.0)?趨向于零。

  • math.nextafter(x,?math.copysign(math.inf,?x))?趨向于零的反方向。

  另請(qǐng)參閱?math.ulp()。

  3.9 新版功能.

• math.perm(n,?k=None)

• 返回不重復(fù)且有順序地從?n?項(xiàng)中選擇?k?項(xiàng)的方式總數(shù)。

  當(dāng)?k?<=?n?時(shí)取值為?n!?/?(n?-?k)!；當(dāng)?k?>?n?時(shí)取值為零。

  如果?k?未指定或?yàn)?None，則?k?默認(rèn)值為?n?并且函數(shù)將返回?n!。

  如果任一參數(shù)不為整數(shù)則會(huì)引發(fā)?TypeError。 如果任一參數(shù)為負(fù)數(shù)則會(huì)引發(fā)?ValueError。

  3.8 新版功能.

• math.prod(iterable,?*,?start=1)

• 計(jì)算輸入的?iterable?中所有元素的積。 積的默認(rèn)?start?值為?1。

  當(dāng)可迭代對(duì)象為空時(shí)，返回起始值。 此函數(shù)特別針對(duì)數(shù)字值使用，并會(huì)拒絕非數(shù)字類型。

  3.8 新版功能.

• math.remainder(x,?y)

• 返回 IEEE 754 風(fēng)格的?x?相對(duì)于?y?的余數(shù)。對(duì)于有限?x?和有限非零?y?，這是差異?x?-?n*y?，其中?n?是與商?x?/?y?的精確值最接近的整數(shù)。如果?x?/?y?恰好位于兩個(gè)連續(xù)整數(shù)之間，則將最接近的?偶數(shù)?用作?n?。 余數(shù)?r?=?remainder(x,?y)?因此總是滿足?abs(r)?<=?0.5?*?abs(y)。

  特殊情況遵循IEEE 754：特別是?remainder(x,?math.inf)?對(duì)于任何有限?x?都是?x?，而?remainder(x,?0)?和?remainder(math.inf,?x)?引發(fā)?ValueError?適用于任何非NaN的?x?。如果余數(shù)運(yùn)算的結(jié)果為零，則該零將具有與?x?相同的符號(hào)。

  在使用IEEE 754二進(jìn)制浮點(diǎn)的平臺(tái)上，此操作的結(jié)果始終可以完全表示：不會(huì)引入舍入錯(cuò)誤。

  3.7 新版功能.

• math.trunc(x)

• 返回去除小數(shù)部分的?x?，只留下整數(shù)部分。 這樣就可以四舍五入到0了：?trunc()?對(duì)于正的?x?相當(dāng)于?floor()?，對(duì)于負(fù)的?x?相當(dāng)于?ceil()?。如果?x?不是浮點(diǎn)數(shù)，委托給?x.__trunc__?，它應(yīng)該返回一個(gè)?Integral?值。

• math.ulp(x)

• 返回浮點(diǎn)數(shù)?x?的最小有效比特位的值:

  • 如果?x?是 NaN (非數(shù)字)，則返回?x。

  • 如果?x?為負(fù)數(shù)，則返回?ulp(-x)。

  • 如果?x?為正數(shù)，則返回?x。

  • 如果?x?等于零，則返回?去正規(guī)化的?可表示最小正浮點(diǎn)數(shù) (小于?正規(guī)化的?最小正浮點(diǎn)數(shù)?sys.float_info.min)。

  • 如果?x?等于可表示最大正浮點(diǎn)數(shù)，則返回?x?的最低有效比特位的值，使得小于?x?的第一個(gè)浮點(diǎn)數(shù)為?x?-?ulp(x)。

  • 在其他情況下 (x?是一個(gè)有限的正數(shù))，則返回?x?的最低有效比特位的值，使得大于?x?的第一個(gè)浮點(diǎn)數(shù)為?x?+?ulp(x)。

  ULP 即 "Unit in the Last Place" 的縮寫。

  另請(qǐng)參閱?math.nextafter()?和?sys.float_info.epsilon。

  3.9 新版功能.

