數(shù)論中的求和公式

2021-12-04 20:30 作者:子瞻Louis 0人讀過 | 我要投稿

在數(shù)論中，我們常常遇到類似 $%5Csum%20u(n)v(n)$ 的和式子，其中 $u(x)$ 是一階可導(dǎo)的實(shí)值或復(fù)值函數(shù), $v(n)$ 是數(shù)論函數(shù)，本章將介紹分析中研究此類和式的一些方法

Abel求和公式（分部求和法）

看到它的另一個(gè)名字可能就有同學(xué)會(huì)想到微積分中的分部積分法

沒錯(cuò)，他們其實(shí)是有聯(lián)系的，我們先來回顧一下分部積分法

設(shè) $u(x)%2Cv(x)$ 是[a,b]上連續(xù)可積的函數(shù)，對(duì)它們的乘積微分

$%5Cmathrm%20du(x)v(x)%3D%5Clim_%7Bh%5Cto0%7D%20u(x%2Bh)v(x%2Bh)-u(x)v(x)%20$

$%3D%5Clim_%7Bh%5Cto0%7D%20u(x%2Bh)v(x%2Bh)-u(x%2Bh)v(x)%2Bu(x%2Bh)v(x)-u(x)v(x)%20$

$%3D%5Clim_%7Bh%5Cto0%7D%20u(x%2Bh)%5Cmathrm%20dv(x)%2Bv(x)%5Cmathrm%20du(x)%20%3Du(x)%5Cmathrm%20dv(x)%2Bv(x)%5Cmathrm%20du(x)$

對(duì)兩邊同時(shí)從a到b積分

$%5Cint_%7Ba%7D%5E%7Bb%7D%5Cmathrm%20du(x)v(x)%3D%5Cint_%7Ba%7D%5E%7Bb%7Du(x)%5Cmathrm%20dv(x)%2B%5Cint_%7Ba%7D%5E%7Bb%7Dv(x)%5Cmathrm%20du(x)$

$%5Cint_%7Ba%7D%5E%7Bb%7Du(x)%5Cmathrm%20dv(x)%3Du(b)v(b)-u(a)v(a)-%5Cint_%7Ba%7D%5E%7Bb%7Dv(x)%5Cmathrm%20du(x)$

這就是著名的分部積分法，其實(shí)它本身也是一種分部求和法

為了得到Abel求和公式，我們先給出一個(gè)定義

$f(n)$ 為一數(shù)論函數(shù)， $%5CDelta%20f(n)%3Df(n)-f(n-1)$ 稱為 $f(n)$ 的差分

我們不難推出它的一些性質(zhì)

$%5Csum_%7Ba%3Cn%5Cleq%20b%7D%5CDelta%20f(n)%3Df(%5Bb%5D)-f(%5Ba%5D)$
$%5CDelta%20u(n)v(n)%3Du(n)%5CDelta%20v(n)-v(n-1)%5CDelta%20u(n)$

其中 $%5Bx%5D$ 為取整函數(shù)，表示不大于x的最大整數(shù)

是不是覺得和微積分很像呢？那就對(duì)了！

我們?cè)诘诙€(gè)性質(zhì)中從a到b求和，利用第一個(gè)性質(zhì)得到

$%5Cbegin%7Baligned%7D%5Csum_%7Ba%3C%20n%5Cleq%20b%7D%5CDelta%20u(n)v(n)%26%3Du(%5Bb%5D)v(%5Bb%5D)-u(%5Ba%5D)v(%5Ba%5D)%5C%5C%26%3D%5Csum_%7Ba%3C%20n%5Cleq%20b%7Du(n)%5CDelta%20v(n)%2B%5Csum_%7Ba%3C%20n%5Cleq%20b%7Dv(n-1)%5CDelta%20u(n)%5Cend%7Baligned%7D$

因?yàn)?img type="latex" class="latex" src="http://api.bilibili.com/x/web-frontend/mathjax/tex?formula=u(x)" alt="u(x)">一階可導(dǎo)，所以

$%5CDelta%20u(n)%3Du(n)-u(n-1)%3D%5Cint_%7Bn-1%7D%5E%7Bn%7D%5Cmathrm%20du(x)$

我們令 $v(x)%3Dv(%5Bx%5D)%2Cx%5Cin%20R$ ，則

$v(n-1)%5CDelta%20u(n)%3D%5Cint_%7Bn-1%7D%5E%7Bn%7Du(x)%5Cmathrm%20dv(x)$

上式從a到b求和的過程中，積分區(qū)間各不相交且可以很好的合并起來，即

$%5Csum_%7Ba%3C%20n%5Cleq%20b%7Dv(n-1)%5CDelta%20u(n)%3D%5Cint_%7B%5Ba%5D%7D%5E%7B%5Bb%5D%7Dv(x)%5Cmathrm%20%20du(x)$

于是，我們得到

$u(%5Bb%5D)v(%5Bb%5D)-u(%5Ba%5D)v(%5Ba%5D)%3D%5Csum_%7Ba%3C%20n%5Cleq%20b%7Du(n)%5CDelta%20v(n)%2B%5Cint_%7B%5Ba%5D%7D%5E%7B%5Bb%5D%7Dv(x)%5Cmathrm%20du(x)$

$%5Cimplies%20%5Csum_%7Ba%3C%20n%5Cleq%20b%7Du(n)%5CDelta%20v(n)%3Du(%5Bb%5D)v(%5Bb%5D)-u(%5Ba%5D)v(%5Ba%5D)-%5Cint_%7B%5Ba%5D%7D%5E%7B%5Bb%5D%7Dv(x)%5Cmathrm%20du(x)$

式中的取整符號(hào)讓它看起來不太美觀，身為強(qiáng)迫癥的我當(dāng)然不能忍了

于是我們繼續(xù)研究一下它

注意到

$%5Cbegin%7Baligned%7D%5Cint_%7Ba%7D%5E%7Bb%7Dv(x)%5Cmathrm%20du(x)%26%3D%5Cint_%7B%5Ba%5D%7D%5E%7B%5Bb%5D%7Dv(x)%5Cmathrm%20du(x)%2B%5Cleft(%5Cint_%7Ba%7D%5E%7B%5Ba%5D%7D%2B%5Cint_%7B%5Bb%5D%7D%5E%7Bb%7D%5Cright)v(x)%5Cmathrm%20du(x)%5C%5C%26%3D%5Cint_%7B%5Ba%5D%7D%5E%7B%5Bb%5D%7Dv(x)%5Cmathrm%20du(x)%2Bv(%5Ba%5D)%5Cint_%7Ba%7D%5E%7B%5Ba%5D%7Ddv(x)%2Bv(%5Bb%5D)%5Cint_%7B%5Bb%5D%7D%5E%7Bb%7D%5Cmathrm%20dv(x)%5C%5C%26%3D%5Cint_%7B%5Ba%5D%7D%5E%7B%5Bb%5D%7Dv(x)%5Cmathrm%20du(x)%2Bv(%5Ba%5D)u(%5Ba%5D)-v(a)u(a)%2Bv(b)u(b)-v(%5Bb%5D)u(%5Bb%5D)%5Cend%7Baligned%7D$

$%5CRightarrow%20%5Cint_%7B%5Ba%5D%7D%5E%7B%5Bb%5D%7Dv(x)%5Cmathrm%20du(x)%3D%5Cint_%7Ba%7D%5E%7Bb%7Dv(x)%5Cmathrm%20du(x)-v(%5Ba%5D)u(%5Ba%5D)%2Bv(%5Bb%5D)u(%5Bb%5D)%2Bv(b)u(b)-v(a)u(b)$

代入上式得到

$%5Csum_%7Ba%3C%20n%5Cleq%20b%7Du(n)%5CDelta%20v(n)%3Du(b)v(b)-u(a)v(a)-%5Cint_%7Ba%7D%5E%7Bb%7Dv(x)%5Cmathrm%20du(x)$

不難看出它與微積分中的分部積分法只區(qū)別在 $v(n)$ 是一數(shù)論函數(shù)且 $v(x)%3Dv(%5Bx%5D)$

到這里其實(shí)它與真正的分部求和法已經(jīng)差不了多少了，但還是有點(diǎn)缺一點(diǎn)美觀，

而下面的這個(gè)就是“正宗貨”了

設(shè) $f(x)$ 為一[a,b]上一階可導(dǎo)的函數(shù)， $G(n)$ 為一數(shù)論函數(shù)且 $G(x)%3DG(%5Bx%5D)%2CG(0)%3D0$

令 $g(n)%3D%5CDelta%20v(n)$ ，則 $v(x)%3D%5Csum_%7Bn%5Cleq%20x%7Dg(n)$

由上面的結(jié)論，得到

$%5Csum_%7Ba%3C%20n%5Cleq%20b%7Df(n)g(n)%3Df(b)G(b)-f(a)G(a)-%5Cint_%7Ba%7D%5E%7Bb%7DG(x)f'(x)%5Cmathrm%20dx$

這才得到了大名鼎鼎的Abel分部求和公式■

Euler-Maclaurin求和公式

（為了偷懶我將它簡稱為E-M公式）

設(shè) $f(x)$ 連續(xù)可導(dǎo)，由Abel求和公式出發(fā)，

$%5Csum_%7Ba%3C%20n%5Cleq%20b%7Df(n)g(n)%3Df(b)G(b)-f(a)G(a)-%5Cint_%7Ba%7D%5E%7Bb%7DG(x)%5Cmathrm%20df(x)$