注意?frexp()?和?modf()?具有與它們的C等價(jià)函數(shù)不同的調(diào)用/返回模式：它們采用單個(gè)參數(shù)并返回一對(duì)值，而不是通過 '輸出形參' 返回它們的第二個(gè)返回參數(shù)（Python中沒有這樣的東西）。

對(duì)于?ceil()?，?floor()?和?modf()?函數(shù)，請(qǐng)注意?所有?足夠大的浮點(diǎn)數(shù)都是精確整數(shù)。Python浮點(diǎn)數(shù)通常不超過53位的精度（與平臺(tái)C double類型相同），在這種情況下，任何浮點(diǎn)?x?與?abs(x)?>=?2**52?必然沒有小數(shù)位。

冪函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)

• math.exp(x)

• 返回?e?次?x?冪，其中?e?= 2.718281... 是自然對(duì)數(shù)的基數(shù)。這通常比?math.e?**?x?或?pow(math.e,?x)?更精確。

• math.expm1(x)

• 返回?e?的?x?次冪，減1。這里?e?是自然對(duì)數(shù)的基數(shù)。對(duì)于小浮點(diǎn)數(shù)?x?，?exp(x)?-?1?中的減法可能導(dǎo)致?significant loss of precision；?expm1()?函數(shù)提供了一種將此數(shù)量計(jì)算為全精度的方法:

  >>>

  >>> from math import exp, expm1>>> exp(1e-5) - 1 ?# gives result accurate to 11 places1.0000050000069649e-05>>> expm1(1e-5) ? ?# result accurate to full precision1.0000050000166668e-05

  3.2 新版功能.

• math.log(x[,?base])

• 使用一個(gè)參數(shù)，返回?x?的自然對(duì)數(shù)（底為?e?）。

  使用兩個(gè)參數(shù)，返回給定的?base?的對(duì)數(shù)?x?，計(jì)算為?log(x)/log(base)?。

• math.log1p(x)

• 返回?1+x?的自然對(duì)數(shù)（以?e?為底）。 以對(duì)于接近零的?x?精確的方式計(jì)算結(jié)果。

• math.log2(x)

• 返回?x?以2為底的對(duì)數(shù)。這通常比?log(x,?2)?更準(zhǔn)確。

  3.3 新版功能.

  參見

  ?

  int.bit_length()?返回表示二進(jìn)制整數(shù)所需的位數(shù)，不包括符號(hào)和前導(dǎo)零。

• math.log10(x)

• 返回?x?底為10的對(duì)數(shù)。這通常比?log(x,?10)?更準(zhǔn)確。

• math.pow(x,?y)

• 將返回?x?的?y?次冪。特殊情況盡可能遵循C99標(biāo)準(zhǔn)的附錄'F'。特別是，?pow(1.0,?x)?和?pow(x,?0.0)?總是返回?1.0?，即使?x?是零或NaN。 如果?x?和?y?都是有限的，?x?是負(fù)數(shù)，?y?不是整數(shù)那么?pow(x,?y)?是未定義的，并且引發(fā)?ValueError?。

  與內(nèi)置的?**?運(yùn)算符不同，?math.pow()?將其參數(shù)轉(zhuǎn)換為?float?類型。使用?**?或內(nèi)置的?pow()?函數(shù)來計(jì)算精確的整數(shù)冪。

• math.sqrt(x)

• 返回?x?的平方根。

三角函數(shù)

• math.acos(x)

• 返回以弧度為單位的?x?的反余弦值。 結(jié)果范圍在?0?到?pi?之間。

• math.asin(x)

• 返回以弧度為單位的?x?的反正弦值。 結(jié)果范圍在?-pi/2?到?pi/2?之間。

• math.atan(x)

• 返回以弧度為單位的?x?的反正切值。 結(jié)果范圍在?-pi/2?到?pi/2?之間。.

• math.atan2(y,?x)

• 以弧度為單位返回?atan(y?/?x)?。結(jié)果是在?-pi?和?pi?之間。從原點(diǎn)到點(diǎn)?(x,?y)?的平面矢量使該角度與正X軸成正比。?atan2()?的點(diǎn)的兩個(gè)輸入的符號(hào)都是已知的，因此它可以計(jì)算角度的正確象限。 例如，?atan(1)?和?atan2(1,?1)?都是?pi/4?，但?atan2(-1,?-1)?是?-3*pi/4?。

• math.cos(x)

• 返回?x?弧度的余弦值。

• math.dist(p,?q)

• 返回?p?與?q?兩點(diǎn)之間的歐幾里得距離，以一個(gè)坐標(biāo)序列（或可迭代對(duì)象）的形式給出。 兩個(gè)點(diǎn)必須具有相同的維度。

  大致相當(dāng)于：

  sqrt(sum((px - qx) ** 2.0 for px, qx in zip(p, q)))

  3.8 新版功能.