不連續(xù)的G(x)有點(diǎn)礙眼，但并不妨礙我們對(duì)右式的積分用分部積分法

$%5Csum_%7Ba%3C%20n%5Cleq%20b%7Df(n)g(n)%3D%5Cint_%7Ba%7D%5E%7Bb%7Df(x)%5Cmathrm%20dG(x)$

似乎變得奇怪起來了，但如果可以取得 $G(x)%3Dp(x)%2Bj(x)$ ，使 $p(x)$ 是一階可導(dǎo)的

$%5Cbegin%7Baligned%7D%5Csum_%7Ba%3C%20n%5Cleq%20b%7Df(n)g(n)%26%3D%5Cint_%7Ba%7D%5E%7Bb%7Df(x)%5Cmathrm%20dp(x)%2B%5Cint_%7Ba%7D%5E%7Bb%7Df(x)%5Cmathrm%20dj(x)%5C%5C%26%3D%5Cint_%7Ba%7D%5E%7Bb%7Dp'(x)f(x)%5Cmathrm%20dx%2Bf(b)j(b)-f(a)j(a)-%5Cint_%7Ba%7D%5E%7Bb%7Dj(x)f'(x)%5Cmathrm%20dx%5Cend%7Baligned%7D$

若取 $g(n)%3D1$ ，則 $G(x)%3D%5Bx%5D%3Dx-%5Cleft%5C%7Bx%5Cright%5C%7D$ ，可得

$%5Csum_%7Ba%3C%20n%5Cleq%20b%7Df(n)%3D%5Cint_%7Ba%7D%5E%7Bb%7Df(x)dx-f(b)%5Cleft%5C%7Bb%5Cright%5C%7D%2Bf(a)%5Cleft%5C%7Ba%5Cright%5C%7D%2B%5Cint_%7Ba%7D%5E%7Bb%7D%5Cleft%5C%7Bx%5Cright%5C%7Df'(x)dx$

更合適的是取 $G(x)%3Dx-%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%2B%5Cleft(%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D-%5Cleft%5C%7Bx%5Cright%5C%7D%5Cright)$ ，

記 $%5Crho%20(x)%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D-%5Cleft%5C%7Bx%5Cright%5C%7D$ ，則

$%5Csum_%7Ba%3C%20n%5Cleq%20b%7Df(n)%3D%5Cint_%7Ba%7D%5E%7Bb%7Df(x)%5Cmathrm%20dx%2Bf(b)%5Crho%20(b)-f(a)%5Crho(a)-%5Cint_%7Ba%7D%5E%7Bb%7D%5Crho(x)f'(x)%5Cmathrm%20dx$

這就是最簡單形式的E-M求和公式

不難發(fā)現(xiàn) $%5Crho%20(x)$ 是周期為1的函數(shù)，且 $%5Cint_%7B0%7D%5E%7B1%7D%5Crho(x)%5Cmathrm%20dx%3D0$

設(shè) $%5Csigma(x)%3D%5Cint_%7B0%7D%5E%7Bx%7D%5Crho(u)%5Cmathrm%20du$ ，由積分中值定理，得

$%5Cmathrm%20d%5Csigma(x)%3D%5Clim_%7Bh%5Cto0%7D%5Cint_%7Bx%7D%5E%7Bx%2Bh%7D%5Crho(u)%5Cmathrm%20du%3D%5Crho(x)%5Cmathrm%20dx$

于是，

$%5Cbegin%7Baligned%7D%5Cint_%7Ba%7D%5E%7Bb%7D%5Crho(x)f'(x)%5Cmathrm%20dx%26%3D%5Cint_%7Ba%7D%5E%7Bb%7Df'(x)%5Cmathrm%20d%5Csigma(x)%5C%5C%26%3Df'(b)%5Csigma(b)-f'(a)%5Csigma(a)-%5Cint_%7Ba%7D%5E%7Bb%7D%5Csigma(x)f''(x)%5Cmathrm%20dx%5Cend%7Baligned%7D$

代入上面的式子，得

$%5Cbegin%7Baligned%7D%5Csum_%7Ba%3C%20n%5Cleq%20b%7Df(n)%26%3D%5Cint_%7Ba%7D%5E%7Bb%7Df(x)dx%2Bf(b)%5Crho%20(b)-f(a)%5Crho(a)-f'(b)%5Csigma(b)%2Bf'(a)%5Csigma(a)%5C%5C%26%5Cquad%20-%5Cint_%7Ba%7D%5E%7Bb%7D%5Csigma(x)f''(x)dx%5Cend%7Baligned%7D$