• math.hypot(*coordinates)

• 返回歐幾里得范數(shù)，sqrt(sum(x**2?for?x?in?coordinates))。 這是從原點(diǎn)到坐標(biāo)給定點(diǎn)的向量長(zhǎng)度。

  對(duì)于一個(gè)二維點(diǎn)?(x,?y)，這等價(jià)于使用畢達(dá)哥拉斯定義?sqrt(x*x?+?y*y)?計(jì)算一個(gè)直角三角形的斜邊。

  在 3.8 版更改:?添加了對(duì) n 維點(diǎn)的支持。 之前的版本只支持二維點(diǎn)。

• math.sin(x)

• 返回?x?弧度的正弦值。

• math.tan(x)

• 返回?x?弧度的正切值。

角度轉(zhuǎn)換

• math.degrees(x)

• 將角度?x?從弧度轉(zhuǎn)換為度數(shù)。

• math.radians(x)

• 將角度?x?從度數(shù)轉(zhuǎn)換為弧度。

雙曲函數(shù)

雙曲函數(shù)?是基于雙曲線而非圓來對(duì)三角函數(shù)進(jìn)行模擬。

• math.acosh(x)

• 返回?x?的反雙曲余弦值。

• math.asinh(x)

• 返回?x?的反雙曲正弦值。

• math.atanh(x)

• 返回?x?的反雙曲正切值。

• math.cosh(x)

• 返回?x?的雙曲余弦值。

• math.sinh(x)

• 返回?x?的雙曲正弦值。

• math.tanh(x)

• 返回?x?的雙曲正切值。

特殊函數(shù)

• math.erf(x)

• 返回?x?處的?error function?。

  erf()?函數(shù)可用于計(jì)算傳統(tǒng)的統(tǒng)計(jì)函數(shù)，如?累積標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布

  def phi(x): ? ?'Cumulative distribution function for the standard normal distribution' ? ?return (1.0 + erf(x / sqrt(2.0))) / 2.0

  3.2 新版功能.

• math.erfc(x)

• 返回?x?處的互補(bǔ)誤差函數(shù)。?互補(bǔ)錯(cuò)誤函數(shù)?定義為?1.0?-?erf(x)。 它用于?x?的大值，從其中減去一個(gè)會(huì)導(dǎo)致?有效位數(shù)損失。

  3.2 新版功能.

• math.gamma(x)

• 返回?x?處的?伽馬函數(shù)?值。

  3.2 新版功能.

• math.lgamma(x)

• 返回Gamma函數(shù)在?x?絕對(duì)值的自然對(duì)數(shù)。

  3.2 新版功能.

常數(shù)

• math.pi

• 數(shù)學(xué)常數(shù)?π?= 3.141592...，精確到可用精度。

• math.e

• 數(shù)學(xué)常數(shù)?e?= 2.718281...，精確到可用精度。

• math.tau

• 數(shù)學(xué)常數(shù)?τ?= 6.283185...，精確到可用精度。Tau 是一個(gè)圓周常數(shù)，等于 2π，圓的周長(zhǎng)與半徑之比。更多關(guān)于 Tau 的信息可參考 Vi Hart 的視頻?Pi is (still) Wrong。吃兩倍多的派來慶祝?Tau 日?吧！

  3.6 新版功能.

• math.inf

• 浮點(diǎn)正無窮大。 （對(duì)于負(fù)無窮大，使用?-math.inf?。）相當(dāng)于?float('inf')?的輸出。

  3.5 新版功能.

• math.nan

• 一個(gè)浮點(diǎn)的 "非數(shù)字"（NaN）值。相當(dāng)于?float('nan')?的輸出。 由于?IEEE-754標(biāo)準(zhǔn)?的要求，?math.nan?和?float('nan')?不被認(rèn)為等于任何其他數(shù)值，包括其本身。要檢查一個(gè)數(shù)字是否為NaN，請(qǐng)使用?isnan()?函數(shù)來測(cè)試 NaN ，而不是?is?或?==?。 例子:

  >>>

  >>> import math>>> math.nan == math.nanFalse>>> float('nan') == float('nan')False>>> math.isnan(math.nan)True>>> math.isnan(float('nan'))True

  3.5 新版功能.

CPython implementation detail:?math?模塊主要包含圍繞平臺(tái)C數(shù)學(xué)庫函數(shù)的簡(jiǎn)單包裝器。特殊情況下的行為在適當(dāng)情況下遵循C99標(biāo)準(zhǔn)的附錄F。當(dāng)前的實(shí)現(xiàn)將引發(fā)?ValueError?用于無效操作，如?sqrt(-1.0)?或?log(0.0)?（其中C99附件F建議發(fā)出無效操作信號(hào)或被零除）， 和?OverflowError?用于溢出的結(jié)果（例如，?exp(1000.0)?）。除非一個(gè)或多個(gè)輸入?yún)?shù)是NaN，否則不會(huì)從上述任何函數(shù)返回NaN；在這種情況下，大多數(shù)函數(shù)將返回一個(gè)NaN，但是（再次遵循C99附件F）這個(gè)規(guī)則有一些例外，例如?pow(float('nan'),?0.0)?或?hypot(float('nan'),?float('inf'))?。

請(qǐng)注意，Python不會(huì)將顯式NaN與靜默NaN區(qū)分開來，并且顯式NaN的行為仍未明確。典型的行為是將所有NaN視為靜默的。