這樣我們又得到了E-M求和公式的一種形式

這一求和法在求漸進(jìn)公式和近似計(jì)算中十分有用，且若繼續(xù)推廣，能得到更精確的逼近

但實(shí)際運(yùn)用中常常只用到簡單的形式，因此本篇文章不作討論

Poison求和公式

為了方便，記 $e(x)%3De%5E%7B2%5Cpi%20ix%7D$

設(shè) $f(x)$ 為R上連續(xù)且絕對(duì)可積的函數(shù)

考慮

$g(x)%3Df(x%2BnT)%2Cx%5Cin(0%2CT)%2Cn%5Cin%20%5Cmathbb%7BZ%7D%2CT%EF%BC%9E0$

易知它是周期為T的函數(shù)，令

$s(n)%3D%5Cfrac%7B1%7D%7BT%7D%5Cint_%7B0%7D%5E%7BT%7Dg(x)e%5Cleft(-%5Cfrac%7Bnx%7DT%5Cright)dx$

由我們對(duì)它的定義，有

$s(k)%3D%5Cfrac1T%5Cint_%7B0%7D%5E%7BT%7Dg(u)e%5Cleft(-%5Cfrac%7Bku%7DT%5Cright)du%3D%5Cfrac1T%5Cint_%7BnT%7D%5E%7B(n%2B1)T%7Df(u)e%5Cleft(-%5Cfrac%7Bku%7DT%5Cright)du$

注意到 $s(k)$ 為 $g(x)$ 的Fourier展開中的Fourier系數(shù)，則

$%5Csum_%7Bk%3D-%5Cinfty%7D%5E%7B%5Cinfty%7Ds(k)e%5Cleft(%5Cfrac%7Bkx%7DT%5Cright)%3Dg(x)%3D%5Csum_%7Bk%3D-%5Cinfty%7D%5E%7B%5Cinfty%7D%5Cleft(%5Cfrac1T%5Cint_%7BnT%7D%5E%7B(n%2B1)T%7Df(u)e%5Cleft(-%5Cfrac%7Bku%7DT%5Cright)du%5Cright)e%5Cleft(%5Cfrac%7Bkx%7DT%5Cright)$

令 $M%EF%BC%9EN$ 為兩個(gè)整數(shù)，根據(jù)積分區(qū)間可加性質(zhì)：

$%5Cint_%7Ba%7D%5E%7Bb%7Df(x)dx%2B%5Cint_%7Bb%7D%5E%7Bc%7Df(x)dx%3D%5Cint_%7Ba%7D%5E%7Bc%7Df(x)dx$

對(duì)n從N累加到M-1，得到

$%5Csum_%7Bn%3DN%7D%5E%7BM%7Df(x%2BnT)%3D%5Csum_%7Bk%3D-%5Cinfty%7D%5E%7B%5Cinfty%7D%5Cleft(%5Cfrac1T%5Cint_%7BNT%7D%5E%7BMT%7Df(u)e%5Cleft(-%5Cfrac%7Bku%7DT%5Cright)du%5Cright)e%5Cleft(%5Cfrac%7Bkx%7DT%5Cright)$

此時(shí)令 $M%5Crightarrow%20-%5Cinfty%2CN%5Crightarrow%20%2B%5Cinfty$ ，

則括號(hào)里的積分變?yōu)?img type="latex" class="latex" src="http://api.bilibili.com/x/web-frontend/mathjax/tex?formula=%5Cint_%7B-%5Cinfty%7D%5E%7B%5Cinfty%7Df(u)e%5Cleft(-%5Cfrac%7Bku%7DT%5Cright)du" alt="%5Cint_%7B-%5Cinfty%7D%5E%7B%5Cinfty%7Df(u)e%5Cleft(-%5Cfrac%7Bku%7DT%5Cright)du">，

不難發(fā)現(xiàn)它就是f的Fourier變換，即

$%5Cint_%7B-%5Cinfty%7D%5E%7B%5Cinfty%7Df(u)e%5Cleft(-%5Cfrac%7Bku%7DT%5Cright)du%3D%5Chat%20f%5Cleft(%5Cfrac%20kT%5Cright)$

代入回原式里，就可以得到

$%5Csum_%7Bn%3D-%5Cinfty%7D%5E%7B%5Cinfty%7Df(x%2BnT)%3D%5Csum_%7Bk%3D-%5Cinfty%7D%5E%7B%5Cinfty%7D%5Cfrac1T%20%5Chat%7Bf%7D%5Cleft(%5Cfrac%20kT%5Cright)e%5E%7B2%5Cpi%20ikx%2FT%7D$